Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 31
Текст из файла (страница 31)
48а) 9 4) митод л. н. кгыловл для тгигономвтгичиских гидов етеье 221 На основании формулы (9), учитывая замечание, получаем; д (х) = — 'пе(х+и) — — па(х) ! ! нли К(х)= — „2 + — 2 =-У 1 и — (к+и) 1 к+к 1 при — п(х(0 и 1 и — (к+к) 1 и — к 1 к() при О < х(п. Вычитая из функции /(х) функцию скачков в (х), получаем функцию 1 !Р(х) =х'-(- —, непрерывную на отрезке ! — и, и] (рис. 486).
Так как л=1 л 1 то 1 ! — 1)" 1~ 1 4 (х) = — 'ь' — и!пих — — з — и!пих= нсдап л=1 л 1 1 ъ-ч ( — 1)л — 1 . 2 ч-л а!п(2З+1)» — з!п их= — — ~ п.2л л и 2.г 2а+! л 1 Следовательно, 1(х) = К (х) + — +-~+ 4 ~~)~~ — ! — соз пх, л 1 пРичем козффицненты преобразованного ряда Фурье имеют порядок убывания О~ — ) . г11 Заметим, что если из функции у(х)- выделить функцию скачков д'(х) с точностью до разрывов производной, то остаток 222 (гл.
т тлтчшвниз сходимости гадов будет тождественно равен нулю, т. е. мы получим точную сумму ряда (10). Замечание. Метод А. Н. Крылова применим также к рядам Фурье периода 7=21. В самом деле, пусть функция у(х) задана в основной области а — 1(х(а+1. Произведя линейное преобразование 1 х=а+ — 1, и получим функцию Г (1) =~ (а + — 1) периода 2п, определенную в стандартной области — и ( 1 ( и.
й Б. Приближенное суммирование тригонометрических рядов Пусть мы имеем сходящийся тригонометрический ряд ~~'., (п„сових+Ь„а!плх) =Ю(х), сумма которого Ю(х) неизвестна. Требуетси приближенно с некоторой наперед заданной точностью вычислить эту сумму. Очевидно, что чем быстрее стремятся к нулю козффициенты а, и Ь„ряда (1), тем меньше его членов нужно взять, чтобы обеспечить заданную точность. Поэтому, прежде чем приступить к подсчету суммы, желательно улучшить сходимость данного ряда. Для этого обычно пользуются следующим приемом: из данного ряда выделяют некоторый тригонометрический ряд, сумма которого и(х) известна, так, чтобы оставшийся ряд Ф ~ (а„соз лх+ ()„з!п пх) (2) имел более быструю сходнмость, чем исходный.
Если к (х) = Х (о„соз лх+ Ь„з!п пх), то б(х) =й(х)+ Х (а„сових+()„з!ппх), л=ю где а„=а — а (п=О, 1, 2, ...). В простейших случаяк для построения функции я'(х) можно использовать рассмотренные выше разложения: л=э оэ Š— „*-— соэ пх л* = — пт л=! ол лв (О <х < 2п); (а — х)э аэ (х) = — —— 4 12 (О < х < 2п); 2авх — Злхв+хэ 12 (О < х < 2п)! Иногда полезны также разложения 17) = — 1и (2 з!п ~-) (О < х < 2п); х = — ~1п ~2з!и — ) оЕх (О (х(2п); о к х ° л =~Их ) 1п(2 з!и — ) о(х+~~', „в (О х<2п), о о л=в 00 соэ пх Е пв где ~, — „= 1,202056903...
! пэ л=о П р н м е р. Найти сумму ряда 3(х) =,т — „з!и лх л по+ 1 л-1п с точностью до 0,001. Р е ш е н и е. Козффициенты ряда Ь = — имеют порядок убыло+ 1 вания О( — ) так как пп ( б: — ) =1. Улучшим сходимость задан- 71~ 11 а „~л!л) ного ряда, Очевидно, что а ах 1 !7 = -з лэ.!-1 л ( 1) п( а по .') л йв л' — 1 — -а+ —... = — — — +я, !+в и' где а 1 1 ! и — — + '«л пэ ( 1 и лв лв(ав.( !) ' 2 5) пгивлижвннон скмминовлнив тгигономвтгичяских гидов 223 224 хлхчшкнив сходимости гядов (гл.
ш Тогда оо оо оо оо Л 1 л=1 Л=о Л 1 Но Е. з!и лх л =оз (х) з!п лх и г — = — оз (х). л 1 Таким образом, оо Ю(х) =ос (х)+аз(х)+~~' Члз(плх, Л 1 1 71~ где Ч = — =О~ — ~ . ло(л*+1) (лау' ' Пусть !Ч-число членов ряда ~~~ Тл з!пах, которые нужно взять, л=1 чтобы его остаток Йм удовлетворял неравенству ~л ~ =)Г. о„л (<о,ооо. ! ЗО+1 Найдем число !Ч. Имеем: — з!ппх (~~'. — ( — = — ° 1 1 о о(л 1 а'(л'+ 1) но ~ ко 4дм И+1 ЛО+1 1 Решая неравенство —, с 0,001, получим, что достаточно взять А(=5.
Следовательно, с заданной точностью имеем: о л 1 Литература к шестой главе 1. Г. М. Ф их те иго л ьц, Основы математического анализа, т. П, Гостехиздат, 1956, гл. ХЧ и ХХ1Ч. 2. А. Марков, Исчисление конечных разностей, Изд. 2, Матезис, 1910, гл. П. 3. Г. С ал е лов, Вычисление рядов, Гостехиздат, 1955, гл, 1 и 1П. 4. Я. С. Без и ко з и ч, Исчисление конечных разностей, ЛГУ, 1939, гл.(Х. 5. А. О. Г ел ь фон ж Исчисление конечных разностей, Гостехнздат, 1952, гл.
1Ч. 6. В алле-Пуссен, Курс анализа бесконечно малых, т. П, ГТТИ, 1933, 7. Г. П. Толстов, Ряды Фурье, Гостехиздат, 1951, гл. 1 — Ч 8. А. Н. Крылов, Лекции оприближеиных вычислениях, Изд.б, Гостехиздат, 1954, гл. Ч. 9. Л, В. К а н тор о в н ч, В. И. К рылов, Приближенные методы высшего анализа, Изд. 3, Гостехиздат, 1949, гл. 1. ГЛАВА Ч!1 АЛГЕБРА МАТРИЦ ф 1. Основные определения Система тп чисел (действительных или комплексных), расположенных в прямоугольной таблице из т строк и и столбцов, а,а а,з а,з ° ° ° аз о азз а,з азз ... аз„ а„,з а„,з амз амн называется матрицей (числовой). Строки и столбцы таблицы (1) называются рядами матрицы.
Числа аЧ (1=1, 2, ..., т; /=1, 2, ..., и), составляющие данную матрицу, называются ее вяементвли. Здесь первый индекс 1 обозначает номер строки элемента, а второй у' †ном его столбца. Для матрицы (1) часто употребляется сокращенная запись А=(а!1) (1=1, 2, ..., т у=1, 2, ..., и) или А.= [ац1,о, причем говорят, что матрица А имеет тип тХп. Если т= п, то матрица называется квадратной порядка п. Если же т~п, то матрица называется прямоугольном. В частности, матрица типа 1 Х и называется вектором-строкой, а матрица типа тХ 1 †вектор-столбцом. Число (скаляр) можно рассматривать как матрицу типа 1 Х 1. Квадратная матрица вида А 0' аз 0 .
0 называется диагональной и обозначается кратко так: (сзз,аз, ...,а„1. В. П. Демнновне н И. А.маров (гл. тп алганРА матгнц В случае, если сс! — — 1 (! = 1, 2, ..., л), то матрица (2) называется единичной и обозначается обычно буквой Е, т. е. Введя символ Кронекера ~ О, если 6 '/ '1 1, если 1= /, можно записать Е= [6; ]. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через О. Если желают указать еще число строк и столбцов нулевой матрицы, то употребляют обозначение 0 С квадратной матрицей А=[а!))„„связан определитель (детерминант) ага ° ° ° аа„ а а„...а, бе(А = аы апз ° . ° а„„ Не следует отождествлять эти два понятия: матрица представляет собой упорядоченную систему чисел, записанную в виде прямоугольной таблицы, а ее определитель де!А есть число,определяемое по известным правилам, а именно: бе! А =- 'Я ( — 1)" ада, аза, ° агав Ы,,а,....,п„> (3) где сумма (3) распространена на всевозможные перестановки (ам аз, ..., а„) злементов1,2, ...,и и, следовательно, содержитл! слагаемых, причем и = О, если перестановка четная, и и 1, если перестановка нечетная.
ф 2. Действия с матрицамя А. Равенство матриц Две матрицы А=[а;)[ и В=[А;Л считаются равными: А=В, если онн одного и того же типа, т. е. имеют одинаковое число строк и столбцов, и соответствующие элементы нх равны, т. е. аг — — Ьйн Е ( 1 0 0 ... 0 О 1 О ... О О О О ... 1 дзйствия о млтгицлми 227 э 2! Б. Сумма и разность матриц Суммой двух матриц А = [а11! и В= [Ь;1[ одинакового типа называется матрица С=[с1 [ того же типа, элементы которой с, равны суммам соответствующих элементов а;т и Ь;7 матриц А и Н, т.
е. с,, = аг +ЬСо Таким обРазом, а„+Ь„а„+Ь„... а „+Ь „ а„+Ь„а„+Ь„... а,„+Ь,„ А+ В= а1+Ь а +Ь„,...а„+Ь„ Аналогично определвется разность матриц а,— Ь, а,— Ь ...а,„— Ь1„ а21 — Ь,1 а„— Ь„... а,„— Ь,„ А — В= В. Умножение матрицы на число Произведением матрицы А=[а;1[ на число а (или произведе нием числа а на матрицу А) называется матрица, элементы которой получены умножением всех элементов матрицы А на число а, т. е.
аа„аа„... аагь аа21 аа22 ... аа2„ аа„аа„з ... аа „ Аа=аА= Из определения произведения числа на матрицу непосредственно вытекают следующие его свойства: 1) 1А=А; 2) ОА=О; а) а([)А) =(ар)А; 4) (а+ р) А = аА + рА1 й) а(А+В) =аА+аВ (здесь А и  — матрицы; а и р — числа). Заметим, что если матрица А †квадратн порядка и, то'' йе1 аА = а' йе(А.
в» Из определения суммы матриц непосредственно вытекают следующие ее свойства: 1) А+(В+С) =(А+В)+С, 2) А+В=В+А; 3) А+О=А. [гл. чо ллгкитл матгиц Матрица — А = ( — 1) А называется противоположной. Нетрудно видеть, что если матрицы А и В одинаковых типов, то А — В=А+( — В). Г. Умножение матриц Пусть а а, ... агн аж аи ° ° ° аа а а ... а, Ь„Ь„...
Ььт Ь Ь ... Ь, Бег Ь ... Ь вЂ” матрицы типов соответственно лгХ и и рХд. Если число столб- цов матрицы А равно числу строк матрицы В, т. е. сы с„... с„ сы счч ... счч счп см,... с '! где сту — — аг,Ь, +а;,Ь„+... + аз„б„т (1= 1, 2,..., лг; /= 1, 2, ..., д). Из определения вытекает следующее правило умножения матриц; чтобы получить элемент, стоящий в с'-й строке и у-м столбце произведения двух матриц, нужно элементы [-й строки первой матРиЦы Умножить на соответствУюЩие элементы лаго столбЦа второй и полученные произведения сложить. Произведение АВ имеет смысл тогда и только тогда, когда матрица А содержит в строках столько элементов, сколько элементов имеется в столбцах матрицы В. В частности, можно перемножать квадратные матрицы лишь одинакового порядка. то для этих матриц определена матрица С типа псХу, называемая их произведением: ДвйСТВ7!Я С МАТРИЦАМИ 229 9 2] Пример 1.
4оз 2 — 1 1 — 3 в=~ О 1 3 1 3 2+2 1+8 О+1 3 3.( — 1)+2 ( — 3)+8 1+1 1 1 2+( — 4).1+О О+3 3 1 ° ( — 1)+( — 4) ( — 3)+О 1+3 1 ~ 7 77] ' Пример 2 1 1+2 2+3 3 4 1+5.2+6 3 7 1+8 2+9 3 Н е е е~ А ~ ]: 77=~ е] Тогда А —, ВА= т. е. здесь АВИВА. Более того, может даже случиться, что произведение двух матриц, ~затыл в одном порядке, будет иметь смысл, а произведение тех же матриц, взятых в противоположном порядке, смысла иметь не будет. Так, например, если А=~ ]7 В=~ Матричное произведение обладает следующими свойствами: 1) А(ВС)=(АВ) С; 3) (А+В) С=АС+ВС; 2) а(АВ)=(аА)В; 4) С(А+В)=СА+СВ (А, В н С вЂ” матрицы; се — число).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
