Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Постоянные С„С, ..., С„могут быть определены нз начальных условий: У,=С,+С,+... +С„, у =Сдхд+ Сдхз+ . ° ° +Счхю (5) д = Сдхд + Сзхч + + Снхн 7$ 196 спяпилльныя птивмы вешания ллгввгаических тгквнвний (гл. т Т е о р е и а. Пусть алгебраическое уравнение (1) имеет гдынствгнныб наибольший ло модулю корень хы Тогда отношение двух лослгдоватгльньш членов уг и у,. решения конгчно-разностного уравнения (2) стремится, вообще говоря, к пределу, равному хы т. в.
1пп "'+'=х,. » Уг (6) Дока за тельство. Пусть )х,() (хг(=»... ь)х„). (7) Предполагая, что корни хг (й = 1, 2, ..., и) различны, из формулы (4) имеем: Отсюда у'+'=х ° С,+Сг( — "') +...+С„(" — ") (8) Если С,~О, то, переходя к пределу в формуле (8) при [-» оо и учитывая, что в силу неравенств (7) имеют место предельные соотношения будем иметь: Иш + =х,. Усе г 3» у! х=— г метаном Бернулли можно найти отличный от нуля наименьший по модулю корень уравнения (1).
3 а и е ч а н и е 1. Если при неудачном выборе решения окажется, что С,=О, а СгФО, то предел (6) будет равен следующему наибольшему по модулю корню уравнении (1). 3 а и е ч а н и е 2. Если для решенняуг отношение "— '+' колеблется, Уг не стремясь к пределу, то возникает подозрение, что уравнение (1) имеет комплексные корни, наибольшие по модулю. Замечание 8. Производи в уравнении (1) замену переменной 197 й 15) метод нвннтлли Таким образом, для приближенного нахождения наибольшего по модулю корня хд уравнения (1) можно пользоваться формулой х —— Уд д 3 Уд-д где 1 достаточно велико.
Для практического применения метода Бернулли нужно задать произвольные числа ул, у„ ..., Ул,, а затем, пользуясь формулой У.„= —,— (л.у;+п„,рд,+ ... +п,ул„,) (1=0, 1, 2,,), 1 и» вычислить последовательность чисел ул, ул+д, ул, ... и отношения —, —, —, ... Если отношение — при возрастаю- У» Ул+д Уп+л Ул+д Ул-д ' Уп Ул+д Ул+д д щем1 обнаруживает тенденцию приближения к некоторому числу $, то последнее принимается за наибольший по модулю корень хд уравнения (1). В противном случае весьма вероятно, что уравнение (1) имеет несколько корней, наибольших по модулю, или, что менее вероятно, что для начальной системы чисел у, уд, ..., у„ , коэффициент Сд — — О.
Если известно грубое значение а наибольшего по модулю корня хд, то для ускорения сходимости процесса выгодно положить: л-д уел»1 уд='а ° ° ° у -д=а Заметим, что метод Бернулли сводится к повторению однообразных операций и поэтому удобен для реализации на счетных машинах. Начальные значения уд (1 = О, 1, ..., и†1), вообще говоря, могут быть взяты произвольно. Обычно берут у»=у, =... =Ул, = 0; ул, =1.
Хильдебрант [9) предложил выбирать у; так, чтобы все коэффициенты Сд в формуле (4) были равны 1. В этом случае, при наличии единственного наибольшего по модулю корня уравнения (1), процесс Уд заведомо сходится при д — » оо. Уд-д Метод Бернулли может быть применен также для вычисления комплексных корней уравнения (1) [10).
П р им е р. Найти наибольший по модулю корень хд уравнения х'+ 5х" — 5 = О. Р е ш е н и е. Соответствующее конечно-разиостное уравнение имеет зид у а=5(у уд+д) (д=О, 1, 2, ...) ° (9) Произвольно берем значения У,=О, У,=О, У,=О, У,=О, У,=1. По формуле (9) подсчитываем значения уд при 1)5. Найденные значения приведены я таблице 11. 198 спациальнык приамы ияшиния алгввгаичиоких хгавнкний [гл. ч Таблица 11 Нахождение корней алгебраического уравнения методом Бернулля Остановившись на узз, будем иметь: х ж — "= — = — 4,991948. угз 1937500 Отсюда, учитывая у „приближенно можно положить: д, = — 4,99195. В заключение отметим, что в последнее время появились новые методы решения алгебраических уравнений, обладающие удобными вычислительными схемами (метод Лина, метод Н.
В. Палувера и др,) '!101. Литература к пятой главе 1. А. Г. К у р ош, Курс высшей алгебры, Гостехнздат, М. — Л., 1946, гл. 7 н 8. 2. Г. М. Ш а к н р о, Высшая алгебра, Изд. 4, ГУПИ, М., 1933, гл. 1П н Ч!. 3. Д. Гран е, Элементы высшей алгебры, Киев, 1914, гл. Х. 4. Б. А. Фукс и Б. В. Шабат, Функции комплексного переменного, Гостехнздат, М.— Л., !949, гл. Ч!1. 5. А. Н. К р ы л о в, Лекции о приближенных вычислениях, Изд. 2, Изд.во АН СССР, 1933, гл. 1!. 6.
Лж. С к а р бор о, Численные методы математического анализа, ГТТИ, М.— Л., 1934, гл. Х. 7. Б. К. Млодзеевск ий, Решение численных уравнений, ГИЗ, М., !924, гл. !Ч. 6. А. О. Г е л ь ф о н д, Исчисление конечных разностей, Гостехиздат, 1952, гл. Ч. 9. Р. В. Н!1беЬга од, 1и!гобцсНоп !о пшпег!са! апз1уз1з, Нечг Чог!г— Тогоп1о — !.опбоп, 1956. 1О. В Л. 3 а гус'к ни, Справочник по численным методам решения алгеб- раических н трансцендентных уравнений, Физматгиз, 1960.
ГЛАВА Ч1 УЛУЧШЕНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДОВ й 1. Улучшение сходимости числовых рядов Говорят, что ряд ох + Чя+ ° ° ° + он+ ~+ 2а+ ' ' ' + ~+ ' ' 1 ! 1 (2) с точностью до 10 '. Длв л-го остатка ряда имеем оценку Газ 1 Л с) — = —. 3х'=л' л Следовательно, наша точность будет гарантирована, если мы возьмем сумму 1000000 членов ряда, что практически невозможно. Поэтому ряд (2) при решении поставленной задачи следует рассматривать как медленно сходящийся ряд. Таким образом, непосредственное нахождение суммы медленно сходящегося ряда с заданной точностью е, вообще говоря, затруднительно или даже практически невыполнимо.
Поэтому важное значение приобретают преобразования рядов, улучшающие их сходнмость. Мы здесь ознакомимся с иреобразованием Куммера [31, [4), в ряде случаев полезным для нашей цели. Пусть ряд (1) сходится н сумма его равна А. Подберем вспомогательный сходящийся ряд (2') Ь + д +... + Ь„+ ° ° ° (и ~ О) сходится медленно, если нужно взвть весьма большое число членов ряда, чтобы получить его сумму с заданной степенью точности.
Например, пусть требуется найти сумму ряда 200 (гл. тг ялгчшания сходимости гадов сумма которого В известна, причем такой, что существует Иш — "=дчьО. л+взи Тогда имеем очевидное равенство Ю Ю М ,~, а„=у ~ч~ ~Ь„+ ~~1~ (а„— ~уЬ„) нг л 1 л1 или А =~уВ+,~, '(а„— аЬ„). (4) В частности, если а„Ь„, то д = 1 н мы имеем: А=В+ ~чР~ (а„— Ь„). (4') Следовательно, нахождение суммы рада (1) в общем случае заменяется нахождением суммы ряда О ~ (а„— уЬ„). (5) л Остаток ряда (5) Ки может быть записан в следующем виде: Ю И ~0 из ь„'~ УУм= ? (а — гуЬ„) = ~ ~1 — д — ") а„= х и в„а„, п=И+1 и Я+1 в~и+1 где в =1-~у — — 0 при л — со.
Ь„ Ю аи Поэтому, вообще говоря, ряд (5) сходится быстрее исходного ряда (1). Основная трудность применения преобразования Куммера состоит в удачном подборе вспомогательного ряда (2'). Покажем применение этого преобразования для знакоположительного ряда (1), члены которого а„ есть рациональные функции целочисленной переменной л, т. е.
а~лг+а1лг 1+... +ар а„=р г+,+ + (п=1, 2, ...), (6) где р и а — целые неотрицательные числа н ав ) О, ()е ) О. Для сходимости ряда с общим членом (6) необходимо я достаточно, чтобы имело место неравенство 20! ьлгчшннив сходимости числовых рядов И1) В этом случае а„=О ( —,) ) (по меньшей мере!). Рассмотрим вспомогательные ряды Ю д кл 1 ~а~ л(а+ц...(а+т) (т= 1, 2, ...), (7) Так как ! а(а+ ц... (а+ т) 1 1 1 т ~л (а+ ц...(а+т — ц (л+ ц (а+2)...(л+тД' то о(т) 1 ~ а(а+И...(л+т) 1 ( 1 1 т (1 2...т (У+ц(У+2)...(У+т)~' Следовательно, (8) Аг Аь Аа ь г(по "=л(а+В+а(а+Ц(л+2)+".
+л(л+Ц... (а+т)+ а где А„, А„..., А„— неопределенные коэффициенты и а! ! — остаточный член. Подберем коэффициенты А! (1=1, 2, ..., т) так, чтобы а< '=0( —,). ') Говорят, что а„ есть бесконечно малая порядка не меньше т отно! сительно — ~ л если ))т — (Л вЂ” = И чь а л-а ( )" Если прн атом е;а О, то а †бесконеч малая точно порядка т относительно †. 1 Используя идею Стирлинга, общий член ряда, определяемыйформулой (6), представим в виде конечной суммы обратных факториалов (гл.
ш 202 клзчшвнив сходимости рядов А1 — — 1ппп(п+1) аа, й и А = Иш ) а,— ' ~ п(п+1)(п+2), (9) 8л-1 А = Иш ай — ~, ~ +, п(п+1)...(п+е). 1=1 Согласно общей схеме за вспомогательный ряд (2) примем: Ю 4В А1 А, Аа ~ ° (л(а+1)+л(а+1)(а+2) "' а(л+1)...(л+»1)~ »=1 и А19" +АаВ"'+ .. „+ А„В'"1 = —,', + — ', +... + —,, (19) причем очевидно, что Иш «л 1 а» 8 = ~ ай»» В+ ~ «1„"'1. а=1 й 1 (11) О Так как быстрая сходимость дополнительного ряда,Я~ а~~> обнаИ=1 руживается, вообще говоря, лишь при достаточно большом п, то практически удобно выполнять указанное преобразование, начиная лишь с некоторого члена ряда ар+1.
Полагая 0 \Ю 5= ~ а„+,~ ~«»=Ю,+ ~1 аа, л=1 а=р+1 и=р+1 будем иметь: А, Ай Р+ ~~ (а (а+!)+ а (»+ 1) (»+2) »=а+1 Аа <»)=В А ч" 1' и ) 1 1„) р 1 ~~ 1 ) »=Р+1 2 а"и (л(л+ 1) (а+1) (а+2)~ Для этого достаточно коэффициенты А1 последовательно определять по формулам ьльчшвнив сходимости числовых гядов 203 ф 1! А, С' 1 1 '''+пг ~а (а(и+1)...(и+и — !) (и+1)...(а+иг)~ ~ + ~ а<""= =5 +А — + — ' ° х Р+1 2 (Р+1) (р+2) аоп1. Аи 1 и (р+1)...
(р+щ) + 4. ~ и пчяьг Пример. Найти сумму ряда 1 е=г (12) с точностью до 0,001. Р е ш е н н е. Полоисим: 1 Аг Аг аы>. а'+1 и(п+1)+а(п+1)(и+2) + а ' Имеем: па+ 1 А,= Иш ~ —,— ~ п(л+1)(п+2)= 1пп, =1. 1 1 3 (п — 1) (а+2) „„"+1 ( +1)~ па+1 Следовательно, ) а~+! и(и+1) и(п+1)(п+2) и*+ 3п'+ 2п — пг — 2п' — п — 2 — и' — 1 а — 3 и (и+1) (и+2) (па+ Ц и (а+!Не+ 2) (а'+!) ' На основании формул (!О) н (1!) получим: 1 1 а — 3 1 11+2 21+~а а(и+1) (а+2) (а'+!) ' (12') Так как ири и ) 3 имеем а — 3 1 а (и+1) (и+2) (па+1) а В частности, при ге — оо, лоягеннг Стирлинга и и ~~', а„=~„а,+А,.— -(- — ' ! А, е игр! учитывая что а1„'и' О, получим разе 1 (р+ 1) (р+ 2) А 1 гп (р+1)(р+2)...(р+т) [гл.
т! 204 ьльчшение сходимостн гялов то 5 л а — 3 ('Их ! ! — « „"-- — —.0,00!. л(л+ !) (в+2) (лв+1) ) хе Зйз 2 л=М+! М Отсюда следует, что число слагаемых в сумме (12') можно взять И=10, причем зти слагаемые нужно вычислять с четырьмя десятичными знаками в узком смысле. Таким образом, имеем: Юж 1,25+( — 0,1667)+( — 0,0088)+0-1-0,0005+0,0004+ + 0,0002+ 0,0002+ 0,0001+ 0,0001+ 0,0001 = 1,0766, причем, приняв во внимание, что сумма четырех первых слагаемых точная, для абсолютной погрешности результата получим оценку Л, < — 1О-з.+ 7.—.10-в ( 0,7.10-з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
