Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Если функция 7'(з) аналитическая в замкнутой й-окрестности точки еь, причем выполнены неравенства: ')!) (.>~~"' 3) ]у" (я)](С при ]е — е [()ч; 4) 2АьВьС=)то~'1 то уравнение (1) имеет единственный корень и в области [я — ее[)с и процесс Ньютона (3), определяемый начальным приближением яь, сходится к этому корню, т. е. 156 ллгевгличвские и тглнсцвндвнтныв гглвнвния [гл. ш Р е ш е н и е.
Здесь Г"'(«) = е' — 0,2. Так как 7"'(«) =0 при «=[и 0,2 ж — 1,79 и у( — оо) = + оо, г'(«) ) О, г'(+ оо) = + оо, то уравнение (8) действительных корней не имеет. За начальное приближение искомого корня 9 примем наименьший по молулю корень «, уравнения е'+1 =0; отсюда можно положить: «о = )(' Дальнейшие приближения «„(и=1, 2, 3, ...) корня (, последовательно определяем, применяя формулу (3): [ (го) ° 0,2ги 5 (ге) [(г) 12 6 — О 069+ 2 624! 5' (гг) б — 1,868+ 0,5( Результаты вычислений с точностью до 0,001 приведены в таблице 6. Таблица б Уточненве комплексных корней по методу Ньютона ого=в ! (г,) Г (гг) ! (гг) р (ы) Л гг Для вычисления ег прн «=«+!у использовалась известная формула ег = е" (сову+ ! з[пу).
~ ж «а — — 0,107+ 2,646(, 7(«а) = 0,002+ 0,004!. Полагая булем нмет)к Приближенно считая ш,=[у'(«,) ) =1,6, 0 3, 142! 1 2,618) 2 О,!53+2.658! 3 О,!09+2,646( 4 0,107+2,650( 5 0,107+2,646) — ! — 0,868+0,5( — 1,030+0,541) — 0,978+0,535) — 0,981 +0,525( — 0,977+0,534! — 0,628! 0,132 †,024( — 0,061+0,009( О+0,006( — 0,002 †,005( +0,002+0,004! — 1,2 — 1,068+0,5( — 1,230+0,541) — 1, 178+0,535) — 1,181 +0,525! — 1,! 77+ 0,534( — 0,524! О, 153+0, 040! — 0,044 — 0,012! — 0,002+0,004) — 0,000 — 0,004! 157 литвалткы к четвягтой главк на основании формулы (6) получаем погрешность ) з(зз) ! 0,001 ° $ 20 0 004 Ввиду того, что левая часть уравнения (8) при вещественных г принимает вещественные значения, то это уравнение имеет также сопряженный корень 0,107 — 2,6461, равный по модулю кори!о 9.
Действительно, имеем: у(ь) =у ~~) =О. Замечание. Другой способ решения уравнении (1) — это сведение его к системе двух действительных уравнений. Полагая г=х+)у где и и о — действительные функции. Отсюда получаем, что урав- нение (1) эквивалентно системе и(х, у) =О, о(х, у) =О. (9) Уточнение корней системы вида (9) рассмотрено в Я 9 и 10.
За- метим, что этот новый способ годится также и в случае неанали- тичности функции у(г). Лнтезатура к четвертой главе 1. Я. С. Безикович, Приближенные вычисления, Гостехнздат, нзд. 5, 1949, гл. У1. 2. Дж Скарборо, Численные методы математического анализа, ГТТИ, 1934, гл.
! Х, Х. 3, Э. у и тт е к е р и Г. Р о 5 н н с о н, Математическая обработка результзтоз наблюдений, ОНТИ, 1935, гл. У1, 4. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального н интегрального исчисления, т. 1, Гостехнздат, 1957, гл. !У. 5. Г. П. Тол с тон, Курс математического анализа,т.
1, Гостехнздат, 1954, гл. Н1! б А. О. Ге л ьфон д, Исчисление конечных разностей, Гостехнздат, 1952, гл. У. Д. А. В е н т цел ь, Б. С. В е н т цел ь, Элементы теории приближенных вычислений, Изд. ВВИА нм. Жуковского, 1949, гл. 3, 4 4.
5. А. Оз1г оч за!, Матем, сборник 2 (1937). Л. В. К а н т о р о з и ч, О методе Ньютона, Труды матем. ин-та нм. В. А. Стеклова ХХУН! (1949), !04 — !44. в уравнении (1) и выделяя действительную и мнимую части функции у'(г), будем иметь: г(г) = — и(х, у)+!о(х, у) =О, ГЛАВА У СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ й 1. Общне свойства алгебраических уравнений Рассмотрим алгебраическое уравнение и-й степени (и ~ 1) Р(х): — аьх" +атх" '+... +а,=О, где коэффициенты аь, а„..., а„— действнтельные числа, причем аь Чь О. В общем случае переменную х будем считать комплексной.
Основная теорема алгебры. Алгебраическое уравнение и-й степени (1) (а следовательно, и полинам Р(х)) имеет ровно и корней, действительных или комплексныл, при условии, что каждый корень считается столько раэ, какова его кратность 111, 12). Прн этом говорят, что корень й уравнения (1) имеет кратность э (т. е. $ есть э-кратный корень), если Р($) = Р' (с) =... = Р" и ($) = О, Рсе (й) ~ О. (2) Комплексные корни уравнения (1) обладают свойством парной сопряженности. Т е о р е м а 1. Если коэффициенты алгебраического уравнения (1) — действительные, то комплексные корни этого уравнения попарно комплексно-сопряженные, т. е. если $= а+(р (а, р — действнтельные) есть корень уравнения (!), кратности э, то число с=а — (р также является корнем этого уравнения и имеет ту же кратность в.
Отметим, что модули этих корней одинаковы: ) $! = ( ц = 'Ггссв+ рэ. 1) Овщие свойствА АлгенРАических уРАВнений !59 где а — коэффициенты уравнения (1), Тогда модули всех корней хь (и = 1, ..., п) уравнения (1) удовлетворяют неравекству )х,! (1+ —, (3) А (аа! т. е. корни этого уравнения на комплексной плоскости 90т)(х = $ +.гЧ) расположена внутри круга !х! (1+ — =П А ! аь ! Рис. 39. (рис. 39). Доказательство. Полагая (х! 1, из формулы (!) имеем: ! Р(х) ! р (а,х" ! — (!а,х" '(+!а,х" а!+... +(а„!) ) ~ ! аь ! ! х ! — А ( ! х ! '+ ! х ! "-'+...
+ 1) = = ! аь ! ! х ! "— А ) (! аь ! — ) ! х ! н. Отсюда, если (аь! ~~0 А (х! — ! т. е. если )х() 1+ —, А ! аь( (4) получаем, что ! Р(х) !) О. Такии образом, значения х, удовлетворяющие неравенству (4), заведомо не являются корнями уравнения (1). Следовательно, все корни х„уравнения (1) удовлетворюот противоположному неравенству (хь! с. 1+ —.
А (а ! ' Следствие. Пусть а„чь0 и В=щах((а„(, (а,(, ..., (а„д!). С лед с те и е. Алгебраическое уравнение нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по меньшей мере адик действительный корень. Нетрудно дать грубую опенку модулей корней уравнения (1). Т е о р е м а 2. Пусть А=и!ах ! !ат!, !а (, ..., (а„!), 7 160 специлльныв пгиемы гашения ьлгввгьичвских ттлвняний [гл. ч Тогда все корни х»()ь = 1, 2, ..., п) уравнения (1) удовлетворяют неравенству [х [> 1 В (5) 1+— ~а„[ т.
е. корни уравнения (1) расположены в круговом кольце гк,)х[<й (рис. 40). В самом деле, полагая будем иметь: Р(х) = — „1е (у), 1 где Я (у) = а„у" + а„,у" '+... + а,, Рис. 40. Корни у» — — — (к=1, ..., и) полинома Я(у) в силу нашей тео- 1 х» ремы удовлетворяют неравенству [у [= — <1+ —, 1 В [к»[ [а„[ ' откуда [х»[) =г (А=1, ..., и). ! 1+ — ' [а„~ Замечание. Числа г и )с являются соответственно нижней и верхней границами положительных корней уравнения (1).
Аналогично числа — )с и — г служат соответственно нижней и верхней границами отрицательных корней уравнения (1). Если хых», ...,х„ — корни уравнения (1), то для левой части его справедливо разложение Р (х) = а, (х — х») (х — ха)... (х — х„). (6) Отсюда, производя перемножение биномов в формуле (6) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой п б 1) овщив свойства ллгввнличиских квлвнвний 161 правой частях равенства (6), получим соотношения между корнями и коэффициентами алгебраического уравнения: х,+х,+...
+х„= — —, на оо ва х х,+х,х,+...+х„,х„= —, о- о Ио а (7) | х,х,...х„=( — 1)" -и.. оо Левые части равенств (7) представляют собой суммы сочетаний корней уравнения (1) по одному, по два и т. д. П р и м е р 1. Корни х„х„хн кубического уравнения хо+ рхн+а)х+ г = О удовлетворяют условиям: х +ха+хо= — р, хахн + х гхн + хо ха = Р, ХХХ = — Г. 123— Если учитывать кратности корней, то разложение (6) принимает вид Р(х) = а (х — х )" (х — хн)" ... (х — х ) ", где х„х„..., х (лг ~ и) — различные корни уравнения (1) и ип ан,..., а„— их кратности, причем а,+а +...
+а =л. Производная Р'(х) выражается следующим образом: Р '(х) = а, (х — х,)" - ' (х — х,)" -' ... (х — х )" -а Я (х), где (г(х) — полипом такой, что Я(хь)-йО при й=1, 2...,, ла. Поэтому полипом ааа (х) = ао (х — х )аь ' (х — х )" -' ... (х — х )ом-а является наибольшим общим делителем полннома Р(х) и его производной Р'(х). Как известно, полипом гс (х) может быть найден с помощью алгорифма Евклида 11]. Составляя частное Р (х) г'(х) =-и(„)-, получим поливом У(х) =Аох"'+Аахм г+, .. +А (8) В. П. Домндоннн н И. А. Маром 162 спвцихльныв птнвмы гашения ллгввтлических ттлвннннй (гл. ч с действительнымя коэффициентами Ае = ае, А„..., А, корни которого х„х, ..., х„различны.
Таким образом, решение алгебраического уравнения с кратными корнями сводится к решению алгебраического уравнения более низкой степени с различными корнями. Полное число корней х, х, ..., хгт уравнения Р(х) =О, расположенных на комплексной плоскости внутри простого замкнутого контура Г (рис. 41), можно определить на основании принципа аргумента [4), который состоит в следующем: если полинам Р(х) нв имеет корней на замкнутом контуре Г, то число корней М этого полинома внутри контура Г в точности равно изменению Агу Р(х) при положительном обходе контура Г, деленному на 2ц, т. е.
= — Лг Агб Р(х), ! где Р(х) = Р (з (у) + !т! (З) ) = Х(0+ ~'(З) (Х(1), у(г) — действительные функции), и подсчитывают, сколько оборотов М кривая К делает вокруг начала координат. П р и м е р 2. Определить число корней уравнения Р(х) =хз — Зх+1=О, (9) содержащихся внутри круга !х( < 2. Решение. Полагая х = 2 (соз с+ 1 з!и т) будем иметь: Р(х) = Я (соз С+ ! з!и с)з — 6 (соз С+ с з!и т)+ 1 = = (8 соз 3! — 6 соз Ф+ 1) + 1(8 з!и ЗŠ— 6 з!и !).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
