Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 18
Текст из файла (страница 18)
17. Рнс. !6 — у'(х)=0). Тогда кривая у=-у(х) будет выпукла вниз и, следовательно, расположена ниже своей хорды АВ. Возможны два случая: 1) у'(а) ) 0 (рис. 16) и 2) у'(а) < 0 (рис. 17). В первом случае конец а неподвижен и последовательные приближения: ха=Ь; х„+„— — х„— а ( (х„-а) (л=О, 1, 2...) (3) л ("л) образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем а < $ «... х„, < х„«... х, < х,.
Во втором случае неподвижен конец Ь, а последовательные приближения: ха = а; 1(лл) х„,=-х„-((а) "1( )(Ь вЂ” х„) (4) образуют ограниченную монотонно возрастающую последовательность, причем х < х < х, «... х„< х„+, «... $ < Ь. $ 4) сносов паопоициональнык частай (мвтод когд) 121 Обобщая вти результаты, заключаем: 1) неподвижен тот конец, для которого знак функции у'(х) совпадает со знаком ее второй производной у'(х); 2) последовательные приближения х„ лежат по ту сторону корня $, где функция г"(х) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной У"(х).
В обоих случаях каждое следующее приближение х„+, ближе к корню $, чем предшествующее х„. Пусть $=1ппх„(а < $ < Ь) (предел существует, так как последовательность (х„) ограничена и монотонна). Переходя к пределу в равенстве (3), для первого случая будем иметь: ) (а) $ =$ — ($ — ); ) ($) — Па) отсюда уф=О. Так как по предположению уравнение у(х)=О имеет единственный корень $ на интервале (а, Ь), то, следовательно, $=$, что и требовалось доказать. Совершенно так же переходом к пределу в равенстве (4) доказывается, что $ = $ для второго случая.
Для оценки точности приближения можно воспользоваться формулой (б) ф 1 !х $)м ' и ) !(т,)) /лг где ) у' (х) ) ) лат при а м х ( Ь. Приведем еще формулу, позволяющую оценивать абсолютную погрешность приближенного значения х„, если известны дна последовательных приближения х„ , и х„. Будем предполагать, что производная у'(х) непрерывна на отрезке (а, Ь), содержащем все приближения, и сохраняет постоянный знак, причем 0 < лт, ~ (~" (х) ) и Л4, < + оо.
(5) Примем для определенности, что последовательные приближения х„ точного корня $ вырабатываются по формуле (3) (рассмотрение формулы (4) аналогично) ) (х„,) х„= х„,— " (х„— а) (и 1, 2, ...), где конец а является неподвижным. Отсюда, учитывая, что у"($) =О, будем иметь: (с) ) Ь(х. ~) — Ь(а) „ х„,— а 122 ьлгввгаичвскив и тнансцвндянтныв тнавнкния [гл; ~т Применяя теорему Лагранжа о конечном приращении функции, получим: ($ — х„,) г' ($„,) = (х„— х„,) у" (х„,), где В„,(-'(х„ы $) и х„,~(а, х„). Следовательно, (6) Так как у'(х) сохраняет постоянный знак на отрезке [а, й), причем ха т Е [а, Ь) н $„ , ~[а, Ц, то, очевидно, имеем: [У' (х„,) — У' 6„,) [~ А — ш,.
Поэтому из формулы (6) выводим: (7) где за и, и Мд могут быть взяты соответственно наименьшее и наибольшее значения модуля производной у' (х) на отрезке [а, л). Если отрезок [а, а) столь узок, что имеет место неравенство Мт ~ 2тл„ то из формулы (7) получаем: [$ — х„[ ( [х„— х„, [. Таким образом, в этом случае, как только будет обнаружено, что [х„— х„,[< е, где е — заданная предельная абсолютная погрешность, то гаранти- ровано, что [~ хл[ < е' П р и м е р.
Найти положительный корень уравнения у'(х) = х' — 0,2х' — 0,2х — 1,2 = О с точностью до 0,002. Р е ш е н и е. Прежде всего отделяем корень. Так как у'(1) = — 0,6 < 0 и у (2) = 5,6 > О, то искомый корень $ лежит в интервале (1, 2). Полученный интер- вал велик, поэтому разделим его пополам. Так как у(1,5) = 1,425, то 1 < $ < 1,5. метод ньютона (метод касательных) 123 Последовательно применяя формулы (1) и (2), будем иметь: 1+! 425 Р б(1,5 — 1)=1+0,15=1,15; у" (х,) = — О,!73; х, =1,15, ', (1,5 — 1,15) = 1,15+.0,040 = 1,190; у'(х,) = — 0,036; х, = 1,190+, ' „, (1,5 — 1,100) = 1,190+ 0,008 = 1,198; У (хз) = — 0,0072.
Так как у (х) — Зх' — 0,4х — 0,2 и при х < х < 1,о имеем у'(х) ) 3 ° 1,!98' — 0,4 1,5 — 0,2 = 3 1,43 — 0,8 = 3,49, то можно принять: 0 < $ — ха < ж0,002. Таким образом, $ = 1,198 + 0,0028, где 0 < В - 1. Заметим, что точный корень уравнения (5) есть Ц = 1,2. 9 5. Метод Ньютона (метод касательных) Пусть корень в уравнения у"(х) =0 отделен на отрезке (а, Ь), причем г"'(х) и У (х) непрерывны и сохраняют определенные знаки при а ( х -С.'Ь. Найдя какое-нибудь и-е приближенное значение корня х„ с (а ~ х„ ~Ь), мы можем уточнить его по методу Ньютона следующим образом.
Положим $=х„+Ь„ (2) где Ь„считаем малой величиной. Отсюда, применяя формулу Тейлора, получим: О= у'(х„+Ь„'! = у(х„)+Ь„у'(х„). Следовательно, Ь„= —, а (хл) 1' (х„) Внеся эту поправку в формулу (2), найдем следующее (по порядку) приближение корня х =х — 1,("") (и=О, 1, 2, хьт н 124 АлГББРАические и тРАнсцендентные уРАВнения !Гл. ш Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой у =,у(х) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.
В самом деле, положим для определенности, что у"(х) > О при а <х и- Ь и у'(Ь) > О (рис. 18). ВыбеРем, напРимеР, ха —— Ь, длЯ котоРого !(ха)У'"(хч) > О, ПРоведем касательную к кривой у =у (х) в точке В«[ха, у (хо)].
аа Рнс. 18. В качестве первого приближения х, корня $ возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью Ох. Через точку Вт[х„у'(х!)] снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой даст нам второе приблржение х корня Е и т. д. (рис. 18). Очевидно, что уравнение касательной в точке В, [х„, Г" (х„)] (и = О, 1, 2, ...) сеть у — ~'(х„) =у'(х„) (х — х„). Полагая у=-О, х=х„+т, получим формулу (3) ) (А«) х„+, —— х„— —, Заметим, что если в нашем случае положить ха= пи, следовательно, у(ха) у" (ха) < О, то, проведя касательную к кривой у =у'(х) в точке А(а, у'(а)], мы получилн бы точку х! (Рис.
18), лежащу!о вне отрезка [а, Ь], т. е. при этом выборе начального значенияметод Ньютона оказывается непрактичным. Таким образом, в данном случае «хорошим» начальным приближением ха является то, для которого выполнено неравенство ,У( .).У (,) > О. Докажем, что это правило явлнется общим. Теорема. Если /(а)у(Ь) (О, причем у'(х) иу'"(х) отличны ог нуля и сокранлюг определенные знаки при а < х < Ь, го, 125 5 51 метод ньютона (метод касательных) исходя из начального приближения хь ~ (и, Ь|, удовлетворяющего неравенству (4), можно вычислить методом Ньютона (формула (3)) единственный корень $ уравнения (1) с любой степенью точности.
Доказательство. Пусть, например, у(а) < О, у(Ь) ) О, ,у (х) ) О, у" (х) ) О при а~<х(Ь (остальные случаи рассматрн- ваютсЯ аналогично). Согласно неРавенствУ (4) имеем У(хь) )О (например, можно принять хь —— Ь). Методом математической индукции докажем, что все приближения х„ ) $(п = О, 1, 2, ...) и, следовательно, у"(хь) О. В самом деле, прежде всего, хь ) $. Пусть теперь х„) $. Положим й = — х„-)- Я вЂ” х„). Применяя формулу Тейлора, получим: О =У'(Ц = У(х„)+ У'(х„) Я вЂ” х„)+ — '~'"(с„) ($ — х„)', (б) где $ < с„< Хлг Так как у" (х) ) О, то имеем: у(х„)+у'(х„) ($ — х„) < О н, следовательно, х =х — ь(ль) ь+Г ь Г'(л )) ь что и требовалось доказать.
Из формулы (3), учитывая знаки у'(х„) и у'(х„), имеем х„+т < х„(п = О, 1, ...), т. е. последовательные прйближення х,,х, ..., х„, ... образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность. Следовательно, существует ~=1ипхы ь-~ ю Переходя к пределу в равенстве (3), будем иметь: т. е. у (5=0.
Отсюда $=$, что и требовалось доказать. Поэтому, применяя метод Ньютона, следует руководствоваться следующим правилом: в качестве исходной точки х выбирается тот конец интервала (а, Ь), которому отвечает ордината того же знака, что и знак т " (х). Замечание 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
