Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Очевидно, что У'(х) =1 — ср' (х) ~ 1 — д. Отсюда, учитывая, что у(ц = О, получим: 1х.— ср(х„))=(у(х„) — у'Я) !=(х„-$~)у'(х.)) ~(! — Ч)~ х.— $), где х„ Е(х„, Ц, и, следовательно, с) ~! '~ ч ( л)! (18) т. е. ~ ~! "а+1 лл! Используя формулу (9), имеем также: ! $ — х„) и — ) х„— х„, ); (16") откуда, в частности, следует, что 1 если у ~ —, то 2 ' Рнс. 32. ! $ — х„( м- ) х„— х„, (, т.
е. в этом случае из неравенства (х„— х„д( с. в вытекает неравенство )$ — х„) ч.е. 3 а м е ч а н ие. Существует распространенное мнение, что если при применении метода итерации два последовательных приближения х„, и х„совпадают между собой с заданной точностью в (например, для этих приближений установились ги первых десятичных знаков), то с той же точностью справедливо равенство $ х, (т. е., в частности, в приведенном примере лг знаков приближенного числа х„являются верными!). В общем случае, как наглядно показывает рис 32, это утверждение ошибочно. Более того, легко показать, что если ~р'(х) близка к 1, то величина ($ — х,) может быть большой, хотя величина (х„ — х„ ,( весьма мала.
140 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. Ш Формула (16") дает возможность оценить погрешность приближенного значения х„ по расхождению двух последовательных приближений х„ т и х„. Процесс итерации следует продолжать до тех пор, пока для двух последовательных приближений х„ и х„ не будет обеспечено выполнение неравенства [х„— х„т [( — в, 1 — у где е — заданная предельная абсолютная погрешность корня $ и [Чз'(х)[ (д.
Тогда в силу формулы (!6") будет иметь место неравенство [$ — х„[<в, т. е. $=х„~а. Заметим, что если х„= ~р (х„,) то [с — х„[=.[~Р(С) — ~Р(х„т) [= = [5 — хе т )[гр'(х„,) [~д) $ — х„,[ т. е. [5 — х„[(! $ — х„,[. Таким образом, при сходящемся итеративном процессе погрешность ) $ — х„/ стремится к нулю монотонно, т. е. каждое следующее значение х, является более точным, чем предшествующее значение х„,. Конечно, при всехэтих выводах игнорируются погрешности округлений, т.
е. предполагается, что последовательные приближения находятся точно. На практике обычно бывает так, что грубым приемом устанавливается существование корня $ уравнения (2) и методом итерации требуется получить достаточно точное приближенное значение корня, причем неравенство (6) выполняется лишь в некоторой окрестности (а, а) этого корня. Здесь при неудачном выборе начального значения хе последовательные приближения х„ = <р(х„ т) (и = 1, 2,...) могут покинуть интервал (а,а) или дзже потерять смысл.
Поэтому полезна другая формулировка теоремы 1. Т е о р е м а 2. Пусть функция <р (х] определена и дифференцируема на некотором отрезке [а, О[, причем уравнение х= р(х) (17) 141 ф 8) метОд итегации имеет корень $, лежащий в более узком отрезке [а, р), где а = 1 1 3 =а+ — (Ь вЂ” а) и [)=Ь вЂ” — (Ь вЂ” а) (рис. 33). 3 Я= " Ы ЧВ гтя= з з Рис. 33.
Тогда, если: а) (<р'(х)((д к. 1 при а к. х (Ь; б) начальное приближение хек[а, Я, то: 1) все последовательные приближения содержатся в интервале (а, Ь): х„=~р(х„,) ~(а, Ь) (и= 1, 2, ...), 2) процесс последовательных приближений — сходяи(ийся, т. е. с ущеста ует 11в х„= $, причем К вЂ” единственный корень на отрезке [а, Ь) уравнения (17), и 3) справедлива оценка (15). Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Действительно, пусть х, Е [сс, р).
Тогда равенство х, = чр (хь), очевидно, имеет смысл. Используя равенство на основании теоремы Лагранжа получаем: !х — Б) =(чр( .) — р(в)(=1х.— В() р'(х )((уФ вЂ” сс) < — ' отсюда хт Е(а, Ь). Вообще, если хн,Е(а, Ь)(п=1, 2, ...) и (х„,— $(ч. —, то х„= гр (х„,) имеет смысл и )х„— $(=(гр(х„) — чр($)) = = ) х„, — К ( ( ~р' (х„,) ( ( о ( х„, — $ ( ( — . Следовательно, х„Е(а, Ь), где и=1, 2, 3, Что касается утверасдений 2) и 3), то доказательство их вполне аналогично доказательству теоремы 1.
142 ллгввтдичвскив и ттлнсцвндвнтныя зтлвнвния [гл. га Замечание. Пусть в некоторой окрестности (а, Ь) корня $ уравнения (17) производная ~р'(х) сохраняет постоянный зн ам и выполнено неравенство [<р'(х) [(д < 1. Тогда, если производная ~р'(х) положительна, то последовательные приближения х„=~р(х„,) (а=1, 2, ...), х,~(а, Ь) сходятся к корню 4 монотонно. Если же производная ~р'(х) отрицательна, то последовательные приближения колеблются около корня $. 1) В самом деле, пусть О ~~р'(х) (4 < 1 и, например, хь<ь" х, — й = р (хь) — т К) = (х — $) ~р' Я,) < О, Тогда где $,Е(х„$), причем |хт — 41(О! хь — $! <!хь — Б!. Следовательно, х, < х, < $.
Применяя метод математической индукции, получаем: х, <х <хь «...~ (рис. 34а). Аналогичный результат получается при хь ) $. Таким образом, в случае положительной производной ~р'(х) достаточно выбрать лишь начальное приближение хь, принадлежащее Рис. 34а. окрестности (а, Ь) интересующего нас корня $; все остальные приближения х„(п = 1, 2, ...) автоматически будут содержаться в этой окрестности и с увеличением номера п монотонно будут стремиться к корню $.
2) Пусть — 1 < — о(<р'(х)(О и, например, хь < и, причем х,=~р(хь) Е(а, Ь). Имеем: х, — 5= ср(хь) — Е Й) = (хь — 4)~р'(4,) ) О, т. е. х ) й и )х — $)([хь — 5). 143 2 8! матод итетации Повторяя эти рассуждения для приближений х,, ха, ..., получаем: ха С х, ~... ( ~ ( .. ( хз ( хг, т. е. последовательные приближения будут то меньше, то больше корня я (рис.
34б). Таким образом, в случае отрицательной производной у'(х), если два приближения ха и х принадлежат окрестности (а, Ь) корня $, .г, з, Е ,В~ Рнс. 346. то все остальные приближения х„(п = 2, 3, ...) также принадлежат этой окрестности, причем последовательность (х„) «о б е р т ы в а е т» корень $. Заметим, что, очевидно, ) $ — х„|((х„— х„г(, т.
с. в этом случае установившиеся знаки приближения х„ обязательно принадлежат точному корню $. П р и и е р 1. Найти действительные корни уравнения х — з)п х = =0,25 с точностью до трех значащих цифр. Р е ш е н и е. Представим данное уравнение в виде х = я1п х+ 0,25. Рнс. 35. Графическим способом устанавливаем, что уравнение имеет в отрезке 11,1; 1,3~ один вещественный корень $, приближенно равный хо=1,2 (рис. 35).
Придерживаясь обозначений теоремы 2, примем: сс = 1,1 и р = 1,3; отсюда а =сс — (Р— а) =0,9 ж агс 52' Ь = () + (Р— а) = 1,5 ж агс 86'. й~ (х) = з)п х+ 0,25 ~р' (х) = соз х, Так как то при 0,9 ('х(1,5 имеем: (~р'(х) ((соз 52' яи 0,62 =и. 144 алгевванческна и тглнсцвндвнтныв квавнвния (гл. ш Если мы выберем хаЕ(1,1! 1,3), то все условия теоремы 2 будут полностью соблюдены и, следовательно, гарантировано, что последовательные приближении х„=а!пх„т+0,25 (л=1, 2, ...) 1) содержатся в интервале (0,9; 1,5) и 2) х„— $ при п — оо. Выбирая х, = 1,2 и задаваясь, согласно условию задачи, предельной абсолютной погрешностью з= — ° 1О а, 1 2 строим последовательные приближении х„(а = 1, 2, ...) до тех пор, пока два соседних приближения х„, и х„не совпадут друг с другом в пределах точности, равной — в=0,51 ° — 1О а ж 0,0025.
1 — а ! 2 Имеем.' х = з!п 1,2+ 0,25 = 0,932+ 0,25 = 1,182; ха = з!п 1,182+ 0,25 = 0,925+ 0,25 = 1,175; ха = а!п 1,175+ 0,25 = 0,923+ 0,25 = 1, 173; х, = з!п 1,173+ 0,25 = 0,922+ 0,25 = 1,172; х, = ейп 1,172+ 0,25 = 0,922+ 0,25 = 1,172. Четвертое и пятое приближения совпали с точностью до четырех значащих цифр. Поэтому (см.
(16')) Так как предельная абсолютная погрешность приближенного корня ха, включая погрешность округления, не превышает Е=0,0016+0,002( — 1О а, то можно принять: $= 1,17 Ь 0,005. 3 а м е ч а н и е. Данное уравнение у'(х) = 0 (18) можно записать в виде равенства х=<р(х), (18') выбирая различным образом функцию ф(х). Способ записи (18') отнюдь не безразличен: в одних случаях )<р'(х)( окажется малой в окрестности искомого корня В, в другнх— 145 метод итегяции большой. Для метода итераций выгодно то представление (18'), при котором выполнено неравенство ) <р' (х) ~ < и < 1, (19) причем, чем меньше число и, тем быстрее, вообще говоря, последовательные приближения сходятся к корню $. Укажем один достаточно общий прием приведения уравнения (18) к виду (18'), для которого обеспечено выполнение неравенства (19).
Пусть искомый корень $ уравнения лежит на отрезке (а, Ь), причем (20) при а(х(Ьи). В частности, за ИР можно взять наименьшее значение производной у" (х) на отрезке [а, Ь), которое должно быть положительным, а за Л4 — наибольшее значение У'(х) на отрезке (а, Ь). Заменим уравнение (18) эквивалентным ему уравнением х=х — Х1'(х) (Х ) О). Можно положить <р(х) =х — Ау'(х). Подберем параметр Х таким образом, чтобы в данной окрестности (а, Ь) корня 8 было выполнено неравенство 0 и, <р' (х) = 1 — Ху ' (х) ж, д < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
