Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Отсюда Х = 8 соз 3! — 6 соз 1+ 1, 1' = 8 з!п 3! — 6 з!п 1. (К) причем каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Если уравнение контура Г есть Рнс. 41. х = й (1) + 1т) (1) (О ~ 1 *ц; т) (1 †параме), то для определении числа М на плоскости ХО)' строят кривую Х= Х(1), 1'= 'т'(с) (Оч*.1~ г), (К) и 2) гглиицы дкйствитвльных когнкй ллгввгличксиих вгавиавий 163 Таблииа 7 й 2. Границы действительных корней алгебраических уравиеиий В этом параграфе мы будем рассматривать полиномы вида Р (х) = аах" + а ах" г + +...
+а„(1) с действительными коэффициентами аа, а„ ..., а„, где аа-й О. Нашей целью является установление границ, по возможности тесных для положительных и отрицательных корней х, ха, ..., х (1~гв~п) уравнения Р(х) = О, (2) Рис. 42. яр~чем вопрос о существования этих корней здесь ие затрагивается. Заметим, что можно ограничиться нахождением вбрхней границы й лишь положительных корней уравнений вида (2). В самом деле, "арику с уравнением (2) рассмотрим вспомогательные алгебраические уравнения р (х) =х'Р( — ) =О л ~к у р (х) = р( .) = О, р (),р( )=о, 1т к) Построив по точкам кривую К (см. таблицу 7), легко убедиться, что кривая три раза окружает начало координат (рис.
42). Поэтому И= 3 и, следовательно, уравнение (9) имеет внутри круга У )х) < 2 три корня. 164 спвцилльныя пгнвмы гкшания ллгквгьичвских тгьвнений [гл. т и пусть верхние границы их положительных корней соответственно 1 есть Ят, Вэ и Яг. Тогда число —, очевидно, есть нижняя граница положительных корней уравнения (2), т.
е. все положительные корни х+ этого уравнения, если онн существуют, удовлетворяют неравенству — ~ х+:=. 'П. й! 1 Аналогично числа — Я и — — являются соответственно нижней йэ и верхней границами отрицательных корней уравнения (2), т. е. все отрицательные корни х этого уравнения, если таковые имеются, удовлетворяют неравенству 1 — Вэ ~х а.— —. й! Укажем некоторые простые приемы нахождении верхней границы Й положительных корней уравнения (2), причем некоторые из них приведем без доказательства. Теорема Лагранжа. Пусть аь)0 и аь(А~1) — первый из отрицательных коэффициентов ь) полинома Р(х).
Тогда за верхюою границу положительных корней уравнения (2) может быть принято число где  — наибольшая из абсолютных величин отрицательных коэффициентов попинала Р(х). Доказательство. Положим х) 1. Если в полнноме Р(х) каждый нз неотрицательных коэффициентов а„..., а„! заменить нулем, а каждый из остальных коэффициентов а„, аь+„..., а„ заменить отрицательным числом — В, то от этого поливом (1) может лишь уменьшить свое значение и мы будем иметь неравенство Р(х) ) а х" — В(х" а+ х" ь т+...
+ 1) = хл "ь+! 1 = аьх' — В х — 1 Отсюда при х) 1 получим: хэ-ь+! Р(х) ) аьх" — — х" г+'= — [а хь ' (х — 1) — В~ > х" ь+' ь > —, [,аь (х — П вЂ” В~. ч) Если такого коэффициента нет, т, е. все коэффициенты полинька Р (х) неотрнцательны, то полинам Р (х) ве имеет положительных корней. 165 6 З) МЕТОД ЭНЛКОПЕРЕМЕННЫХ СУММ Следовательно, при х ~ 1+ егг — = )з '/в ЛР будем иметь: Р(х) ) О, т. е. все положительные корни х+ уравнения (2) удовлетворяют неравенству х+ с- )с. й 3.
Метод виакоперемеиных сумы Идея метода Лагранжа может быть обобщена следующим образом: пусть полином Р(х) расположен по убывающим степеням переменной х, причем его старший коэффициент ае ) О. !1редставим Р(х) в виде знакопеременной суммы Р(х)=Я,(х) — Яа(х)+Да(х) — (),(х)+ ... +Я,„,(х) — Ц, (х), гле Я (х) †сум последовательные членов полинома Р(х) с положительнымн коэффициентами, начиная с аех", — Яе(х) — сумма последовательных членов полинома Р (х) с отрицательными коэффициентами, непосредственно примыкающих к членам первой суммы, и т.
д.„ причем последнее слагаемое — Яа (х) или состоит из членов с отрицательными коэффициентами, илн тождественно равно нулю. Обозначим через су (У=-1, 2, ..., т) положительные числа такие, что Яат, (с;) — Яат (су) ~ О (1) (/=1, 2, ..., Рл). Тогда за верхнюю границу положительных кор- ней уравнения (2) 2 2 можно принять число (2) Я=шах(см сы ..., с ). Б самом деле, положим: О (х) г) (х) ЬО)х Р-(-Ьйх т + +ЬО)х ы ь РТ-Р,лп Рт-Р-г ьч пт-Р-т+е — йР„Х вЂ” й,+,Х вЂ”... — ЬР.,РХ гле Ь~~ ~ О (Р = 1, 2, ..., р+У), причем й,">) О (! — 1, 2, ..., лг), 166 спвциьльныа пгикмы гашкния ллгавглнчвских гглвннний [гл. ч Полагая х > О, имеем; 0,7,(х) — 0 7(х) =х"" аь' ~(Ф~~хл '+Ь',"хг '+...
+6~~')— ОЗ ОЭ ьгл — ( — „"+ — ',, +...+ — '„, )1. (3) Из формулы (3) ясно, что функции (,'1 1 (х) — Ят7 (х) (7'= 1, 2, ..., ш) возрастают при возрастании х. Следовательно, при х > с7 > 0 имеем: 0,7,(х) — Я,7(х) > Яту,(су) — Я, (с7) )О. Отсюда при х > )с получаем: Р(х)= ~ ф (х) — Я, (х)~ > О, /= ь т. е. все положительные корни хь уравнения (2) $2 удовлетворяют условию хь (77.
П р и и е р. Определить границы действительных корней уравнения 2ха — 100хт+ 2х — 1 = О, (4) Решение, Здесь а,=2 и А=шак (100, 2, 1)=100. Поэтому верхняя граница 77 положительных корней уравнения (4), согласно теореме 2 из $1, есть А 100 Я=1+ — =1+ — =51. 2 Применяя теорему Лагранжа, учитывая, 'что а„=а = — 100 и В=шах(100, 1)=100, будем иметь значительно лучшую оценку длв верхней границы положительнык корней )7=1+ ~Г'~=1+,'/50 =4,7. Наконец, применяя метод знакопеременных сумм, находим: 2х' — 100х' = 2ха (х* — 50) > 0 прн х > ьГ50 (напрнмер, прн х > 3,7) и 2х — 1=2 (х — — ) )0 при х> 0,5.
1т 2) Следовательно, можно принять И=шах(3,7; 0,5)=3,7. 167 метод ньютона Для определения нижней гРаницы г положительных корней уравненив (4) положим: 1 у Тогда уравнение (4) примет вид уь — 2Уь+ 100уь — 2 = О. Последовательно получаем: уь — 2уь=уь(у — 2))0 прн у) 2 н 100уа 2 100(уь 0 02)) 0 прн у) О,З.
Следовательно, Й =снах(2; 0,3)=2 г= — =0 5. 1 Кг Для нахождения границы отрицательных корней в уравненин (4) положим: Отсюда 2вь+10ва+2в+1 = О. (4') Так как коэффициенты уравнения (4') положительны нли равны нулю, то это уравнение не имеет положительных корней, а следовательно, данное уравнение (4) не имеет отрицательных корней. й 4, Метод Ньютона Теорема Ньютона. Если при к=с)0 полинам Р(х) и все его производньы Р'(х), Р" (х), ..., Р'"'(х) неотрицательны: Рнц (с) =~ О (й = О, 1, 2, ..., и), (1) причем Р'"'(с) =и! аь)0, то )с=с может быть принято за верхнюю границу положительнык корней уравнения Р(х) =О. (2) Доказательство.
При х) с, учитывая неравенства (1), на основании формулы Тейлора имеем: Роо (с) Р (х) = Р (с)+ Р' (с) (х — с) +... + — (х — с)" ) О. Следовательно, все положительные корни х+ уравнении (2) удовлетворяют неравенству 168 спвцилльныв пгивмы вешания ллгвнгличвскик кгввнвний [гл.
ч 3 а м е ч а н и е. При практическом применении теоремы Ньютона методом проб (используя, например, схему Горнера) отыскивают монотонно возрастающую последовательность положительных чисел 0 ( с, ~ (се ( ... = с„ г~ (с„, для которых справедливы неравенства Р'" п(с,) )О, Р'" з'(с ) ~0, Р'(с„д) ) О, Р(с„) ) О. Такие числа заведомо существуют, так как для ае > О имеем: Рою (х) — + оо (ш = О, 1, 2, ..., а — 1) при х +оо. Окончательно можно принять с=с„. Действительно, так как гаю(х) =л! а > О, то функция Р'" "(х) — возрастающая и, следовательно, при х > сг мы будем иметь: Р ш " (х) > Р'" и (сг) ~ О.
Из последнего неравенства вытекает, что функция Р"' а'(х) †возрастающая в промежутке [с„+ оо), и поэтому при х > с, ~ с, получаем: Р'" ю(х) > Ры ™ (с ) ~ О. Проводя последовательно это рассужление, мы, наконец, убедимся, что Р(х) — возрастающая функция в промежутке [с„, + оо) и, следовательно, при х > с ) с„ имеем: Р(х) > Р(с„) )О.
Значит, х+ (с„. П р и м е р. Рассмотрим приведенное в примере $3 уравнение Р (х) = 2хз — 100ха+ 2х — 1 = О. Здесь Р' (х) = 1Оха — 200х+2, Р" (х) = 40ха — 200, Р'" (х) = 120хз, Р'и (х) = 240х, Р (х) = 240. 6 6) число дайствитильных когнкй полиномл 169 Очевидно, Р (х) > О, Р''~ (х) > О, Рт (х) > 0 при х > О. Имеем: Р" (х) =40(х' — 5) > 0 при х )2. Примем ст = са = са == 2.
Так как Р' (2) = 10 16 — 200 2+ 2 с.. О, то определяем знак числа Р'(3) =10 81 — 200 3+2 > 9. Можно принять са = 3. Далее, имеем: Р(3) =2 243 — 100.9+2.3 — 1 < 0; позтому вычисляем: Р(4) = 2 ° 1024 — 100 16+ 2 4 — 1 > О. Значит, се=4. Итак, верхняя граница положительнык корней данного уравнения есть )с = 4. Оценка по методу Ньютона получилась точнее, чем приведенная выше опенка по методу Лагранжа, но менее точная, чем оценка по способу знакопеременных сумм (см. пример 6 3). 9 6. Число действительпык корней полииома После того как установлены границы положительнык я отрицательных корней алгебраического уравнения Р(х)=0, (1) где Р(х) †данн полином, возникает вопрос о числе действительных корней данного уравнения на некотором известном интервале (а,Ь).
Общую ориентировку о числе действительных корней уравнения (1) на интервале (и, Ь) дает график у-РЬУ функции у = Р(х) (рис. 43), где кори ямн х„, х, ха являются абсциссы точек пересечения графика с осью Ох. Отметим простые особенности целого полинома. ,гг а 1) Если Р(а)Р(Ь) (О, то на интервале (а, Ь) имеется .нечетное число корней полинома Р(х) с учетом их кратностей. 2) Если Р(а)Р(Ь) > О, то на интервале (а, Ь) или не имеется ~ор~ей по.чинома Р (х), или такнк корней существует четное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
