Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(21) Отсюда на основании выражения (20) получаем: 0 < 1 — АЛ4, < 1 — Ьл < и. Следовательно, можно выбрать: А=в 1 Мт и=1 — — < 1. ль Мт Таким образом, неравенство (21) выполнено. Прим е р 2. Найти наибольший положительный корень $ уравнения х'+ х = 1000 (22) с точностью до 10 а. Р е ш е н и е. Грубой прикидкой получаем приближенное значение корня х = 10, причем, очевидно, $ < х,. ') Если производная 1'(к) отрицательна, то вместо уравнения ((х) О Рассматриваем уравнение — 1(х)~0. 146 АлГеБРАические и ГРАнсцендентные уРАВнения [Гл.
ш Уравнение (22) можно записать в виде х = 1000 — ха, (22') или 1000 1 х= — —— х' (22 ) или х = ~/ 1000 — х, (22"') Значения послевовательнык приближений х„ н у„ <р(х) = ~/ 1 000 — х, будем иметь 3 ~~/ (1000 — к)а Отсюда 1 1 [(р ~Ф [ 3 3/' 9901 300 т' Вычисляем последовательные приближения х„с одним запасным знаком по формулам у„= 1000 — х„; х„, = УГу„(л = О, 1, 2, ...). Найденные значения помещены в таблице 4.
Так как ! — уж 1, то с точностью до 1О А можно положить $ = 9,9667. Метод итерации можно применять также для вычисления корней уравнений, заданных в виде степенных рядов. П риме р 3. Найти действительный корень уравнения [2[ ха ха л' УР АП .и — — + — — — + — — — + ' 3 1О 42 2!3 !320 +( — 1)" г +... =0,4431155. ( — 1)1 (26 — 1) Р е ш е н н е. Имеем х = ~р (х), где ла ла АГ ла лы <р (:к) =' 0,4431! 35+ — — + — — + — .
3 10 42 216 1320 и т. п. Наиболее выгодным из приведенных вариантов оказывается вариант (22"'), так как, взяв Таблица 4 за основной интервал (9,10) и положив 147 9 81 МЕТОД ИТЕРАЦИИ Отбрасывая все степени х выше первой, определяем приближен ное значение корня х, = 0,44. Далее, х =ф(0,44) 0,47; х =ф(0,47) ж 0,476; ха — — ф (0,476) ж 0,4767; ха = ф (0,4767) ж 0,47689; ха = ф (0,47689),'ж 0,476927; ха = ф (0,476927) ж 0,476934; х, = ф (0,476934) ж 0,476936. Следовательно, $ = 0,47693.
Укажем еще один прием улучшения сходимости процесса итерации, который может оказаться полезным в некоторые случаях (7). Пусть имеем уравнение х = ф (х) такое, что в окрестности искомого корня $ выполнено неравенство )ф'(х) ~7т ) 1. Тогда процесс итерации для зтого уравнения расходится. Однако, если данное уравнение заменить зквивалентным уравнением х=тр(х), тле тР(х) =ф т(х) — обратная функция, то мы получим уравнение, для которого процесс итерации сходится, тйк как (ф00) ~» Пример 4. Уравнение 7(х) = — ха — х — 1 =-0 (23) имеет корень $~(1,2), так как 7(1) = — 1 < 0 и ~'(2) =5) О.
Уравнение (23) можно записать в виде х= ха — 1. (24) Здесь ф(х)=ха — 1 и ф'(х)=3х'; ф'(х) )3 при 1»х»2 позтому и, следовательно, условия сходимости процесса итерации не выполнены. 148 хлгвввхическив и тознсцвндянтныз хвлвнвния (гл. ш Если записать уравнение (23) в виде з (25) то будем иметь: зР(~)=1 «+ Ф (х)= з 3,'/(о+1)' 1 1 Отсюда 0(зр (х)< =. ( 4 при 1~х(2 и, значит, процесс 33 4 итерации для уравнения (25) быстро сойдется, 9 9.
Метод итерации для системы. двух уравнений Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными Рз(х, у)=0, ( Гз(х, у) =О, ) х=гр (х, у),~ У=гуз(» У) (2) и построим последовательные приближения по следующим формулам: хз = Ч'з (хо Уо)' Уз = Фз (хо Уо)' хз 'Рз (~з Уз) Уз Фз (хз Уз) (3) Если итерационный процесс (3) сходится, т. е. существуют предели $=!(шх„и т) = )ипуо, действительные корни которых требуется найти с заданной степенью точности. Мы предположим, что система (1) допускает лишь изолированные корни.
Число зтих корней и их грубо приближенные значения можно установить, построив кривые зоз(х, у) = 0' Рз(х У) =0 и определив координаты их точек пересечения. Пусть х =х; у =У, †приближенн значения корней системы (1), полученные графически или каким-нибудь другим способом (например, грубой прикидкой). Ладим итерационный процесс, позволяющий при известных условиях уточнить данные приближенные значения корней. Для зтого представим систему (1) в виде 150 АлгеБРАические и тРАнсцендентные уРАВнения [гл.
Рг П р и и е р. Для системы [2) У' (х, у)=2хо — ху — 5х+1 =О, Уо (х, у) = х+ 3! д х — у' = 0 найти положительные корни с четырьмя значащими цифрами. Гнс. 37. Ре ш ение. Строим графики функций у',(х, у) =0 ну (х,у) =0 (рнс. 37). Приближенные значения интересующих нас корней есть хо=35' уо=22 Для применения метода итерации запишем нашу систему в таком виде: Найдем частные производные 1+— ЗМ дйо Х др, дх /х(Р [ 5) 1 ',дх 2 рх+З!ях 2 где М=0,43429, "то =О. дк 4 ч/ х(в+5) — 1 дя 2 Ограничиваясь окрестностью й ([х-3,5 [( 0,1; [у — 2,2 [:к 0,1), 151 9! метод итегации для системы дВух уРАВнений будем иметь: Н „; 03 4 'а/ 3,4(2,1+5) 2 ~дВ ( 3 б с <027; 4 а / 3 4 (2, 1-1- 3) — 1 2 3 0,43 3,4 1+ — ' <О 42.
дх ) 2 уЗ 4-)-2 13 3 4 Отсюда ! дх (+~ д '~ < 054+042=096 < 1; ! д !+~ д !<027+0=027<1, (4) (6) Следовательно, если последовательные приближения (х„, у„) не покинут области Я (что легко обнаружить в процессе вычислений), то итерационный процесс будет сходящимся. Относительная близость суммы (4) к единице дает основания предполагать, что итерационный процесс в данном случае будет сходиться сравнительно медленно. Приступаем к вычислению последовательных приближений по формулам хх (у«+3) у„+, — — )<' х„+ 3 )и х„(л = О, 1, 2, ...), х„+,— — <р,(х„, у„); <рз(». у.) (л О 1 2 " ). Метод итерации для общих систем рассмотрен в главе ХП1 (2% 8 — 11).
Соответствующие значения последовательных приближений помещены в таблице 5. Таким образом, можно принять я=3,487; т)=2,262. 3 а и е ч а н и е. Вместо рассмотренного процесса последовательных приближений (3) иногда удобнее пользоваться «про<(ессом 3еддеяяж 152 алгввгаичвскив и тгансцвндвнтныв ггавнвния [гл. ш й 1О. Метод Ньютона для системы двух уравнений Пусть х„, у„ — приближенные корни системы уравнений Г(х, у)=0; 6(х, у)=0, где г' и 0 — непрерывно дифференцируемые функции.
Полагая х =х„+Ь„; у =у„+Ь„, получим: г. (х„+Ь„; у„+Ь„) =-О, 0 (х, + Ь„; у„+ Ь„) = О. (2) ~К(х„, у„) г"„(х„у„) ~ ~ 6„(х„, у„) 0„(х„, у„) ~ то из системы (3) находим: Р(х„, у„) Ь'„'(х., у„) Ки) 6(х„, .У„) Оа(х„, у„) Г„(х„, у„) г (х„, у„) Я ) 6„(х„, у„) 6(х„, у„) (4) (5) Следовательно, можно положить: Е'(х„, у„) Р„(х„, у„) 6(х„, у„) 0„(х„, у„) ! «~-1 ~и /(» л ) (6) г',(х„, у„) Г(х„, у„) 0,(х„, у„) 6(х„, у„) 1 ~ (лп ° Иа) (6') (и=О, 1, 2, ...). Исходные приближения хе, уа определяются грубо прибавя<евно. Пример.
Найти вещественные корни системы тт(х, у) ж 2ха — уа — 1 = 0; 6(х, у): — хуа — у — 4=0. Р е ш е н н е. Графическим путем найдем грубо прнблингенные значения корней: хе = 1,21 у = 1,1. Отсюда, применяя формулу Тейлора и ограничиваясь линейными членами относительно Ь„ и Ь„, будем иметь: ~ (х„, у„)+ Ь„Р; (хгн у„) + Ь„~, '(х„, у„) = О, 6 (х„, у„) + Ь„0„(х„, у„) + Ь„6„(х„, у„) = О. Бели якобиан 6 11) мвтод ньютона для слтчоя комплвксных когнвй 153 Подставив в систему (1), получим: Г(1,2; 1,7) = — 0,434; 6(1,2; 1,7) =0,1956. Вычислим якобиан бхз — 2у у' 3ху' — 1 отсюда По формуле (4) вычисляем ло< л 1 ) — 0,434 — 3,40) 3,389 0 0349' о= 97 910( 0!936 9 40)=97 9!О= отсюда по формуле (6) находим: х = 1,2+ 0,0349 = 1,2349. По формуле (5) вычисляем !)о; 434 — — 003 0 о = 97 910 ( 4 9! 0 1936 ~ = отсюда по формуле (6) находим: у = 1,7 — 0,0390 = 1,6610.
Повторяя этот процесс с полученными значениял<и корней, получим; х, = 1,2343; у = 1,66!5 и т. д. Метод Ньютона для общих систем рассмотрен в главе Х!11 (Я 1 — 7) ° й 11, Метод Ньютона для случая комплексных корней На практике (например, при решении линейных дифференциальных уравнений) может встретиться надобность в уточнении комплексных корней данного уравнения ,< (я) =О. (1) Для этой цели иногда моя<но использовать метод, аналогичный метолу Ньютона. Допустим, что У(г) (з=х+)у, (о= — 1) — аналитическая функция в некоторой выпуклой ") окрестности Су ее простого изолированного нуля <, = $+ п) (7<(~) = О, у' (ь) ~ 0), Н г. „...6 ° - -- .,-.
° ° - -о--*. ы, -- * ° концамн отрезка, также принадлежащего 1!. 154 алгввгаическив и тгансцандзнтныв кглвнвния (гл. ш который, вообще говоря, является комплексным. Пусть «2 в приближенное значение корня, принадлежащее окрестности У, и «Л, =«„+Ь«„ — уточненное значение корня. Применяя разложение в ряд Тейлора в точке «л и считая, что ~(«„~д)жО с точностью до 22«„, будем иметь: /(«„+,) жу(«„) -)- дд«„у'(«л) = О; отсюда Л« = —, / (2л) Г(2,)' (2) Таким образом, отправлвясь от какого-нибудь значения «сл шаг за шагом можно получать дальнейшие приближения корня по формуле д — — « —," (л=0, 1,2, ...).
/ (2.) Л+ Л ('(2 ) Если «л ~ //(и = 1, 2, ...) н последовательность («„) сходится, то предел (3) 4= 1'пп «„ Л -> ЛЛ является корнем уравнения (1). Действительно, переходя к пределу при и†оо в равенстве (3), будем иметь: НВД /(2Л) Л Л 1'пп «„,= !!ш « — —, )!ш /' (22) нлн /(О д' (ь) ' Следовательно, /(Р = О. Для оценки погрешности приближенного значения «л предположим, что )~'(«))~лдд)О при «ЕК Тогда для данной функции =у(«) в достаточно малой Л-окрестности корня Ь существует однозначная обратнав функция «=У '(тн), (4) определенная в некоторой окрестности )тв) (р, производная которой, как известно, есть а« 1 й =~(.).
8 11) метод ньютона для слтчья комплаксных котней 155 Предполагая, что [у(вл) [( р, имеем: -; — ь=У '(У(яч)) — У '(У(ьИ= 1 им тию Г аг ("]"'=,] 1'(1-'111) ' (5) 1 св о где Р— текущая точка, пробегающая прямолинейный отрезок между точками у(~) =0 и у'(вл) (рис. 38). Так как ] г] ( р, то ] у т(г) [ ( Я и, следовательно, [~'(У '(1))]~юы Отсюда на основании формулы (5) будем иметтн тпю )аП 17( )1 [г„— Д=: ~,, ~ " .(8) ч ~= 1нпг„. Быстрота сходимости процесса характеризуется оценкой [~ — ял]( В, ( — ) р' (7) П р и м е р. Приближенно найти наименьшие по модулю корни уравнения у(е) = — е' — 0,2г+ 1 =0. (8) Приведем без доказательства достаточные условия существования корня уравнения (!), вытекающие нз теоремы Островского [8], [9]. Т е о р е м а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
