Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Применяя теорему Лагранжа, будем иметь: у' (х) — у' (т) = (х — $) у" (с), где с — промежуточное значение между х и $, т. е. сЕ(сс, ))). Отсюда, так как у'Я) =0 и )у'(с) ~ ~ шы получим: !У(х) — Уй)) =!У(х)) ~ ш,(х — $). Следовательно, )х — $)(— П(л)! 1 За меч ан не. Формула (5) может дать грубые результаты, и ее не всегда удобно применять. Поэтому на практике тем нли иным способом сужают общий интервал (а, Р), содержащий корень $ н его приближенное значение х, н полагают )х — $) ~)) — а.
П р я м е р 4. Приближенным корнем уравнения у'(х) =ха — х — 1 = 0 является У х = 1,22. Оценить абсолютную погрешность этого корня. Рнс. !1. Рнс. !2. Решение. Имеем у(х) =2,2153 — 1,22 — 1= — 0,0047. Так как при х=1,23 получаем Г (х) = 2,2888 — 1,23 — 1 = + 0,0588, то точный корень $ содержится в интервале (1,22; 1,23). Производная у'(х) = Зха — 1 монотонно возрастает. Поэтому ее наименьшим значением в данном интервале является: лгг=З 1,22а — 1=-3 1,816 — 1=4,448. Отсюда по формуле (5) получим: ! — Ц ( -4г-448- 0,00 1.
116 Алгевглические и ТРАнсцандантныа теавнания [гл. ш Замечание. Иногда на практике точность приближенного корня х оценивают по тому, насколько хорошо он удовлетворяет данному уравнению у (х) = О, т. е. если число )у'(х) ! малое, то считают, что х является хорошим приближением точного корня $; если же )у(х)) велико, то х полагают грубым значением точного корня $.
Такой подход, как показывают рис. 11 и 12, является неправильным. Не следует также забывать, что если уравнение у'(х) = О умножить на произвольное число И+О, то получзется равносильное уравнение М~(х) = О, причем число !М~(х)) можно сделать сколь угодно большим или сколь угодно малым за счет выбора множителя М. 2 2.
Графическое решение уравнений Действительные корни уравнения г" (х) =О приближенно можно определить как абсциссы точек пересечения графика функции у=у'(х) с осью Ох (рис. 9). Всли уравнение (1) не имеет близких между собой корней, то этим способом его корни легко отделяются. На практике часто бывает выгодно уравнение (1) заменить равносильным ему уравнениеме) р(х) =ф(х), (2) где функции !р (х) и ф(х) — более простые, чем функция у'(х).
Тогда, построив графики функций у=<р(х) и у=ф(х), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этик графиков. П р и м е р 1. Графически решить уравнение х 1а х = 1. (3) Решение. Запишем уравнение (3) в виде равенства ! !дх= —. х Рис.
13. Отсюда ясно, что корни уравнения (3) могут быть найдены как абсциссы точек пересечения логарифмической кривой у — — 1д х и ! гиперболы у= —. Построив эти кривые (рис. 13) на координатной ~) Два уравнения называются равноснльнымн, если онн имеют одина. коаые корни. 8 2) 117 ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ бумаге, приближенно найдем единственный корень $ 2,5 уравнения (3).
Нахождение корней уравнения (2) упрощается, если одна изфункцнй Гр(х) или ф(х) линейная, т. е., например, ~р(х) = ах+Ь. В этом случае корни уравнения (2) находятсн как абсциссы точек пересечения кривой у=ф(х) и прямой у=ах+Ь. Особенно выгодным оказывается этот прием при решении ряда однотипных уравнений, отличающихся только коэффициентами а и Ь линейной функции, Здесь графическое построение сводится к нахождению точек пересечения фиксированного графика у = ф (х) различными прямыми.
Куказанному типу, очевидно, относятся трехчленные уравнения х" + ах+ Ь = О. Приме р 2. Решить кубическиее уравнения ха — 1,75х+ 0,75 = 0 ха+2х+7,8=-0. Р е ш е н и е. Построим кубическую параболуу=ха. Искомые корни находятся как абсциссы точек пересечения втой параболы прямыми (рис. 14) у = 1,75х — 0,75 и у = — 2х — 7,8. По чертежу ясно, что первое уравнение имеет три действительных корня: х, = — 1,5; х = 0,5; ха = 1, а второе уравнение — лишь один действительный корень х = — 1,65.
1 Отметим, что хотя графические методы решения уравнений весьма удобны и сравнительно просты, но они, как правило, применимы лишь для грубого определения корней. Особенно неблагоприятным в смысле потери точности является случай, когда линии пересекаются под очень острым углом и практически сливаются по некоторой дуге.
Разновидностью графических методов решения уравнений являются нотографические методы, для ознакомления с которыми следует обратиться к специальным руководствам. 113 хлгевгхическия и технсцендвнтныв ггхвнения [гл. ш 3 3. Метод половинного деления Пусть дано уравнение у'(х) = О, (1) где функция у(х) непрерывна на [а, Ы и у(а)у(Ь) (О. Для нахождения корня уравнения (1), принадлежащего отрезку апач-ь'~ [а, Ы, делим этот отрезок пополам. Если 1'( — ) = О, то ь = (,2)= а+а 2 = — являе~ся корнем уравнения. Если у ( †) ф О, то выби- 2 а+Ы Га+Ь раем ту из половин ~а, — ~ или ~ — , Ь~, на концах которой функция у'(х) имеет противоположные знаки.
Новый суженный отрезок [а,, Ь,[ снова делим пополам н проводим то же рассмотрение и т. д. В результате получаем на каком-то этапе нли точный корень урзвнения (1), или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков [а,, Ь„[, [а,, Ь,1, ...,[а„, Ь„), ... таких, что Г"(а„)у'(Ь„) < О (а=1, 2, ...) (2) и ܄— а„= р (Ь вЂ” а).
1 (3) Так как левые концы а,, а„..., а„, ... образуют монотонную неубывающую ограниченную последовательность, а правые концы Ь,, Ья, ..., Ь„,, — монотонную невозрастающую ограниченную последовательность, то в силу равенства (3) существует общий предел $ =1[а а„=!1ш Ь„. н л-~ю Переходя к пределу при л оо в неравенстве (2), в силу непрерывности функции у(х) получим [у($)[хм О. Отсюда у'(я) =О, т. е. $ является корнем уравнения (1), причем, очевидно, О ~с — а„~ — „(Ь вЂ” а). (4) Если корни уравнения (1) не отделены на отрезке 1а, Ь[, то таким способом можно найти один из корней уравнения (1).
Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня данного уравнения, так как при увеличении точности значительно возрастает объем вычислительной работы. Заметим, что метод половинного деления легко реализуется на электронных счетных машинах. Программа вычисления составляется так, чтобы машина находила значение правой части уравнения (1) в середине каждого из отрезков [а„, Ь„[ (и = 1, 2, ...) и выбирала соответствующую половину его. ф 4) спасов пгопогционлльных члствй (мвтод хогд) 119 П р и м е р. Методом половинного делении уточнить корень уравнения ~'(х) =хл+2ха — х — 1 = О, лежащий на отрезке [О, 1).
Р е ш е н н е. Последовательно имеем: 7(0) = — 1; у (!) = 1; ~(0,5) = 0,06+ 0,25 — 0,5 — 1 = — 1,19; у(0,75) = 0,32+ О, 84 — 0,75 — 1 = — 0,59; у(0,875)=0,59+1,34 — 0,88 — ! = +0,05; 7"(0,8125) = 0,436-[- 1,072 — 0,812 — 1 = — 0,304; у'(0,8438) = 0,507+ 1,202 — 0,844 — 1 = — 0,135; у'(0,8594)=0,546+1,270 — 0,859 — 1 = — 0,043 и т.
д. Можно принять $ = — (0,859+ 0,875) =-0,867. й 4. Способ пропорциональных частей (метод хорд) Укажем (в предположениях 6 3) более быстрый способ нахож денни корня $ уравнения у(х) = О, лежащего на заданном отрезке [а, Ь] таком, что 7'(а)7"-(Ь) ( О. Пусть для определенности 7(а) (0 и У'(Ь) ) О.
Тогда, вместо того чтобы делить отрезок [а,Ь] пополам, более естественно разделить его в отношении — у'(а):7" (Ь) (г Эго дает нам приближенное значение корня х,=а+Ь„(1) где — [,(а) — [( )+[(а) (Ь [ (а) — ( (Ь вЂ” а). (2) Далее, применяя этот прием Рнс. 15. к тому из отрезков [а, х,] или [хм Ь], на концах которого функция Г(х) имеет противоположные знаки, получим второе приближение корня х, и т.
д. Геометрически способ пропорциональных частей эквивалентен замене кривой у = г'(х) хордой, проходящей через точки А[а,г(а)) и В[Ь, у'(Ь)] (рис. 15). В самом деле, уравнение хорды АВ есть х — а К вЂ” /(а) Ь вЂ” а [ (Ь) — а (а) !20 АлгеВРАическне и тРАнсцендентные ЕРАВнения [гл. щ Отсюда, полагая х =х, и у = О, получим: х, = а — Га) — Г-) (Ь вЂ” а). 1 (а) Г(Я вЂ” ~ (а~ Формула (1') полностью эквивалентна формулам (1) и (2). Для доказательства сходимости процесса предположим, что корень отделен и вторая производная ул(х) сохраняет постоянный знак на отрезке (а, Ь). Пусть для определенности у'"(х) ~ 0 прн а(хл Ь (случай у" (х) < 0 сводится к нашему, если записать уравнение в виде У В Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
