Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 16
Текст из файла (страница 16)
если ,Уе ) В этом случае, очевидно, имеем: 1)ау„=~ х, причем у„) )'х (л=1, 2, ...). причем восемь или семь десятичных знаков являются верными. Действительно, ~ 2 = 1,41421356... 106 вычисление значений етнкцнй )гл. ш Заметим, что 1 / у,— у =у„,— 11у,+ — ) = " ' > О, (6) Ух-г Ул поэтому приближения у„ при п,=ь 1 образуют монотонно убывающую последовательность у, >у, »... >у„, >у„»... )/ е). При работе на счетной машине число х удобно записывать в двоичной системе х = 2 х„ где лг †цел число и — ~х, ( 1. м 1 Тогда за нулевое приближение обычно принимают: '(7) Уе /гн~ И где Е 11 †/1 †цел часть числа — . ~2) 2 Пример 2. Найти)/5.
Рс шеи и е. Здесь х=5=2а —. Поэтому з 5 (7) уз=2 ' =2. Е( †) Ут 2 (2+ 2) =2,25, Уе = 2 (2,25+ 2 25) 2 (2,25+ 2,2222) = 2,2361 и т. д. По таблицам квадратных корней имеем: )/5 = 2,236068... Оценим величину )д), выражаемую формулой (5), исходя из значения уе, определяемого формулой (7). Если ш =- 2р есть число четное, то имеем: уз=-2 ' =2~> )/х Е( — ) и, следовательно, ух+ )/х 2л+2л Р х, 1+ )/хх ~) Знак равенства может иметь место только прн уе= )/х.
По формуле (2) последовательно находим: ув — 1' х 2л — 2в $' х, 1 — $/х, )Ч! )/:,' = ()/ 2 — 1)'. /1 ~2 $12) вычисление квадеатного коеня Аналогично, если лг.= 2р + 1 есть число нечетное, то у,=2 ' =2г<3' х. е!7) Поэтому Ух — у«2Р У2х,— 2Р )' х+ у«2Р У2х, + 2Р Таким образом, всегда инеем: )д((($' 2 — 1)'=О,!7!6... < —. Отсюда на основании формулы (4) получим: О~у — ф'х < 2 Ух «( — ут — при п~1, 5 где 2 (Уа + Кю ) ~' 2 Уа Отсюда 0(у„— р'х< — у ( — ) (8) Следовательно, О~у„— )' х~у„т — у..
(9) Таким образом, если 0(у„,— у„< е(п~2), то гарантировано, что 0-=у„— 1' х < и Укажем еще один способ вычисления квадратного корня, оказывающийся иногда полезным. Заменим функцию (1) эквивалентныч соотношением Р (х, у) == —, — ! = О. я~ Из формулы (8) легко можно определить число итераций п=п(х), достаточное для обеспечения заданной точности. Приведем еще одну формулу для оценки погрешности значения у„(п ) 2).
Так как у„, ) 'к' х и —" ( )г х, У« то, учитывая формулу (О), имеем: х уп1 х у,,— !' х ~у„„— — = = 2 (у„,— у„). « -1 «-1 108 вычисляння знлчяний еьнкций (гл. ш Тогда г"„(х, у) = — —. 2х у« Применяя формулу (4) 8 10, получим: х — — 1 у у+ э к« или у„~д=~" 3 — —" (л=О, 1, 2, ...). (10] Выяснение условий сходимости итеративного процесса (10) и оценку погрешности мы оставляем без рассмотрения. 3 13.
Вычисление обратной величины квадратного корня Положим у= = (х) О). ! р'х Записав функцию в виде у„+, —— ~ —" (3 — ху„') (л=О, 1, 2,,). (1) Если х= 2 хы где — -=х, (1, то за у«выбирается значение Заметим, что, пользуясь очевидным равенством )ух =х )/ —, в силу формулы (1) извлечение квадратного корня из числа можно производить также «без деления». В 14. Вычисление кубического корня у= ~' х (х) О), Г (х„у) =. у' — х = О, Если то, положив из формулы (10) прелыдущего параграфа получим итеративный про- цесс «без деления» 5 14) 109 вычиолвния кгвичяского когня будем иметьи Р'„(х, у) = 3у'. Отсюда, применяя формулу (4) 8 1О, получаем: ял а зд (2) или у.,~= 3 (2У*+ * ) (3) Геометрически процесс (3) представляет собой метод Ньютона, при- мененный к кубической параболе я =у' — х (х = сопя() (рнс.
8). Процесс (3) сходится при уа) О. Если в качестве начального приближения уа взять табличное значение у х, имеющее относительа:— ную погрешность (6), т. е. поло- жить у, = Р~х(1+6), то значениеу„найденное из формулы (3), даст 1~/ х с относительной погрешностью 6'.
Действительно, применяя формулу (3), имеем: 1 / х У1= 3 (2уа+ — ) = 3( а „а)— =т(2Г (1+6)+ + ~/ х (1+ 6) а) = = 3 ьУх(2+26+1 — 26+36а)= Рнс. 8. = ~~У х (1+ 6'). Отсюда, в частности, заключаем, что если уз имеет р верных знаков в узком смысле, то уг будет иметь примерно 2р или 2р — 1 вернык знаков в широком смысле (ср. 9 12). П р и м е р. По трехзначным таблицам имеем: рГ 10 = 2, 154, где все знаки верные. (гл. ш вычисление значений Функций Применяя формулу (3), получаем: ~/ 10= — (2 2,154+ 1 4' ) — (2 2,154+2,155304) = 2,154435.
2 154з 3 Для сравнения приводим значение из ~аблиц Барлоу ~Г 10 =- 2,1544347 .. Если х = 2 х, где лз — целое число и — ~х, < 1, то за начальа 1 ное значение уз обычно выбирают Уз — 2 Ч l)0. (4) Так как д 1 у — зг' х=— а 3 (2уа, + —, — 3 ~У' х) = ьа-д = — (уа — ~~Гх)з (2уа,+ Ь/х) ) О, ь'а-д то уа» ~Г х прн и»1. (5) Кроме того, из формулы (2), заменяя и+1 на и, имеем: аа,— а д 3 а Зуа (6) поэтому Ут»уз» «Уа-т»У,» Отсюда вытекает, что существует 1пп уа =у > О. а-+а Переходя к пределу прн п- со в равенстве (3), будем иметь: у= 3 (2у+ —,), т.
е. у'=х н, следовательно, у= ь х. Таким образом, з ьзг— а в при и= 2. Если начальное приближение уд выбирается на основании фор- ' мулы (4), то можно доказать, что 0 ~у„— ~Гх ~ — (уа — уа) з — 3 литегатуга к тгитьнй главк 1!1 Литература к третьей главе 1. В. И.
Смирнов, Курс высшей математики, т. 1, изд.!7, Гостехиздат, М., 1957, гл. !Н. 2. А. Ма рк о в, Исчисление конечных разностей, изд. 2, Матезис, !911, гл. П!. 3. Г. П. Толстов, Курс математического анализа, т. П, Гостехиздат, М., 1957, гл. ХХ1Н. 4. А. Н. Х о вакс к и й, Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросзм приближенного анализа, Гостехиздат, 1956, гл. П. 5.
Б. М. К а г а н и Т. М. Те р-Ми к вал ни, Решение инженерных задач на автоматических цифровых вычислительных машинах, Госзнергоиз. дат, М.— Л., !958, гл, 111. б. Г. М. Фихтенг о л ь ц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, ОГИЗ, М.— Л„!948, т. !1, гл. ХП, 7. Л. А. Люстерник, А. А. Абрамов, В. И. Шестаков, М. Р. ШураБ у р а, Решение математических задач на автоматическик цифровых машинах, Изд. АН СССР, 1952.
ГЛАВА 1'т' ПРИбЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСПЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ ф 1. Отделение корней Если уравнение алгебраическое или трансцендентное достаточно сложно, то его корни сравнительно редко удается найти точно. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней уравнения теряет смысл. Поэтому важное значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности. Пусть дано уравнение ,р(х) =О, (1) где функция у'(х) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале а ( х ( Ь.
В дальнейшем в некоторых случаях нам понадобится существование и непрерывность первой производной у'(х) или даже второй производной у'"(х), что будет оговорено в соответствующих местах. Всякое значение $, обращающее функцию у'(х) в нуль, т. е. такое, что называется корнея уравнения (1) или нулем функции у'(х). Мы будем предполагать, что уравнение (1) имеет лишь изолированные корни, т. е. для каждого корня уравнения (1) существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения. Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения (1) обычно' складывается нз двух этапов: 1) о т д е л е н и е к о р н е й, т.
е. установление возможно тесных промежутков [а, р), в которых содержится один и только один корень уравнения (1); 2) уточнение приближенных корней, т. е. доведение их до заданной степени точности. Для отделения корней полезна известная теорема из математи ческого анализа ([5~, гл. 17). ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ Те оре ма 1. Если непрерывная функция у(х) принимает значения разных знаков на концах отрезка (а, р), т. е. ~'(а)у(р) (О, то внутри этого отрезка содержится ло меньшей мере один корень уравнения у (х) = О, т. е. найдется хотя бы одно число 9 Е (сс, р)ч) такое, что у'(9) = 0 у-г(х1 (рис.
9). Гф~ Корень $ заведомо будет ! единственным, если производная ьй у" (х) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (сс, р), т. е. если у" (х)~0 ~'У! (или г"'(х) ( 0) при ач х()) (рис. 10). Процесс отделения корней Рис. 9. начинается с установления знаков функции у'(х) в граничных точках х = а и х =Ь области ее существования. Затем определяются знаки функции у'(х) в ряде промежуточные точек х = а, а„ ..., выбор которых учитывает особенности функции у'(х). Если окажется, что у(аь) ~(аь„,)ч.
О, то в силу теоремы 1 в интервале (аь, ссьь,) имеется корень уравненияу(х)=0. т'г" ! д 1 Нужно тем или иным способом Рпг ер убедиться, является ли этот корень единственным.Дляо~делении корней практически часто бывает достаточно провести процесс д 1 половинного деления, приу гузг ближенно деля данный интервал (сь, р) на две, четыре, восемь и т. д.
равных частей (до некоторого Рис. 1О. шага) и определяя знаки функции у(х) в точках делений. Полезно помнить, что алгебраическое уравнение и-й степени а,х" +а,х" '+... +а„=О (аьчьО) имеет не более и действительных корней. Поэтому если для такого уравнения мы получили л+1 перемену знаков, то все корни его отделены. П р и м е р 1.
Отделить корни уравнения У'(х) = — ха — бх+ 2 = О. (2) *) запись с й (а,()) обозначает, что точка е принадлежит интервалу (а,р). 114 ьлгввтьичяскнз и ттьнсцендантныв тгквняния (гл. пт Р е ш еи и е. Составляем приблизительную схему: ! !м !по х 1 3 + ьь — 3 — ! О + + Следовательно, уравнение (2) имеет три действительных корня, лежащих в интервалах ( — 3, — 1), (О, 1) н (1, 3).
Если существует непрерывная производная у'(х) и корни урав- нении г'(х) =-0 легко вычисляются, то процесс отделения корней уравнения (1) можно упорядочить, Для зтого, очевидно, достаточно подсчитать лишь знаки функции ~'(х) в точках нулей ее производной и в граничных точках х=а и х=у. П р и м е р 2. Отделить корни уравнения у (х) = — х' — 4х — 1 = О. (3) Решен не. Здесь у'(х) =4(х' — 1), поэтому ~'(х) =0 прн х=(. Имеем Г( — оо) ) 0(-(-); т(!) ( 0( — ); у(-)-оо) ) 0(+ ). Следовательно, уравнение (3) имеет только два действительных корня, нз которых один лежит в интервале( — оо, 1), а другой — в интервале (1,+ ). П р и и е р 3. Определить число действительных корней уравнения у (х) = х + е' = О.
(4) (х — Ц!( —. )7(х)! пь (5) ') В частности, за тп можно взять наименьшее значение 1!'(х)) прн а~х~р. Решение. Так как у'(х)=1-) е" ) 0 и у( — оо)= — оо, у'(+ оо) = + оо, то уравнение (4) имеет только один действительный корень. Дадим теперь оценку погрешности приближенного корня. Т е о р е м а 2. Пусть $ — точный, а х — приближенный корни урцвненил у'(Х) = О, находли!иесл на одном и том же отрезка !а, ))1, причем ~у'(х) ) ) пг, ) 0 при сс~х(рь). В таком случае справедлива оценка 5 1) 115 отдаление когняй Д о к а з а т ел ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
