Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Тогда из соотношения (6), учитывая, что а» 0 и Ьг)0 (1=1, ..., й), получаем: — — — ) О. Р„„Р»м е,. е... Следовательно, Рь »,Р, г) О или — < — ( — ( Р, Рь Рь Е. О. с). (9) 2. Пусть й =2гп + 1 †нечетн число. Следовательно, й — 1 будет четным числом. Тогда из того же соотиошеиия (6) будем иметь: — )— Рь з Рь +д сг т и'ь, +з или — ) — ) — ) Р» Ра Рь О с) О (10) Таким образом, доказаи9, что четиые подходящие зуют монотонно возрастающую последовательность, а монотонно убывающую (рис. 1). Далее, если в соотношении (4') положить й=2т, Рьм» Рь, э О.. .
О,. дроби обранечетные— то получим: (11) Теорема 4. Если все элементы конечной цепной дроби положительны, то ее подходящие дроби четного порядка образуют монотонно возрастающую последовательность, а подходящие дроби нечетного порядка образуют монотонно убывающую последовательность. При этом каждая подходящая дробь четного порядка меньше любой подкодящей дроби нечетного порядка. Само же число а, выражаемое цепной дробью, содержится между двумя соседними подходящими дроблми. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть имеем цепную дробь подходящие дгоая т. е. всякая подходящая дробь нечетного порядка больше соседней подходящей дроби четногопорядка.
Отсюда заключаем, что любая подходящая дробь нечетного порядка больше любой подходящей ~Р Р ф л ъ А р~ к 4 Рис. 1. если же а > лз, то — » — — ° Р рма Ям а 9м Яаш Следовательно, прн любых г и гл имеем: рм, р, =) — . е„, е,. Наконец, из способа образования цепной дроби Ь1 се=аз+ а1+ а,+. (12) имеем очевидные соотношения с) —, а< —, а>— Ра Р1 Ра Е.' 1),' а.
и'т. д. Следовательно, рь — с аС вЂ”, рь+, ч'а Еа+ (13) если и †четн число, и > и> — "+', (13') Я* е если л-нечетное число. Очевидно, что для последней подходящей дроби вместо строгих неравенств (13) и (13') мы будем иметь справа равенство. Следствие 1. Если элементы цепной дроби (8) положятельны и — — ее подходящие дроби, то справедлива оценка Ра )а !"--~ ь,ь,...ь„ , Ь! 9ача+1 дроби четного порядка. Действительно, пусть = †как-нибудь Яы-1 нечетная подходящая дробь. Есля а~аз, то — ) " >— ры, р, „, раа 0ю 1 Яви 1 Яьа 64 нвкотогыв сввдвния из таогии цвпных дговвй (гл.
н Действительно, так как согласно доказанному имеем: то на основании формулы (4') получим оценку (14). Сл ел с т в и е 2. Если цепная дробь а с положительными элементами — обыкновенная и — — ее последовательные подходящие Ра Ча дроби, то ~а — Рь~» 3 а м е ч а н и е. Если элементы обыкновенной цепной дроби — натуральные, то можно показать [1~, что подходящая дробь — является Рь еь наилучшим приближением числа сс, т. е. все остальные дроби Р со знаменателем д ~ д отклоняются от числа а больше, чем дробь — .
Ра еа 169 П р и м е р 3. Для дроби — предпоследней подходящей дробью 59 58 являлась — (см. пример 1). Поэтому 21 — — — < 0 001. 1 163 58~ 1 59 21~ 59 21 й 4. Бесконечные цепные дроби Пусть (и = 1, 2, 3, ...). (2) О п р е д е л е н н е. Бесконечная цепная дробь (1) называется сходящейся, если существует конечный предел а= 1ип Рп д ао Ю» (3) причем число а принимается за значение втой дроби. Если зке пре- дел (3) не существует, то цепная дробь (1) называется расходлн(елсл и ей не приписывается никакого числового значения. †бесконечн цепная дробь. Рзссмотрнм ее отрезок, т.е.
конечную цепную дробь весконвчныв цепные дгоби 66 5 41 Согласно критерию Коши [3) для сходимости последовательности —" (и=1, 2, 3, ...) необходимо и достаточно, чтобы для каждого Ял в ) 0 существовало число М=М(е) такое, что при и) М и любом лс) О. Если Ов ф О, то, очевидно, имеем: в Отсюда (4) т. е. сходимость цепной дроби (1) эквивалентна сходимостн ряда (4'). Если цепнав дробь (1) сходится: а =1цп Р» и-~во Оп' то в силу формул (4) и (4') имеем оценку.
Ьв к=ив и аь=»д) О (й=1, 2, ...), (3) то цепная дробь (1) — скодяи(аяся. Дока з а т е л ь с т в о. При доказательстве первой части теоремы 4 предыдущего параграфа не было использовано свойство конечности цепной дроби. Поэтому, повторяя это доказательство, устанавливаем, что если элементы цепной дроби (1) положительны, то ее четные подходящие дроби — (й = 0 1, 2, ...) образуют монотонно возРвь растающую последовательность, ограниченную сверху (например, числом — ~.
Отсюда в силу известной теоремы заключаем, что Рв1 0 У" существует 1пп — — — и. Рвв в,», Овй Н. П. демндоввв в И. А. Мврвн Теорема 1. Если есе элементы аь, Ьь(й=-О, 1...) цепной дроби (1) положительны, причем Аналогично в условиях вашей теоремы нечетные подходящие дроби — '»'"' (Ь О, 1, 2, ...) цепной дроби (1) образуют монотонно убываюе..., щую последовательность, ограниченную снизу (например, числом — ~. Я» Следовательно, существует также 1пп '»+' = р, »-~ ~а Я»»+» причем и~а. Кроме того, для любого ЙРвО имеем: с)»» О*-.
поэтому, используя теорему 2 $ 3, получим: Ом. р — а( — — — = '" =т)„. Р,»ь, Р,» Ь~Ь ...Ь» +» с)„., а„= Е„О„„= Покажем, что т)»- О при Ь вЂ” оо. В самом деле, на основании закона составления подходящих дробей при Ь~2 имеем: Я» — — аЯ»,+Ьф» » и Я~, = а„ф„, + Ь„ф Отсюда в силу уСловия (5) теоремы выводим: »г» ~ Ь» Ф»- +»с - ) Следовательно, а» Ь» (1+ 4 (с»». Из неравенства (7) последовательно получаем: ()» ~Ь»»(1+а)а» ... ~ Ь»»Ь»»»... Ь» (1+ ()" ()» = Ь»Ь»...Ь»» (1+ с[)' (7) (8) а»„,~Ь„+,(1+а~)а»» .~". ... ~ Ьв»„ ...Ь» (1 + ()" 0, ~ Ь,Ь»...Ь»»+,(1 + а)', (й) так как Я = а„~Ь,. Перемножая неравенства (8) и (9), находим: " д,„д,„„~Ь,Ь,...Ь„„(1 [..)»» (10) и, значит, ь,ь ...Ь О с) + ()+~)* Таким образом, т)» - О при Ь - оо.
66 нвкотогыв сведения из твогии цепных дговвй [гл. и весконвчныв цепные дговн Поэтому, переходя к пределу при й — оо в неравенстве (6), будем иметь О ( ))-а а=; О, т. е. а= Р= 1!ш —, рч ч-~ ю Юл и, следовательно, цепная дробь (1) сходится. 3 а м е ч а н и е. Для сходящейся дроби (1) с положительными элементами ее значение сс заключено между двумя последовательнимн подходящими дробями = н — . Следовательно, !ч г ри )., е.' !" ~~ !-!~~ 6 ~= а с) Отсюда 1 б+ У 41 а,===— р 4! — 5 5 Наибольшее целое число, заключающееся в аы есть 2, поэтому ах= 2+— ! ав (12) Отсюда 1 5 4+У4! 1 а,— — == — 2+— аг — 2 г' 41 — 4 5 аа (13) Аналогично а = = =6+ у 41=12+ —; ! 5 .г — ! а — 2 Г4! — 5 ча ' (14) 5+ У"4! 5 аь ! ! а,— аа — !г У4! 5 (15) Следствие.
Обыкновенная цепная дробь с натуральными элементами всегда сходится. Можно доказать !11 также следующую теорему. Теорема 2. Каждое положительное число а можно разло жить в обыкновенную сходящуюся цепную дробь с натуральными элементами, причем зто разложение единственно. Полученная цепная дробь конечна, еслн а †рациональн чнсло, н бесконечна, если а †иррациональн число. Пр им е р. Разложить в цепную дробь число )~ 4! и найти его приближенное значение. Р е ш е н н е. Так как наибольшее целое число, заключающееся в )' 41, есть 6, то имеем: Ф'41=6+ '.
(11) 68 некототые сведения нз теогии цепных дговей (гл. п Мы замечаем, что а4 — — ад, поэтому элементы цепной дроби будут повторяться, т. е. цепная дробь подучится периодической. Производя последовательную подстановку в равенство (11) выражений(12), (13), (14), (15) и т. д., получим: $' 41=6+ 2+ 2+ 12+ 2+ 2+ + Таким образом, иррациональное число $т 41 выразилось бесконечной периодической цепной дробью: Подходящие дроби — ь(74 = О, 1, 2, ...) находим, пользуясь слеРь еь дующей схемой: — 6 ! 2 ! 2 ! 12 ( 2 ) 2 ( 12 Ограничиваясь, например, пятой подходящей дробью, мы будем - с — 2049 иметь приближенное значение Р'41 по избытку: ь' 41 320 = 6,403125 с абсолютной погрешностью меньшей, чем 1 ! 320 (2 320+ 129) 320.769 Т е о р е и а 3 (П р н н с г е й и а).
Если для бесконечной цепной дроби Г, ьл (16) в, ' вь ' ' в„ ' выполнены неравенства )Ь„)+1м~;)а„! (и=1, 2, ...), (17) то эта дробь — сходящаяся, причем абсолютное значение вв не превышает единицы 14~. ф 4) ввсконвчныв цепные леони Доказательство. Пусть — (й 1, 2, ...) — подходящие Р» е» дроби цепной дроби (16). Так как ф,= аф» »+А»» (й= 1, 2, ...), то 1Я» 1 Р- ( а 1'1 Я», ! — '1 Ь ) ( Я» Отсюда, используя неравенство (17), получаем: 1О» 1 ~ (1Ь»(+1)1О», ( — 1Ь»110»» (, илн (21) Ю»! 1Ю вЂ” 1~!Ь»!(10»- ! Ф»- 1) ° (18) Последовательно применяя неравенство (18) и учитывая, что (г»=1 н Я,=О, будем иметь: 1Ц, ( — 10,,1~ (ь,11ь»,1... 1Ь, ) . (19) Из неравенства (19) вытекает, что ф»1 монотонно возрастает при возрастании Й, причем 1(с»!) /Я>1=1.
Сходимость цепной дроби (16) эквивалентна сходимостя ряда ж »-» Р-,' ~ ~-О 1» <,'е ~ ~~7» ч»-» а» ч»»0» »=, ' »=г Рассмотрим ряд модулей ", 1ь,11ь,1 ... (ь»1 ~ Та .ГГ6'1~ На основании неравенства (19) имеем: " 1ь,11ь,1 ... 1ь,( " 1 7»1 — 1а„,1 1Я»-»119»1 ~' 1Ю»»11Я»1 У~ ~ ) < 1 (и 1 2 ) 1).1) 1а.1 1а.1 1).1 Таким образом, частные суммы ряда (21) ограничены н, следовательно, этот ряд сходится, причем ", 1ь,11ь,( ...
1ь,( (22) ф~ 1Я»»110»1 Но тогда, в силу признака сравнения, также сходится, и притом абсолютно, ряд (20), т. е. существует ~~~ (»»-)=ц »=» 70 нвкотогын сведения из твогии цепных дговвй (гл. и Кроме того, учитывая неравенство (22), имеем: )а) (1. 3 а меч а ни е 1. Для сходимости цепной дроби (16) достаточно, чтобы неравенство (17) имело место при л)лр, причем 9Х~О при й~лр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
