Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Р е ш е н и е. По формуле (1) имеем: 5= — — + — — = — 10 ьк,— 1О а, 1/1 1т 1 1 „! к=2 ~9 97'1Оь 9' 2' Следовательно, произведение и имеет по меньшей мере трн верные цифры (см. 9 5). П р и м е р 2. Определить относительную погрешность и число верных цифр произведения и= 17,63 14,285.
Решение, Следовательно, в произведении будут по крзйней мере три верные цифры (в широком смысле). 9 11. Погрешность частного х Если и= —, то 1пи=1пх — 1пу у Ьи Ьх ау и х у Отсюда Й И+17! Из последней формулы вытекает, что теорема 9 9 верна и для частного. Теорема. Относительная погреишость частного не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя. Сл едс тв не.
Если и.= —, то 3„=6 +3 . к к т' П р и и е р. Найти число верных знаков частного и = 25,7:3,6, если все написанные знаки делимого и делителя верны. Решение. Имеем: б, =,— '. + — 3' б — — 0,002+0,014=0,016. 3 14) относнтзльнля погташность когня 30 Так как и=7,14, то Д„=0,016 7,14=0,11. Поэтому частное и имеет два верных знака в широком смысле, т. е. и=7,1 или, более точно, и = 7, 14 Ь.
О, 11. 3 12. Число верных знаков частного Пусть делимое х и делитель у имеют по меньшей мере яг верных цифр. Если сс н Р— их первые значащие цифры, то за предельную относительную погрешность частного и может быть принята величина '='и+3)® ' Отсюда получаем правило: 1) если а)2 и ()) 2, то частное и имеет по меньшей мере ш — 1 верных знаков; 2) если а=1 илн () = 1, то частное и заведомо имеет гп — 2 верных знака. 3 13. Относительная погрешность степени Пусть и =х (пг †натуральн число), тогда 1п и =и 1пх и, следовательно, Отсюда 3, = пгб„, т. е, предельная относительная погрешность и-й степени числа в ш раз болыие предельной относительной погрешности самого числа.
3 14. Относительная погрешность корни Пусть теперь и = $'х, тогда и =х. Отсюда б„= — 6„, 1 т. е. предельная относительная погрешность корня лг-й степени в ш раз меньше предельной относительной погрешности подкореннаго числа. П р и и е р. Определить, с какой относительной погрешностью и со сколькими верными цифрами можно найти сторону а квадрата, если его площадь с=12,34 (с точностью до 0,01). Р е ш е н и е. Имеем а = )У з = 3,5128... Так как Ь = — ' ж 0,0008 0,01 12,33 40 [гл. « пгиилижеиные числа то 5 = — 5 =0,0004. Поэтому 1 Ь,=3,5128.0,0004=1,4 10 а. Отсюда число а будет иметь примерно четыре верных знака (в широком смысле) и, следовательно, а =3,513. й 15.
Вычисления без точного учета погрешностей В предыдущих параграфах мы указали способы оценки предельной абсолютной погрешности действий. При этом предполагалось, что абсолютные погрешности компонент усиливают друг друга, что практически бывает сравнительно редко. Прн массовых вычислениях, когда не учитывают погрешность каждого отдельного результата, рекомендуется пользоваться следующими правилами подсчета цифр [6[.
1. При сложении и вычитании приближенных чисел младший сохраненный десятичный разряд результата должен являться наибольшим среди десятичных разрядов, выражаемых последними верными значащими цифрами исходных данных. 2. При умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом верных значащих цифр.
3. При возведении в квадрат илн куб приближенного числа в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет основание степени. 4. При извлечении квадратного и кубического корней из приближенного числа в результате следует брать столько значащих цифр, сколько верных цифр имеет подкоренное число. 5. Во всех промежуточных результатах следует сохранять на одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие правила. В окончательном результате эта «запасная цифра» отбрасывается. 5. При вычислениях с помощью логарифмов рекомендуется под-„ считать число верных значащих цифр в приближенном числе, имеющем наименьшее число верных значащих цифр, и воспользоваться таблицей логарифмов с числом десятичных знаков, на единицу ббльшим. В окончательном результате последняя значащая цифра отбрасывается.
7. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с Й вернымя цифрами исходные данные следует брать с таким числом цифр, которые согласно предыдущим правилам обеспечивают и+ 1 верную цифру в результате. Если некоторые данные имеют излишние младшие десятичные разряды (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр, чем другие(прн умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня), то их предварительно нужно округлить, сохраняя одну запасную цифру й 16) 41 ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ПОГРВШНОСТН й 16.
Общая формула для погрешности л л 1 1)п! ж (пу(хм хл, ..., хл) ~ =- 2~ д— Дхг|ля, ~~~ ~ д ~!Дху(, 1С=л ' Слт Итак, ) ди(~ ч), ~ — '~(Дх,! . (1) дл~ Отсюда, обозначая через Д„,(1=1, 2, ..., л) предельные абсолютные погРешности аРгументов хг и чеРез Дл — пРедельнУЮ погРешность функции и, для малых Дх~ получим." л ~~л ~дл~ Разделив обе части неравенства (1) на и, будем иметь оценку для относятельной погрешности функции и ~ д1 -х~::!", -й.—: «, ..>", 1л1 Следовательно, за предельную относительную погрешность Функции и можно принятьл л '= ~ Ф'""~ ' (4) П р н м е р 1.
Найти предельные абсолютную и относительную погрешности объема шара у= — пс(а, если диаметр т(=З,У ем~ 1 ~0,05 см, а и 3,14. Основная задача теории погрешности заключается в следующем: известны погрешности некоторой системы величин, требуется определить погрешность данной функции от этих величин. Пусть задана дифференцируемая функция и=/(х, х„..., хл) и пусть ( Дх;((1= 1, 2, ..., л) — абсолютные погрешности аргументов функции.
Тогда абсолютная погрешность функции (Ди) =(у(х,+Дх„ха+ Дх„..., хл+Дхл) — у(хы х„..., хл) ). Обычно на практике (Дх;( — малые величины, произведениями, квадратами и высшими степенями которых можно пренебречь. Поэтому можно положить: [гл. ! приилиженные числл Р е ш е н и е. Рассматривая я и д как переменные величины, Вычисляем частные производные — = — д =8,44; др ! дн б — „= — ядз = 21,5. дУ ! дд 2 В силу формулы (2) предельная абсолютная погрешность объема ЬР = ~ — ~[Ья[+) — „)[И[=8,44 ° 0,0016+21,5 0,05= дУ~ !дУ~ = 0,013 + 1,075 = 1,088 сма ж 1,1 сма. Позтому У= — яам 27,4 смз ~ 1,1 сма. 1 (5) Отсюда предельная относительная погрешность объема П р и и е р 2.
Для определения модуля Юнга Е по прогибу стержня прямоугольного сечения применяется формула !Зр Е= — °вЂ” 4 ааьа где !†длина стержня, а и д — измерения поперечного сечения стержня, а в стрела прогиба, р — нагрузка. Вычислить предельную относительную погрешность при определении модуляЮнгаЕ, если р=20 кГ; Ьр — — 0,1%; а=3 мм; 6,=1%; 6=44 мм. 6 =1%; 7= 50 см; 6,=1~6; а=2,5 см; 6 =1о4 Р е ш е н и е. [п Е = 3 1п 7+ 1п р — 3 1и а — 1п Ь вЂ” 1п а — 1п 4. Отсюда, заменяя приращения дифференциалами, будем иметь: ар аа аь аз — =3 — + — 3 — — — —. Е ! р а Ь з Следовательно, ЬВЗЬ!+Ьр+36+ЬЬ+Ь3 0 01 +0 001+3001[ +0,01+0,01 = 0,081. Таким образом, предельная относительная погрешность составляет 0,081, т.
е. примерно 8% от измеряемой величины. Произведя численные расчеты, имеем: Е=(2,10~ 0,17) ° 104 —,. 5 17) овглтнля злдлчл твогии поггешностай 43 й 17. Обратная задача теории погрешностей На практике важна также обратная задача: каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины.
Эта задача математически неопределенна, так как заданную предельную погрешность Д„ функции и =)г(хд, х„ ..., х„) можно обеспечить, устанавливая по-разному предельные абсолютные погрешности Д„ее аргументов. Простейшее решение обратной задачи дается так называемым приннылон равных влилиий. Согласно этому принципу предполагаетси, что все частные дифференциалы д1 д — Дхг (1=1, 2, ..., л) одинаково влияют на образование общей абсолютной погрешности Д„ функции и = у(хы х„..., х„).
Пусть величина предельной абсолютной погрешности Д задана. Тогда на основании формулы (2) й 16 Предполагая, что все слагаемые равны между собой, будем иметь Отсюда (2) ~ дх~ П р и м е р 1. Радиус основания цилиндра )7 ж 2 дй высота цилиндра Н 3 и. С какими абсолютными погрешностями нужно определить Я н Н, чтобы его объем У можно было вычислить с точностью до 0,1 мар Решение.
Имеем У=п)7аН и Дг = 0,1 ма. Полагая Я=2 м; Н=З ин и=3,14; приближенно получим: — = тскН= 12; д — — — 2пИН= 37,7; дУ вЂ” = п)7х = 12,6. д$~ до 44 (гл. ! пгивлижянныв числа Отсюда, так как л= 3, то на основании формулы (2) будем иметь: Ь„= <0003, О,! Ьн= 3.!28 < 0,003. П р н м е р 2. Требуется найти значение функции и = бх' (!и х — а!и 2у) с точностью до двух десятичных знаков (после запятой), причем приближенные значения х и у равны соответственно 15,2 и 57'.
Найти допустимую абсолютную погрешность этих величин. Решение. Здесь и = бх' (! и х — з!и 2у) = 6 (15,2)' (!я 15,2 — з!п 114') = 371,9; ди — =12х(1их — з!п 2у)+бхМ=88,54, дх где М=0,43429 †моду перехода; — = — 12хз соз 2у = 1127,7. ди ди Для того чтобы результат был верен до двух десятичных знаков, нужно выполнение равенства Ь„ = 0,005. Тогда по принципу равных влияний имеем: Ь„= — '= — * =0,000028; Л» 0,005 )ди 2 88,54 ) дл Ь = — ' = ' = 0,0000022 рад = 0",45. 0,005 ''И' У ди 2 !!27,7 Нередко при решении обратной задачи по принципу равных влияний мы можем столкнуться с таким случаем, когда найденные по формуле (2) предельные абсолютные погрешности отдельных независимых переменных окажутся настолько малыми, что добиться соответствующей точности при измерении этих величин практически невозможно.
В таких случаях следует отступить от принципа равных влияний и за счет разумного уменьшения погрешностей одной части переменных добиться увеличения погрешностей другой части переменных. П р и и е р 3. С какой точностью надо измерить радиус круга 77 = 30,5 см и со сколькими знаками взять гг, чтобы площадь круга была известна с точностью до 0,1а/,? $ 17] овглтнля злдлчл твогии поггяшностей Решение. Имеем а=и)сз и !пав= 1пк+21п )с. Отсюда — ' = — '+ — = 0,001.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
