Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Л ля 2ЛЛ а и А' По принципу равных влияний следует положить: Л 2Лл -х = 0,0005; — = 0,0005. й Отсюда Ь„(0,0016 и Ли~0,000251с=0,0076 см. Таким образом, следовало бы взять и = 3,14 и измерять гс с точностью до тысячных долей сантиметра. Ясно, что такая точность измерения практически трудноосуществима. Поэтому выгоднеепоступить следующим образом: взять и = 3,142; отсюда †"= 0,00013; Л„ тогда — и= 0,001 — 0,00013 = 0,0087 и Л ~ 0,13 см.
Такая точ2лл й и ность достигается сравнительно легко. Иногда допускают, что предельная абсолютная погрешность всех аргументов х~(1 = 1, 2„ ..., а) одна и та же. Тогда, полагая бх,= бх, = ° ° ° ~аахм из формулы (1) будем иметь: Наконец, можно предположить, что точность измерения всех аргументов х;(1 = 1, 2, ..., и) одинакова, т. е. предельные относительные погрешности 6„, (1= 1, 2, ..., и) аргументов равны между собой: 6,,=6„,=... =6„„. Отсюда получим: Л х1 Лх1 дхх (х11 (х( ''' ~х ( где Й вЂ” общее значение отношений, Следовательно, Лх,=й(к~( (1=1, 2> .
° . и) Подставляя эти значения в формулу (1), находим: 46 1гл. ! Пгнвлижзнныв ЧИСЛЛ л и ~~~, ) хг — ~ Таким образом, окончательно имеем: Лк;= „" (1=1, 2, ..., л). Можно также использовать и другИе варианты. Аналогично решается вторая обратная задача теории погрешности, когда задана предельная относительная погрешность функции и ищутся предельные абсолютные нли относительные погрешности аргумента. Иногда в самой постановке задачи имеются условия, не позволяющие использовать принцип равных влияний. Пример 4. Стороны прямоугольника ажб и и Ьж200 м. Какова допустимая предельная абсолютная погрешность при измерении этих сторон, одинаковая для обеих сторон, чтобы площадь 8 прямоугольника можно было определить с предельной абсолютной погрешностью Лз —— 1 мз? Решение.
Так как Я=аЬ, то ЛЮжЬЛ а+аЛЬ Л =ЬЛ,+аЛ . Согласно условию задачи =ль поэтому Л = — = — 0 00 о м = 5 мм. Лз 1 а+Ь 205 й 18. Точность определения аргумента для функции, вадаиной таблицей В вычислительной практике часто возникает необходимость определить аргумент по значению функции, заданной таблицей. Например, постоянно встречается необходимость определить число по его табличному логарифму нлн угол по табличному значению какой- либо тригонометрической функции и т. п.
Понятно, что погрешность функции вызывает погрешность в определении аргумента. $ 18! точность опгвдвлвння лгггмвнтл для эгнкцин 47 Пусть имеем таблицу с одним входом для функции у=у(х). Если функция у'(х) днфференцируема, то для достаточно малых значений ! Лх ! имеем: ! Лу!=!У'(х)((Лх!. Отсюда ! Лх!= —, (дг! ! Р' (л) ! ' или Л„= —,,Л. !К'! Применим формулу (1) к некоторым наиболее распространенным табулнрованным функциям. А. Логарифмы Пусть у=!их, тогда у =— Отсюда Л„= хЛ„. Если же у=!ах, то у = —, где М=0,43429; М Л„= — хЛ, 2,30 хЛ„.
(2) (2') Б. Тригонометрические функции 1. Если у=з!пх(0(х( — ), тоу'=созхи,следовательно, Л„= Л, зес х рад. (3) 2. Дли функции у=(йх (О (х ( — ) у'=вес'х имеем Л„= Л„совах рад. 3. Если у=!Е(з!пх) (0(х( — ), то у'=Мс!ях н Л„=2,30(йхЛ, рад. (4) гй) Отсюда, в частности, получаем 6„2,30Л„, т. е. предельная относительная погрешность числа в таблице десятичных логарифмов 1 равна примерно 2 — кратной предельной абсолютной погрешности 2 логарифма етого числа. (гл. 1 48 пгиелиженные числА 4. Положим у=!д((йх) (0(х< — ), тогда 2 у' у'=- —, н 3„=1,15в(п2хЬу рад. (6) В. Показательная функция Если у=ах, то у'=е" и с или У П р и м е р 1.
С какой точностью можно определить число хж5000, пользуясь четырехзнвчной таблицей десятичных логарифмов? Решение. По формуле (2') получаем: Ьх=2,30 5000 —.1О аж0,6, 1 т. ег число х имеет примерно четыре верные цифры. Приме р 2. Найти погрешность в определении угла хж60'. а) по пятизначной таблице логарифмов синусов, б) по пятизначной таблице логарифмов тангенсов. Решение. Для первого случая по формуле (5) имеем: Ь„= 2,30 )У 3 ° — 10 ' рад= 0,00002 радж4".
Во втором случае по формуле (6) получаем: Ах=1.15 Р' 3 ° — 10 а радж0,000005 радж1', т. е. погрешность в четыре раза меньше. 9 19. Способ границ Обычно применяемая оценка погрешности функции ($16, формула (2)) является приближенной, так как эта оценка основана на пренебрежении произведениями ошибок. В некоторых случаях требуется иметь точные границы для искомого значения функции если известны границы изменения ее аргументов. Проще всего, Так как, очевидно, — ( (кх при 0 ( х ( †, то из фора!п 2х Я мул (5) и (6) следует, что угол х по таблице логарифмов тангенсов определяется точнее, чем по таблице логарифмов синусов. 49 $19). сносов гглниц этого можно добиться, используя способ двойных вычислений, иначе называемый способом границ.
Пусть и=у"(хы х„..., х„) — непрерывно днфференцируемая функция, монотонная по каждому аргументу х;(1=1, 2, ..., и). Для этого достаточно предположить, что производные — (1 = 1, 2, ..., п) сохраняют постоянный знак д1 дхг в рассматриваемой области ю изменения аргументов. Допустим, что х; ( х( (х; (1 = 1, 2, ..., л), (1) причем параллелепипед (1) целиком принадлежит области ю. Положим, что х; = х„х, = хо если функция у' — возрастающая по переменному х,, и х;=хн х;=х(, если функция у' — убывающач по переменному х(. Тогда, очевидно, и<и<и, (2) где и=у'(х„х,, ..., х„) и=~(хм х„..., х„).
у'(хы х„..., х„) ( и ( у(хы х„..., х„). (3) П р и м е р. Алюминиевый цилиндр с диаметром основаннв с(=2 ем~001 см и высотой Ь=11 см40,02 см весит р=93,4Г~ ~0,001 Г. Определить удельный вес у алюминиа и оценить его предельную абсолютную погрешность.
Р е ш е н и е. Объем цилиндра равен иег о= — Ь' 4 отсюда р 4р Д2» о лд'» (4) Заметим, что переменные х( (1= 1, 2, ..., и) и результат действий Г' над ними можно округлять лишь в сторону уменьшения величины и, а переменные х( (1=1, 2, ..., и) и результат действий у' над ними можно округлять лишь в сторону увеличения величины и. При этих обстоятельствах будет гарантировано строгое выполнение неравенства (2). В частном случае, если функция у †монотон возрастающая по каждому аргументу х; (1 = 1, 2, ..., и), то имеем просто 50 (гл. ! пРиближенные числа Из формулы (4) вытекает, что в области р)0, И>0, Ь>0 функция у — возрастаюшая по аргументу р и убываюшая по аргументам с( и Ь.
Согласно условию задачи имеем." 1,99 сма с!а 2,01 см; 10,98 см~ (Ь((11,02 см; 93,399Г~~р(93,401 Г. Кроме того, 3,14159 < ц ( 3,1415. Поза ому 4 93,399 Г 3,!4!6 2,01в !1,02 ' смв (с недостатком) н 4 93,40! 3,!4169 1,99в.10,93 2' снв (с и з б ы т к о м). Взяв среднее арифметическое, получим; у=2 703 в~0~027 в в Г Г (5) или после округлении У = 2,70 — в~0,03 —, Г Г Для сравнения приведем приближенную оценку погрешности. Используя средняе значения аргументов, получим: 4 93,4 Г 3, !4!6 2в.11 2,703 — в ' Логарифмируя формулу (4), имеем: 1п у = !и 4+ 1и р — 1п и — 2 1п с! — 1и Ь; отсюда, взяв полный дифференциал, получим: Ъу Лр би 2АИ ЬЬ т р и д Ь ' Следовательно, =1,07 ° 10"в+3,18 10 в+10 в+1,82 ° 10 в=1,183 ° 10 в. Далее, находим: Ь =5 7=1,183 1О а 2,703=3,2 ° 10 в —;.
Г $20) понятие о ввеоятностной оценка поггвшности 51 Таким образом, приближенно имеем: у = 2,703 — ~0,032 —, Г Г сма ' сма ' что очень близко совпадает с точной оценкой (5). ф 20а. Понятие о вероятностной оценке погрешности Пусть имеем сумму и слагаемых и=к,+м +... +х„. Тогда предельная абсолютная погрешность суммы, как известно, равна Ьа Ь~~+ Ь~*+ + Ьчы (1) Отсюда в случае, когда предельные абсолютные погрешности слагаемых одинаковы, Ь», = Ьч, = . ° . = Ьчч = Ь, будем иметь: Формула (Ц дает м а к с и м а л ь н о е возможное значение абсолютной погрешности суммы.
Эта предельная погрешность достигается лишь тогда, когда ошибки всех слагаемых: 1) наибольшие нз возможных и 2) имеют одинаковые знаки. При большом количестве слагаемых такое неблагоприятное стечение обстоятельств является маловероятным. Фактически ошибки отдельных слагаемых, как правило, имеют различные знаки и, следовательно, частично компенсируют друг друга. Поэтому наряду с теоретической предельной погрешностью суммы Ь, вводят лрактическую предельную погрешность Ь„', реализуемую с некоторой мерой достоверности. Ограничимся рассмотрением простейшего случая.
Пусть абсолютные погрешности Ьхг (1= 1, 2, ..., л) слагаемых суммы (1) независимы и подчиняются нормальноиу закону с одной и той же мерой точности. Положим, что с вероятностью, превышающей число Т, абсолютные погрешности слагаемых не превышают числа Ь, т. е. Р() Ьк,)~Ь)) Т. При этом условии в теории вероятностей доказывается, что с той же мерой достоверности абсолютная погрешность суммы и будет удовлетворять неравенству ) Ьи ) ~ Ь )l л, где и — число слагаемых. Таким образом, за предельную абсолютну(о погрешность суммы можно принять число (2) 52 [гл.
! пгивлижение числа Например, складываи 100 чисел с абсолютной погрешностью 0,1, мы получим теоретическую предельную ошибку суммы Ь„ = = 0,1 ° 100 = !О. Фактически же можно ожидать, что эта ошибка не превзойдет величины 0,1.10 = 1. В частности, рассмотрим среднее арифметическое и чисел $= — (х,+х,+... +х„). ! Согласно строгой теории предельная абсолютная ошибка Ьз= —.пА=А; 1 и тогда как с ббльшей степенью достоверности можно утверждать, что практически ° АЧп А Ьа= У и т. е.
практически достоверно, что среднее аригрмегическов приблиэсенных чисел имеет повышенную точность по сравнению с этими числами, причем * Ьз - 0 при и- оо. Аналогично для случая умножения псомножителейсодинаковой относительной предельной погрешностью Ь можно доказать, что практическая предельная относительная погрешность произведения определяется формулой Ь„= ЬУ и. Литература к первой главе 1. А, Н. К р ыл о е, Лекции о приближенных вычислениях, Изд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
