Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 6
Текст из файла (страница 6)
й 6. Связь относительной погрешности приближенного числа с количеством зериых вязкое этого числа Докажем теорему, которая связывает величину относительной погрешности приближенного числа с количеством верных знаков этого числа [31, [41. Те о рема. Если положительное приближенное число а имеет п верных десятичных знаков в узком смысле, то относительная погргш/ г ти-т ность б этого числа нв превосходит ~ †) деленную на первую ~ 10) 26 (гл.
ч пеивлижвнныв числа влачащую цифру данного числа, т. е. где а — первая значащая цифра числа а. Доказательство. Пусть число а=сс 10"+а„,10 т+ ...+а „+,10 "+'+... (а ~1) является приближенным значением точного числа А и имеет л вер- ных знаков. Тогда по определению имеем: Ь=)А — а)( — 1О отсюда А>а — — 10 2 Последнее неравенство еще более усилится, если число и заменим заведомо меньшим числом ам10~, А~а„10 — ' ° 1О -"" = — ' ° 1О" (2а —, .',). (1) Правая часть неравенства (1) достигает наименьшего значения прн и = 1.
Поэтому А== —,' ° 1О (2а. — 1), (2) или, так как 2а„— 1=а„+(а„— 1) ~а„, то А) — а 1О". Следовательно, — 1Ов ч+' — а,„!ов 2 Итак, Теорема доказана. Замечание 1. Пользуясь неравенством (2), можно получить более точную оценку относительной погрешности б. 2 5( относитвльнли поггвшноогь н число венных знаков 27 С л е д с т в и е 1. За предельную относительную погрешность числа а можно принять: (4) где сс — первая значащая цифра числа а. С л е д с т в н е 2. Если число а имеет больше двух верных знаков, т. е. п)2, то практически справедлива формула (5) 1 Действительно, при пР= 2 числом — „, в неравенстве (1) можно пренебречь. Тогда А) 2 ° 1О 2а„=сс„10; отсюда — ° 10н «+г Следовательно, 3 а и е ч а н и е 2.
Если приближенное число а имеет а верных десятичных знаков в широком смысле, то оценки (4) и (5) следует увеличить в два раза. П р и и е р 1. Какова предельная относительная погрешность, если вместо числа и взять число а = 3,14? Решение. В нашем случае сс„=З и л=3. Следовательно, 1 /!131 1 !О 2.3 (, !0) 600 6 П р и м е р 2. Со сколькими десятичными знаками надо взять )У20, чтобы погрешность не превышала 0,1а4? Р е ш е ни е.
Так как первая цифра 4, то а =4, причем 6=0,001, Имеем „,(0,001, отсюда 1О" ')250 и п)4. ! Приведенная теорема дает возможность по числу верных знаков приближенного числа а=а„10 +а„,10 '+... определить его относительную погрешность 5. 28 (гл. г пгивлижениые числА Для решения обратной задачи — определения количества и верных знаков числа (6), если известна его относительная погрешность б, обычно пользуются приближенной формулой б= — (а > О), а а где А — абсолютная погрешность числа а.
Отсюда А=ай. (7) Учитывая старший десятичный разряд числа А, легко установить количество верных знаков данного приближенного числа а. В частности, если 1 6 1О" ' то из формул (6) и (7) имеем: Ь~(а„+1)1О 10 " =10 "+г, т. е. число а заведомо имеет и верных десятичных знаков в широком смысле. Аналогично, если 1 2 10" ' то число и имеет п верных знаков в узком смысле. П р и м е р 3. Приближенное число а = 24 2о3 имеет относительную точность 1а/.
Сколько в нем верных знаков? Решение. Имеем: А=24253 0,01 ж 243 = 2,43 10'. Следовательно, число а имеет верными лишь первые две цифры (л =2); цифра сотен является сомнительной. Согласно приведенному выше правилу число а предпочтительнее записать в виде а = 2,43 10а. 3 а м е ч а н и е. Укаэанный способ определения числа верных знаков является приближенным. При точном подсчете верных цифр числа а следует исходить из неравенств А Ар=†а+Ь ц- 1 б (0(6<1). й 6. Таблицы для определения предельной относительной погрешности по числу верных знаков и наоборот Если приближенное число написано с указанными верными десятичными знаками, то можно легко подсчитать его предельную относительную погрешность.
Практически с таким подсчетом приходится сталкиваться часто и поэтому желательНо рационалнзиро- й О! тлен!н
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
