Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 2
Текст из файла (страница 2)
.......... 411 Метод А. Н. Крылова . .. 412 Вычисление собственных векторов по методу А. Н. Крылова 416 Метод Леверрье .. .. . . . . . .. ... ., . . . . , . , 417 Понятие о методе неопределенных коэффицентов ....... 419 Сравнение различных методов развертывания векового определителя 421 Нахождение наибольшего по модулю собственного значения матрицы и соответствующего собственного вектора..... 421 Метод скалярных произведений для нахождения первого соб- ственного значения действительной матрицы........, 428 Нахождение второго собственного значения матрицы и второ- го собственного вектора, 431 Метод исчерпывания 434 Нахождение собственных элементов положительно определен- ной симметрической матрицы 437 Использование коэффициентов характеристического полинома матрицы для ее обращения 442 Метод Л. А.
Люстерника улучшения сходимостн процесса ите- рации для решения системы линейных .уравнений...... 444 ра к двенадцатой главе 449 огллвлвнив Г л з в а Х 1П. Приближенное решение систем нелинемных уравнений 450 1. Метод Ньютона 450 2.
Общие замечания о сходимости процесса Ньютона ...... 456 3*, Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона 460 4*, Быстрота сходимостн процесса Ньютона.......... 465 й 5*, Единственность решения . 466 й б*. Устойчивость сходимости процесса Ньютона при варьировании начального приближения ............., .
469 7. Модифицированный метод Ньютона ......., ...., 471 8. Метод итерации 474 9'. Понятие о сжимающем отображении ...,........ 477 $10'. Первое достаточное условие сходнмости процесса итерации 481 4 !1'. Второе достаточное условие сходимости процесса итерации 483 4 !2. Метод скорейшего спуска (метод градиента) . ...,, . 455 4 13. Метод скорейшего спуска для случая системы линейных уравнений 490 4 14*. Метод степенных рядов ........ ...........
494 Литература к тринадцатой главе . 496 Г л а в а Х!ч'. Интерполирование функций .. .. . . .. ... .. . 497 1. Конечные разности различных порядков .......... 497 2. Таблица разностей 500 $ 3. Обобщенная степень 505 б 4. Постановка задачи интерполирования ...., ....... 507 й 5. Первая ннтерполяционная формула Ньютона ........ 508 6.
Вторая интерполяцнонная формула Ньютона ........ 514 б 7. Таблица центральных разностей .............. 5!8 ф 6. Интерполяционные формулы Гаусса ........... .. 5!9 б 9. Интерполяционная формула Стирлинга ........... 521 б !О. Интерполяционная формула Бесселя ...., ......, 521 $11. Общая характеристина интерполяциониых формул с постоянным шагом 524 ф !2.
Интерполяционная формула Лагранжа........... 527 $13*. Вычисление лагранжевых коэффициентов.......... 53! 6 !4. Оценив погрешности интерполяционной формулы Лагранжа 535 б 15. Оценки погрешностей интерполяционных формул Ньютона 537 и 16. Оценки погрешностей центральных интерполяционных формул 539 б 17. О наилучшем выборе узлов интерполирования........ 540 й 18. Разделенные разности 542 б 19. Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента . 544 б 2!!.
Обратное интерполирование для случая равноотстоящих узлов 647 б 21. Обратное интерполирование для случая неравноотстояшнх узлов . 550 4 22. Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования 551 б 23. Метод интерполяции для развертывания векового определителя 553 б 24*. Интерполирование функций двух переменных ........ 555 б 25*.
Двойные разности высших порядков ......... ... 557 б 26*. Иитерполяционная формула Ньютона для функции двух переменных 558 Литература к четырнадцатой главе 661 аглавлкнне 562 Г л а в а Х тг. Приближенное дифференцирование 577 577 580 582 583 586 Г л а в а ХН1. Приближенное интегрирование функций 9 1. Общие замечания 2. Квадратурные формулы Ньютона — Котеса, $3. Формула трапеции й ее остаточный член 4. Формула Симпсона и ее остаточный член 9 5.
Формулы Ньютона — Котеса высших порядков 6 6. Общая формула трапеций (правило трапеций) 7. Общая формула Симпсоаа (параболическая формула) . 8. Понятие о квадратурной формуле Чебышева 5 9. Квадратурная формула Гаусса, 9 !О. Некоторые замечания о точности квадратурных формул 6 11*. Экстраполяция по Ричардсону 9 12'. Числа Бернулли $ 13*. Формула Эйлера †Маклоре 9 14.
Приблйженное вычисление несобственных интегралов 6 15. Метод Л. В. Канторовича выделения особенностей . 6 16. Графическое интегрирование . $17*. Понятие о кубатурных формулах . $ 18ч. Кубатурная формула типа Симпсона Литература к шестнадцатой главе . 588 . 593 597 . 607 . 6!1 613 618 621 624 627 629 633 Г л а в а Х1гП. Метод Монте-Карло 1. Идея метода Монте-Карло, , 634 5 2. Случайные числа .
... ................ 635 5 3. Способы получения случайных чисел ...., ....... 638 9 4. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло .... 641 й 5'. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Монте-Карло . 650 Литература к семнадцатой главе................ 658 Предметный указатель 5 1. Постановка вопроса................, 562 2.
Формулы прнблнхгеннаго дифференцирования, основанные на первой интерпаляционной формуле Ньютона ...... ... 563 $ 3. Формулы приближенного дифференцирования, основанные на формуле Стнрлннга ....... .. ... , . ... 567 4. Формулы численного дифференцирования для равноотстоящих точек, выралгенные через значения функции в этих точках .. 57! 5. Графическое дифференцирование ..., .. ., ..., 574 6ч. Понятие о приближенном вычислении частных производных 575 Литература к пятнадцатой главе . . .
. . .. . , .. . .. . .. . 576 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Бурное развитие новейшей техники и все большее внедрение. современных разделов математики в инженерные исследования неизмеримо повысили требования к математической подготовке инженеров и научных работников, занимающихся прикладными вопросами. Математическое образование инженера-исследователя в настоящее время не может ограничиться традиционными разделами так называемого «классического анализа», сложившегося, в основных своих направлениях, к началу нашего века.
От инженера, работающего в научно-исследовательском институте, требуется теперь знание многих разделов современной математики и в первую очередь основательное владение методами и приемами вычислительной математики, так как решение почти каждой инженерной задачи должно быть доведено до численного результата. Вычислительная техника наших дней представляет новые мощные средства для фактического выполнения счетной работы.
Благодаря этому во многих случаях стало возможным отказаться от приближенной трактовки прикладных вопросов и перейти к решению задач в точной постановке. Это предполагает использование более глубоких специальных разделов математики (нелинейные дифференциальные уравнения, функциональный анализ, теоретико-вероятностные методы и др.). Разумное использование современной вычислительной техники не мыслимо без умелого применения методов приближенного и численного анализа.
Этим и объясняетси чрезвычайно возросший как у нас, так и за рубежом интерес к методам вычислительной математики. В нашей стране было издано несколько оригинальных и переводных книг, посвященных приближенным и численным методам. Однако это не удовлетворяет в полной мере потребности читателей, так как многие из этих книг стали библиографической редкостью, а часть из них устарела нли носит слишком специальный характер. Основное назначение настоящей книги †да в известной мере систематическое и современное изложение важнейших методов и приемов вычислительной математики на базе общего втузовского пгедислонне курса высшей математики.
Книга составлена так, что основная часть ее представляет собой учебное пособие по первому концентру приближенных вычислений для высших технических учебных заведений. Многие институты нашей страны приступили к подготовке специалистов для работы в вычислительных центрах. Большие разделы приближенного и численного анализа включены в программу аспирантской подготовки по ряду специальностей и в программы различных курсов усовершенствования инженеров. Поэтому в книгу включен дополнительный материал, выходящий за рамки обычного втузовского курса. Это обстоятельство не затруднит пользование книгой: читатель без ущерба для понимания выберет нужные ему разделы и опустит лишние.
Для удобства пользования книгой главы и параграфы, необязательные при первом чтении, отмечены звездочкой. В книге широко используются основы матричного исчисления. Понятие вектора, матрицы, обратной матрицы, собственного значения и собственного вектора матрицы и т. п. являются рабочими.
Применение матриц лает ряд преимуществ при изложении, так как, пользуясь ими, легче удается выяснить закономерность многих расчетов. Особенно выигрышным в этом смысле является проведение доказательств теорем сходимости различных численных процессов.
Кроме того, современные быстродействующие вычислительные машины легко осуществляют основные матричные операции. Для полного понимания содержания книги от читателя требуется известный минимум сведений по линейной алгебре и теории линейных векторных пространств. Чтобы облегчить усвоение этого минимума и избежать отсылки к многим источникам, в книге приведен весь необходимый дополнительный материал.
Соответствующие главы независимы от основного текста и могут быть опущены подготовленным читателем. Вкратце остановимся на содержании книги. Книга в основном посвящена следующим вопросам: действия с приближенными числами, вычисление значений функций при помощи рядов и итеративных процессов, приближенное и численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, вычислительные методы линейной алгебры, интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование функций, метод Монте-Карло. Большое внимание обращено на удобные способы оценки погрешностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
