Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 10
Текст из файла (страница 10)
2, АН СССР, Л., 1933, гл. ! 2. Д. А. Вентцель, Е. С. Вен тцель, Элементы теории приближенных вычислений, Изд. ВВИА нм. Н. Е. Жуковского, М., 1949, гл. 1, 3. Дж. С к а р б о р о, Численные методы математического анализа, ГТТИ, 1934, гл. 1. 4. Я. С. Б е з и к о а н ч, Приближенные вычисления, Гостехиздат, 1949, гл. 1 и 11.
б, Г. М. Ф и хте н голь ц, Математика для ннженероз, ГТТИ, 1933, ч. 1, гл. 1. 6. В. М. Б радио, Устный и письменный счет. Вспомогательные средства вычислений. Энциклопедия элементарной математики, кн. 1, Учпедгиз, !951. ГЛАВА П НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ й 1. Определение цепной дроби Выражение вида ь, Г ь, ь, аь Г а, + Ь, ~ а, а, аь ' ад+ за аа+ ...
называется неллой или лелрврыаной дробью. Для цепной дроби (1) употребляется также сокращенная валясь В общем случае элементы цепной дроби а, аь, Ьа (й = 1, 2, ...)— вещественные или комплексные числа, или функции одной или нескольких переменных. Дроби а„= †", †(й= 1, 2, ...) называются ! ' а» звеньями цепной дроби (1) (соответственно нулевым, первым и т. д.), а числа или функции и и д (А~1) — членами Ф-го звена (частными знаменателямя или числителями). Мы будем предполагать, что пью О. Заметим, что в сокращенной записи (1) звенья — сокращать ь„ аь нельзя.
Если цепная дробь (1) содержит конечное числозвеньев(например, и, не считая нулевого), то она называется конечной или п-эвенкой и сокращенно обозначается следующим образом; ~ ь а'а ' ''" а ~ ~ ь'па~~' (2) Конечная цепная дробь отождествляется с соответствующей обыкновенной, полученной в результате выполнения указанных действий. Цепная дробь (1), имеющав бесконечное множество звеньев, 54 накотогые сведении из теоени цепных дгоаей [гл.
и называется бесконечной, причем употребляется обозначение (3) = [аь; (4) у которой все частные числители равны 1, называется обыкновенной или стандартной цепной дробью. Знаменатели звеньев называются неполными частными. Заметим, что в теории чисел неполными частными обычно являются натуральные числа, т. е. целые положительные.
ф 2. Обращение цепной дроби в обыкновенную п обратно Всякую конечнуго цепную дробь можно обратить в обыкновенную. Для этого достаточно произвести все действия, указанные в изображении цепной дроби. П р и м е р 1. Обратить цепную дробь 3' 1' 4~ 3+— ! 1+— 4 в обыкновенную. Р е !и е н и е. Последовательно выполняя указанные действия, находим: Следовательно, Обратно всякое положительное рациональное число можно обратить в цепную дробь с натуральными элементами.
Пусть, например, дана дробь —. Исключив из нее целую частьа,будемиметь: Р— =а + —, Р гь ь где г †остат ~если — †правильн дробь, то аь = О и гь — р). Р Ч Пенная дробь 1 а.+ "ь+ ° 1) 1+ — = —; 1 5 4 4' 5 4 2) 1: — = — ' "4 5' 4 19 3) 3+ — =— 5 5 4) 1.— —— 19 5 5 !9' 5)3+!9=19' 5 62 9 21 овглщвннв цепной дгови в овыкновнннзю и овглтно 55 Е Ч о +го си+в где а †цел частное, го †остат от деления о на го.
Разделив числитель и знаменатель дроби — на гы получим: г1 го го 1 1 о оо го:го го во+в го где а,— целое частное, го — остаток от деления го на г,. Аналогично можно продолжить процесс дальше. Таккако>го>г >г,>г,> ... и г,(1= О, 1,2,...) — целые положительные числа, то в конце концов мы будем нметьостаток го=О, т. е. тл о гл о ел+6 П Подставляя выражение дробей —, будем иметь: го-1 Р го 1 Ч 4 =по+ с цо + го а,+— го 1 а + 1 а,+— го а,+— го 1 + 1 а+ 1 +— ал Пример 2. Обратить — в цепную дробь. 62 Решение.
Последовательно имеем." 62 5 1 1 — =3+ — =3+ — =3+ — = 19 19 19 4 5 3+— 5 3+ —,= 3+ 1 1 3+ — 3+ 4 1+- 4 62 Г 1 1 11 Таким образом, 19= [3;— ''19 ! ' 3' 1' 4!' Аналогично преобразуются общие цепные дроби. Разделив теперь числитель н знаменатель дроби — на го но-. го о! лучим: 56 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИН ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ (ГЛ. П П р и и е р 3. Обратить цепную дробь Хо 1— хо 3 —— 5 в обыкновенную.
Реш ение. Имеем: хо 1) 1 — — =1 хй 3 —" 5 хо 2) 1 — 15 — бхо 15 — хо 5хо 15 — бхо 15 — х' 15 — хо 1бхо — хп !5 — 2!хо+хо 15 — бх' 15 — бх" Таким образом, — хо — хо — хо 1 15 — 21хо+ хо '1- ! ' 3 ' 5 3 15 — 54" й 3. Подходящие дроби Пусть дана конечная или бесконечная цепная дробь [по а~ Обыкновенную дробь (а = 1, 2, ...), где а и., л, называют й-и подходящей дробью цепной дроби (1). Следуя Эйлеру, обычно полагают: Ро ао Р 4 ! ц, !! Е, о' причем дли определенности считают, что Ро = по4 Яо = 1 и Р,=1, Я (2) + и ап О.
(2') При работе на влектронной цифровой машине подходящие цепные дроби Рп 54 — = — П + — о а,+ — ' ао+ 57 Е3) подходящих дгови удобно накоднть с помощью схемы Горнера (см. гл. 1П) для де- ления Ьл с = —, о Ь„ с == 2 й > 1 й,=а„,+с,; »1 =а„+с; с = "-»+' Ь с» в й» й» вЂ” а„»+ с»1 (3) (3') Р =а,Р» +Ь»Р Я» — — аЯ» т+ЬЩ где (;1-~ = 01 Рв = ав (~в = 1 (4) Р =1, являются соответственно числителями и знаменателями подходяи(их дробей -Ь цепной дроби (1) ").
Р О» Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть й» (й = 1, 2,... ) — последовательные подходящие дроби цепной дроби (1). Нужно доказать, что Я»= — » (А=1, 2, ...). О» Доказательство будем проводить методом математической индукции. При й = 1 для подходящей дроби (с, имеем: , Ь, о»а» + Ь» '~т ='т»+ С другой стороны, из соотношений (3) и (3'), учитывая (4), находим: Р,=а а,+Ь„ Я» = а» 1+Ь .0 = аы Р» Следовательно, )с,= — н дли й=! утверждение теоремы спра- 1)» ведливо. *) Такие подходящие дроби будем называть каноническими. й„= ав+ с„= — . » 1 Ю Указанная последовательность действий легко программируется.
Теорема 1. (Закон составления подходящих дробей). Числа Р», Я»(й= — 1, О, 1, 2, ...), определяемые из соот-. ношений 58 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ [ГЛ.И Пусть теперь теорема верна для всех натуральных чисел, не превышающих дд. Покажем, что теорема справедлива также для очередного натурального числа л+1.
Из соотношений (3) и(3')получаем: Р»ед —— 11»едР»+Ь», дР„д, д,1»+ — — а»+Я»+ Ь»+Я» Согласно индукционному предположению имеем: Р» а»Р» д+»»'Р»„, ч» а»11» д+Ь»Я» д По способу составления цепной дроби (1), подходящая дробь дс»+д получается из подходящей дроби дт» путемзамены члена а»насумму а»+»+'. Позтому а»+, ' а,+ —,! Р„,+Ь»Р,, ( —.!— Ь,+,1 а»+д! ~»+д Ь»,д ( — "')- а»+ д»д! ф» д+Ь»я» а»+, ! а»+д (а»Р» д+Ь»Р» д)+Ь»Р Р» д а»+дР»+Ь»+ Р» Р»ьд а»„(а»О»,+Ь»д)»,)+Ь»+дс)», а»Р,С)»+Ь»+,О», О„, 1 по+а, ( 1 ад+ числители и знаменатели ее подходящих дробей Р» ()Ь = 1, 2, ...) ч» могут быть определены из соотношений р»=а„р»,+р» „ д»=а»р» +д» „ (3") где положено Рь —— а„Р,= 1 и а =1, дд 1=0.
что и требовалось доказать. 3 а и е ч а н и е. Так как члены подходящих дробей определяются неоднозначно, товобщем случае нельзя утверждать, что числятель и знаменатель подходящих дробей неканонического вида удовлетворяют уравнениям (3) и (3'). В дальнейшем мы будем предполагать, что рассматриваемые подходящие дроби являются каноническими. С л е д с т в н е.
Для обыкновенной цепной дроби 9 3) подходящих деови Замечание. Для нахождения по формулам (3) и (3') членов последовательных подходящих дробей удобно применять следующую схему: Для обыкновенной цепной дроби, где Ьь=! (л=1, 2, ...) и имеют место формулы (3"), в схеме опускают строку Ьа. Пример 1. Для цепной дроби 163 ! 59 + 1+ 3+ 4+ 1+— 2 вычислить все подходящие дроби. Р е ш е н и е. Используя схему, получим: Таким образом, цепной дроби Ро ео ра 47 еа Г7 Пример 2.
Найти все р, 3 р, !! 41 Еа 4 ' р, 58 рь !63 44 21' еа 59 ' подходящие дроби для общей 60 нвкотоеыя сввдвния из теоеии ивиных дговвй [гл. и Р е ш е н и е. Применяя указанную выше схему, имеем: Отсюда Р» 0. Р» 1. Р» 4. Р» 37, Р» 620 К=Т' Т0,= 2 с[»=П' с)»=ов К=164ь Т е о р е м а 2. )[ля двух соседних нодходяи(их дробей ([»» и — ценной дроби (1) снраведлива формула Р» (4') Доказательство. Имеем: Р» Р» ъ б» 1[ 0 с[ А где ~»=!0, Е,,!' Используя соотношения (3) и (3 ), в силу известных свойств'определителя получаем: =Ь"'= — Л аР +ЬР Р [ (Р Р !ал +Ь»0 0 ! Ь !ч 0 Отсюда последовательно будем иметь: УЬ»= ( — Ь ) ( — Ь„,)... ( — Ь,) б»= ( — 1)»ь,ьа...д»Л„ где Таким образом, Л,=(-Ц»- Ь,да...д„ и, следовательно, на основании формулы (5) выводим: Р» Р» 1 ( 1)» »Ь,Ь ...Ь» с) 0»,= 0 .0 61 5 3) подходящие дгози Т е о р е м а 3. Для двух одинаковой четности соседник подходящих дробей » в и †" (Ь ) 2) цепной дроби (1) справедливо и'а в Т» соотношение , ь,ь,...ь,,а, — — ==( — 1) !) с) Е»,6.
(6) Доказательство. Имеем: Ра Р» в 11» 6» <2» в <)» А» ' где Отсюда на основании закона составления подходящих дробей н элементарных свойств определителя получаем: ( а»Р„„+Ь Р Ра„в ( ~ ЄРа ) аЯ . +ЬЯ !Е«( ~»! Я» С)», ( аа «-в где А» — определитель, рассмотренный в теореме 2. Соглзсно следствию 1 теоремы 1 имеем: Л =( — 1) ЬЬ...Ь откуда «ха=( 1) Ьв|в ° Ьа-ваа » Следовательно, используя соотношение(7), получаем формулу(6). С л е д с т в и е. Если = н — две соседние подходящие дроби Р«-в Р» Еа в Ча одинаковой четности для обыкновенной цепной дроби ! а»+ ив+ — -+м— то имеет место соотношение Р» Р»-в а аа — — ==( — 1) . Ч» Еа в Ч»-вц» (6') Следствие 1.
Если = и — (Ь:;м1) — две соседние подхо- Р«, Р» 6» дящне дроби цепной дроби (1), то Л = Р«1;! — Р»,а = ( — 1) »Ь,Ь ...Ьа. С л е д с т в и е 2. Для соседних подходящих дробей =, Р»- Р» ча в Еа (Ф ~ !) обыкновенной цепной дроби справедливо равенство Ра Ра в ( — !)' ' (4') Ча Ч»-в Ч»-ву» 62 нхкототыв свадзния из твогии цепных дтоввй (гл. и (8) с положительными злемеитами а»и Ь» и пусть — » (й= О, 1, ..., и)— Р» г) ее последовательные канонические подходящие дроби. Очевидно, что Р» > 0 и ф») О. Рассмотрим два случая. 1. Пусть й=2т — четное число.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
