Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Само собой разумеется, что при решении конкретной задачи те или иные погрешности иногда отсутствуют, или влияние их ничтожно. Но, вообще говоря, для полного анализа погрешностей следует учитывать все их виды. В дальнейшем мы ограничимся в основном исчислением погрешностей действий и погрешностей методов.
й 3. Десятичная ваввсь врвбляженных чисел. Значащая цифра. Число верных знаков Известно, что всякое положительное число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной десятичной дроби а=сх„,10" +сс„т10 а+а„а!0~ '+... ... +се 10~ "+'+..., (1) где а; — цифры числа а (сс~ — — О, 1, 2, ..., 9), причем старшая цифра а„~О, а лг — некоторое целое число (старший десятичный разряд числа а). Например, 3141,59,. = 3 10а+1 10а+4.
10х+1 10о+ +5 1О т+9 1О а+. пгивлиженныи числа Каждая единица, стоящая на определенном месте в числе а, написанном в виде десятичной дроби (1), имеет свое значение. Единица, стоящая на первом месте, равна 1О, на втором в 1О на и и — !О "+' и т. д. На практике преимущественно приходится иметь дело с приближенными чнсламн, представляющими собой конечные десятичные дроби Ь=р 1О +($10 '+... +~„„~д10м "+' (()„фО).
(2) Все сохраняемые десятичные знаки ()г((=лг, гл — 1, ..., лг — и+1) называются значащими цифрами приближенного числа Ь, причем возможно, что некоторые из них равны нулю (за исключением р ). При позиционном изображении числа Ь в десятичной системе счисления иногда приходится вводить лишние нули в начале или в конце числа. Например, Ь= У !О а+О 1О а+ 1 ° 10 а+О !О '=ОС007010, или Ь 2.
1Оа+ О, 1Оа ( О, 10т+ 3. 10в 1 О, 10а 2 003 000 000 Такие нули (в приведенных примерах они подчеркнуты) не считаются значащими цифрами. О п р е д е л е н и е 1. Значащей цифрой приближенного числа называются всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа и служащие лишь для обозначения десятичных разрядов его, не причисляются к значащим цифрам. Например, в числе 0,002 080 первые три нуля не являются значащими цифрами, так как они служат только для установления десятичных разрядов других цифр.
Остальные два нуля являются значащими цифрами, так как первый из них находится между значащими цифрами 2 и 8, а второй, как это отражено в записи, указывает, что в приближенном числе сохранен десятичный разряд 1О а. В случае, если в данном числе 0,002080 последняя цифра не является значащей, то это число должно быть записано в виде 0,002 08. С этой точки зрения числа 0,002 080 и 0,002 08 не равноценны, так как первое из них содержит четыре значащих цифры, а второе — лишь три значащих цифры. При написании больших чисел нули справа могут служить как для обозначения значащих цифр, так и для определения разрядов остальных цифр. Поэтому при обычной записи чисел могут возникнуть неясности.
Например, рассматривая число 689000, мы не имеем возможности по его виду судить о том, сколько в нем значащих цифр, хотя можно утверждать, что их не меншпе трех. Этой неопределенности можно избежать, выявив десятичный порядок числа 9 3) двся< ичнлв запись. значащая цивгл. число ввгных знаков 23 и записав его в виде 6,89 10а, если оно имеет три значащих цифры; или 6,8900 10ь, если число имеет пять значащих цифр, и т. и. Вообще, такого рода запись удобна для чисел, содержащих большое количество незначащих нулей, например 0,000000120=1,20 10 ' и т. п.
Введем понятие о верных десятичных знаках приближенного числа. О и р е д е л е н и е 2. Говорят, что и первых значащих цифр (десятичных знаков) приближенного числа являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда, выражаемого п-й значащей цифрой, считая слева направо. Таким образом, если для приближенного числа а (1), заменя<ощего точное число А, известно, что ц =<А — а) ~ — 10 то, по определению, первые л цифр сс, сам т, ..., а„„+т этого числа являются верными.
Например, для точного числа А = 35,97 число а = 36,00 является приближением с тремя верными знаками, так как )А — а)= 0,03 ( —.0,1. 1 Заметим, что в математических таблицах все помещенные значащие цифры являются верными. Так, например, в пятизначных таблицах логарифмов гарантировано, что абсолютная погрешность мантиссы не превосходит — ° 10 и т. и. 1 2 Термин на верных знакова не следует понимать буквально, т. е. так, что в данном приближенном числе а, имеющем и верных знаков, и первых значащих цифр его совпадают с соответствующими цифрами точного числа А.
Например, приближенное число а = 9,995, заменяющее точное А=10, имеет три верных знака, причем все цифры этих чисел различны. Однако во многих случаях дело обстоит именно так, что верные знаки приближенного числа одинаковы с соответствующими цифрами точного числа.
3 а и е ч а н и е. В некоторых случаях удобно говорить, что число а является приближением точного числа А с и верными знаками в широком смысле, понимая под этим, что абсолютная погрешность д =)А — а! не превышает единицы десятичного разряда, выражаемого и-й значащей цифрой приближенного числа. Например, для точного числа А =-412,3567 число а = 412,356 является приближением с шестью верными знаками в широком смысле, так как Ь = 0,0007 < 1 ° 10 '.
В дальнейшем верные знаки приближенного числа мы будем понимать в смысле определения 2 (т. е. в узком смысле), если явно не оговорено противное. 24 пгивлиженные числА АЯ 4. Округление чисел Рассмотрим некоторое приближенное пли точное число а, записанное в деся~ичной нумерации. Часто бывает надобность н округлении этого числа, т.
е. в замене его числом а, с меньшим количеством значащих цифр. Число а, выбирают так, чтобы погрешность округлгнил [ аг — а[ была минимальной. Правило округления (по дополнению). Чтобы округлить число до л значащих цифр, отбрасывают все цифры его, стоящие справа от и-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом: 1) если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения; 2) если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица; 3) если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу; За) если же первая из отброшенных цифр равна 5 и все остальные отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра сохраняется неизменной, если она четная, и увеличиваетси на единицу, если она нечетная [правило четной цифры).
Иными словами, если при округлении числа отбрасывается меньше половины единицы последнего сохраняемого десятичного разряла, то цифры всех сохраненных разрядов остаются неизменными; если же отброшенная часть числа составляет больше половины единицы последнего сохраненного десятичного разряда, то цифра этого разряда увеличивается на единицу. В исключительном случае, когда отброшенная часть в т о ч н о с т и равна половине единицы последнего сохраненного десятичного разряда, то для компенсации знаков ошибок округления используется правило четной цифры. Очевидно, что при применении правила округления погрешность 1 округления не превосходит — единицы десятичного разряда, опре- 2 делаемого последней оставленной значащей цифрой. Приме р 1.
Окрутляя число ж = 3,14159 26535... до пяти, четырех и трех значащих цифр, получим приближенные числа 3,1416; 3,142; 3,14 с абсолютными погрешностями, меньшими — ° 1О а; — 1О г и — *1О г. Пример 2. Округляя число 1,2500 до двух значащих цифр, получим приближенное число 1,2 с абсолютной погрешностью, размой —. 10 '=0,05.
1 % 5~ ОтносительнАН НОГРешность и числО ВеРных знАкОВ 5 Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр [1~, [2). В тех случаях, когда приближенное число содержит излишнее количество неверных значащих цифр, прибегают к округленшо. Обычно руководствуются следующим п р а к т и ч е с к и м п р а в ил о м: при выполнении приближенных вычислений число значащих цифр промежуточных результатов нг должно превышать числа верных цифр более чем на одну или двг гдипицы. Окончательный результат может содержать не более чем одну излишнюю значащую цифру, по сравнению с верными. Если при этом абсолютная погрешность результата не превышает двух единиц последнего сохраненного десятичного разряда, то излишняя цифра называется сомнительной Приведенное правило позволяет без ущерба точности вычислений избегать написания лишних цифр и значительно экономит время вычислений.
Сохранение запасных знаков имеет тот смысл, что обычно оценка погрешностей результатов производится для наихудших вариантов, и фактическая погрешность может оказаться значительно меньше максимальной теоретической. Таким образом, во многих случаях те значащие цифры, которые считаются неверными, на самом деле являются верными.
Приходится также округлять точные числа, содержащие слишком много или бесконечное количество значащих цифр, сообразуясь с общей точностью вычислений. Заметим, что если точное число А округлить по правилу дополнения до и значащих цифр, то полученное таким образом приближенное число а будет иметь п верных цифр (в узком смысле). Если же приближенное число а, имеющее п верных цифр, округлить до и значащих цифр, то полученное новое приближенное число а„вообще говоря, будет иметь и верных цифр в широком смысле. Действительно, в силу неравенства (А — а,(((А — а)+[а — а,[ предельная абсолютная погрешность числа а, складывается из абсо- лютной погрешности числа а и погрешности округления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
