Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Округляя остальные числа с точностью до 0,01, получим; 345,4 235,2 11,75 9,27 0,35 0,18 0,08 0,02 0,00 602,25 Округляя результат до 0,1 по правилу четной цифры, получим приближенное значение суммы 602,2. Полная погрешность Л результата складывается из трех слагаемых: 1) суммы предельных погрешностей исходных данных Л, = 10-'+10-'+ 1О-а+ 10-а+10-'+ 10-'+10-'+ + 10 г+ 1О ь = 0,221 301 ( 0,222; 2) абсолютной величины суммы ошибок (с учетои их знаков) округления слагаемых г1 = ( — О 002+ О 0034+ О 0049+ О 0014+ О 000 354 ( = = 0,008054 ( 0,009; 3) заключительной погрешности округления результата Лз=О 050.
Следовательно, Л = Лд+ Лз+ Лг а=' 0,222+ 0,009+ 0,050 = 0,281 к, 0,3; и, таким образом; искомая сумма есть 602,2 Ь 0,3. Теорема 2. Если слагагмьсг — одного и того жг знака, то предельная относительная погрешность их суммы нг превышает наибольшей из предельных относительных погрешностей слагаемых. Доказательство.' Пусть и=к,+х +...
+х„, где, для определенности, х; ) 0 (1 = 1, 2, ..., и). % й) ПОГРЕШНОСТЬ РЛЗНОСТИ да д»,+а»,+...+а»„ А Аа+Аа+" +Ан (4) Так как Ь„. 6,,= — "' (1=1, 2, ..., и), ! то (4') Л„,.=А;6 Р Подставляя это выражение в формулу (4), получим: А,6„+А,6„-1-... +А„6„ 6„=- А,+А»+... +А» Пусть 6 является наибольшей из относительных погрешностей 6»„ т. е. 6„,~6. Тогда 6(Аа+Аа+ "+Ам) А»+ А»+... +А„ Следовательно, 6, а,б, т. е.
6„п.шах(6„„6»„..., 6,„). $8. Погрешность разности Рассмотрим разность двух приближенных чисел ие м — яа. По формуле (2) $7 предельная абсолютная погрешность й„разности Ь» = Ь», + Ь»о т. е. предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого. Отсюда предельная относительная погрешность разности 6= "'А"' (1) где А — точное значение абсолютной величины Разности чисел ха и ха. Замечание о потере точности прн вычитании близких чисел.
Если пРиближенные числа ха и ха достаточно близки друг к другу и имеют малые абсолютные погрешности, то число А мало. Из формулы (1) вытекает, что предельная относительная погрешность в этом случае может быть весьма большой, в то 2 в, П. Дам»яаана и и. А. магна Обозначим через А; (А~ ) О; 1 = 1, 2, ..., и) точные величины слагаемыххн а черезА=А +А +... +А„— точное значение суммы и. Тогда за предельную относительную погрешность суммы можно принять: 34 пгивлиженныз числа время как относительные погрешности уменьшаемого н вычитаемого остаются малыми, т. е. здесь происходит потеря точности.
Вычислим, например, разность двух чисел: хд — — 47,132 н ха = = 47,111, каждое из которых имеет пять верных знаков. Вычитая, получим и= 47,132 — 47,111 =0,021. Таким образом, разность и имеет лишь две значащие цифры, из которых последняя сомнительна, так как предельная абсолютная погрешность разности Ь, = 0,0005+ 0,0005 = 0,001. Предельные относительные погрешности вычитаемого, уменьшаемого и разности соответственно 0,001 Предельная относительная погрешность разности здесь примерно в 5000 раз больше предельных относительных погрешностей исходных данных. Поэтому при приближенных вычислениях полезно преобразовывать выражения, вычисление числовых значений которых приводит к вычитанию близких чисел.
П р н и е р. Найти разность и= к'2,01 — у' 2 (2) с тремя верными знакамн. Решение. Так как У2 01 = 1,4177 4469 )l 2 1,41421356 ..., то искомый результат есть и 0 00353 3 53,10-а Этот результат можно получить, если записать выражение (2) в виде 0,01 и взять корни р~2,01 и 1/ 2 лишь с тремя верными знаками. Действительно, 1,42+1,41 2,83 35 $9) погтешнооть пеоизввдвния Исходя из вышесказанного, получаем спедующее практическое правило: при приближенных вычислениях следует по возможности избегать вычитания двух почти равных приближенных чисел; есля же в силу необходимости приходитси вычитать такие числа, то следует уменьшаемое и вычитаемое брать с достаточным числом запасных верных знаков (если такая возможность имеется).
Например, если известно, что при вычитании чисел х и х, первые т значащих цифр их пропадут, а результат необходимо иметь с и верными значащими цифрами, то следует взять хт н х с в+и верными значащими цифрами. $9. Погрешность произведения Теор е и а. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел, Дока за тель ство.
Пусть и=х х,...х„. Предполагая для простоты, что приближенные числа х, хь,..., х„ положятельны, будем иметь: 1и и = 1и х, + 1п х +... + 1и х„. Ьл Отсюда, используя приближенную формулу Ь 1п х ж й 1п х = —, находим: Ьи Ь», Ьхь Ьхч — = — + — +.. + — ". и ят ль ' ' г„ ' Оценивая последнее выражение по абсолютной величине, получим: Й1-19+й1+ +й! Если Ас (1=1, 2, ..., и) — точные значения сомножителей х; и )Ьх;(, как вто бывает обычно, малы по сравнению с хп то приближенно можно положить: Ы=1 —.
~-' ~аи! где 6; — относительные погрешности сомножителей хс (! = 1, 2, ...,и) и 6- относительная погрешность произведения. Следовательно, 6(6,+6,+... +6„. (1) Формула (1), очевидно, остается верной также, если сомножнтели хс ((=1, 2, ..., и) име1от различные знаки. 36 пгивлижвнныв числА С л е д с т в и е. Предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностей сомноькителей, т.
е. 6,=6„+6„+ ... +6ты (2) Бели все множители произведения и весьма точны, за исключением одного, то из формулы (2) следует, что предельная относи'- тельная погрешность произведения в атом случае будет практически совпадать с предельной относительной погрешностью множителя, обладающего наименьшей точностью. В частном случае, если приближенным является лишь множитель х„то имеем просто 6„= 6гв Зная предельную относительную погрешность б„произведения и, можно определить его предельную абсолютную погрешность Ье по формуле Ь,=(и(6„.
П р и м е р 1. Определить произведение и приближенных чисел х, 12,2 и хг = 73,56 и число верных знаков в нем, если, все написанные цифры сомножителей верные. Р е ш е н и е. Имеем 5,,=0,05 и 5„,=0,005. Отсюда Так как произведение и = 897,432, то Д, = и6„ = 897 0,004 3,6 (приблизительно). Отсюда и имеет лишь два верных знака и результат следует записать так: и = 897 ~ 4. Отметим частный случай и=йх, где й — точный множитель, отличный от нуля. Имеем: 6,=6„ и 5,=)й(6„, т.
е. при умножении приближенного числа на точньсй множитель й относительная предельная погрешность не изменяется, а абсолютная предельная погрешность увеличивается в ) й( раз. Приме р 2. При наведении ракеты на цель предельная угловая ошибка в=1'. Каково возможное отклонение бе ракеты от цели на дальности х = 2000 ям при отсутствии корректирования ошибкиу 37 8 10) числО Вегных знаков ИРОВВВедении Решение.
Здесь д, = — 2000 лм 580 м. Очевидно, что относительная погрешность произведения не может быть меньше, чем относительная погрешность наименее точного из сомножителей. Позтому здесь, как и в случае сложения, не имеет смысла сохранять в более точных сомножителях излишнее количество значащих цифр. Полезно руководствоваться следующим правилом: чтобы найти произведение нескольких приближенных чисел с различным числом верных значащих цифр, достаточно: 1) округлить их так, чтобы каждое из них содержало на одну (или две) значащую цифру больше, чем число верных цифр в наименее точном из сомножителей; 2) в результате умножении сохранить столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в наименее точном из сомножителей (яли удержать еще одну запасную цифру). Пример 3. Найти произведение приближенных чисел ха=2,5 и ха=-72,397, верных в написанных знаках.
Решение. Применяя правило, после округления имеемхе=2,5 и х 72,4. Отсюда х ха=2,5.72,4=181 ж1,8.10з. й 1О. Число верных знаков произведения Пусть имеем произведение и сомножителей (л ( 10) и =-х х ...х„ каждый из которых имеет по крайней мере /и(/л ~ 1) верных цифр. Пусть, далее, ич, аа, ..., а„— первые значащие цифры в десятичной запнси множителей; х;=ач(ОР~+($/10Р~ '+...
(ю'=1, 2, 3, ..., Л). Тогда по формуле (5) $ 5 будем иметь: /1 ха т 5 = — ( — ) (1=1 2, ...,Л) 2а; ~10) н, следовательно, ба=2 ( + + ''+а ) (1О) 1 1 1 /11аа Так как — -(- — +... + — м.:: 10, то 5 ( — ( — ) а а ' а а 2 ~10) Следовательно, в самом неблагоприятном случае произведение и имеет ш — 2 верных знака. П р а в и л о. Если все сомножители имеют ш верных десятичных аваков и число их не больше 10, то число верных (в широком смысле) знаков произведения на одну или на две единицы меньше ш. (гл. ! пгиалнжянные числя Следовательно, если нужно обеспечить в произведении щ верных десятичных знаков, то сомножители следует брать с одним или двумя запасными знаками.
Если сомножители обладают различной точностью, то под ш сле- дует понимать число верных знаков в наименее точном из сомножи- телей. Таким образом, число верных знаков произведения неболь- шого числа сомножителей (порядка десяти) может быть на одну или две единицы меньше числа верных знаков в наименее точном из этих сомножителей. Пример 1. Определить относительную погрешность и количе- ство верных цифр произведения и=93,87 9,236.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
