Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Г!ри неблагоприятных обстоятельствах суммарнзя погрешность может быть столь велика, что полученный результат будет иметь лишь иллюзорное значение. В соответствующих главах книги указаны методы оценки погрешностей для основных вычислений. В вычислительном бланке полезно предусмотреть столбцы для табличных разностей(см. гл. Х!Н, й 2), которые можно использовать для контроля вычислений.
А именно, если правильность таблицы разностей нарушается на отдельном участке, то следует пересчитать соответствующие элементы таблицы (либо выяввть причину нарушения). Нужно обратить внимание тзкже на аккуратность и четкость записи в вычислительных бланкзх. Практика показывает, что нечеткая запись цифр часто приводит к ошибкам и может погубить хорошо организованное вычисление. Особенно опасны ошибки в записи чисел, содержащих большое число нулей.
Такие числа следует записывать в нормальной форме, выделяя целую степень десяти, например 0 00000345 3 45.10-в и т. п. Дальнейшая часть книги посвящена главным образом и е т о д а м в ы ч н с л е н и й. Приводимые числовые примеры во многих случаях упрощены, причем промежуточные выкладки часто опускаются. ГЛАВА 1 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА ф 1. Абсолютная и относительная погрешности Приближенным числом а называется число, незначительно отличающееся от точного А и заменяющее последнее в вычислениях. Если известно, что а < А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку; если же а) А, то — по избытку. Например, для )/2 число 1,41 будет приближенным значением по недостатку, а 1,42 — по избытку, так как 1,41 < У 2 < 1,42. Если а есть приближенное значение числа А, то пишут а А.
Под ошибкой или погрешностью да приближенного числа а обычно понимается разность между соответствующим точным числом А и данным приближенным, т. е. Да=А — аь). Если А ) а, то ошибка положительна: да ) 0; если же А < а, то ошибка отрицательна: Да(0. Чтобы получить точное число А, нужно к приближенному числу а прибавить его ошибку Да, т. е. А=а+Да. Таким образом, точное число можно рассматривать как приближенное с ошибкой, равной нулю. Во многих случаях знак ошибки неизвестен.
Тогда целесообразно пользоваться абсолютной погрешностью приближенного числа Д =) Да!. Определение 1. Абсолютной погрешностью д приближенного числа а называется абсолютная величина разности между соотвезствующим точным числом А и числом а, т. е. Д =)А — а). Здесь следует различать два случая: 1) число А нам известно, тогда абсолютная погрешность Д легко определяется по формуле (1): ') Иногда ошибкой называют разность а — А 18 пгиэлиженные числА 2) число А нам не известно, что практически бывает чаще всего, и, следовательно, мы не можем определить и абсолютную погрешность Д по формуле (1).
В этом случае полезно вместо неизвестной теоретической абсолютной погрешности д ввести ее оценку сверху, так называемую предельную абсолютную погрешность. О п р е д е л е н и е 2. Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа. Таким образом, если Д,— предельная абсолютная погрешность приближенного числа а, заменяющего точное А, то Д = ! А — а ! ~ д,. (2) Отсюда следует, что точное число А заключено в границах (3) а — Д,::А~а+Д, Следовательно, а — Д, есть приближение числа А по недостатку, а а+Д,— приближение числа А по избытку.
В этом случае для краткости пользуются записью А = а ~ Д,. П р и м е р 1. Определить предельную абсолютную погрешность числа а=3,14, заменяющего число и. Решение. Так как имеет место неравенство 3,14(п(3,15, то (а — п)(001 и, следовательно, можно принять д, = 0,01. Если учесть, что 3,!4 ( и ( 3,142, то булем иметь лучшую оценку: Д, = 0,002.
Заметим, что сформулированное выше понятие предельной абсолютной погрешности является весьма широким, а именно: под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а понимается любой представитель бесконечного множества неотрииательнык чисел д„удовлетворяющик неравенству (2), Отсюда логически вытекает, что всякое число, большее предельной абсолютной погрешности данного приближенного числа, также может быть названо предельной абсолютной погрешностью этого числа. Практически удобно в качестве д, выбирать возможно меньшее при данных обстоятельствах число, удовлетворяющее неравенству (2).
В записи приближенного числа, полученного в результате измерения, обычно отмечают его предельную абсолютную погрешносгь. Например, если длина отрезка 1 = 214 см с точностью до 0,5 см, то пишут 1 = 214 см ~ 0,5 см. Здесь предельная абсолютная погрешность д, = 0,5 см, а точная величина длины 1 отрезка заключена в границах 213,5 см:~1е= 214,5 см. 5 1) АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ 19 Абсолютная погрешность (или предельная абсолютная погрешность) не достаточна для характеристики точности измерения или вычисления.
Так, например, если при измерении длин двух стержней получены результаты 1 = 1008 см ~ 0,1 см и 1 = 5 2 см~ 0,1 см, то, несмотря на совпадение предельных абсолютных погрешностей, качество первого измерения выше, чем второго. Для точности данных измерений существенна абсолютная погрешность, приходящаяся на единицу длины, которая носит название относительной погрешности. Определение 3. Относительной погрешностью Ь приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности Ь этого числа к модул1о соответствующего точного числа А(Аф0), т.
е. 5= —. а ~А) ' (4) Отсюда Ь=~А~Ь. Так же как и для абсолютной погрешности, введем понятие предельной относительной погрешности. Оп р еде лени е 4. )ургдельной относительной погрешностью Ьа данного приближенного числа а называется всякое число, не меньшее относительной погрешности Итого числа. По определению змеем: Ь~Ь„ (5) т. е.
— ~Ь„отсюда Ь~~А~Ь,. д Таким образом, за предельную абсолютную погрешность числа а можно принять: Ь =)А(Ь . (6) Ь, = ! а ) Ь,. (6') Отсюда, зная предельную относительную погрешность Ь„получают границы для точного числа. То обстоятельство, что точное число лежит между а(1 — Ь,) и а(1 + Ь,), условно записывают так: А = а (1.+ Ь,). Пусть а — приближенное число, заменяющее точное А, и Ьа — предельная абсолютная погрешность числа а. Положим для определенности, что А ) О, а ) 0 и Ь, < а. Тогда Ь= — ~ аа А а да Следовательно, в качестве предельной относительной погрешности числа а можно принять число л» а а Так как на практике А а, то вместо формулы (6) часто пользуются формулой 20 !гл.
г пеинлиженнын числ« Аналогично получаем б = — Аб ~ (а+ д) б,; отсюда а ба 6,=1 Если, как обычно бывает, 6,(Са и 6,(<! (знак (( обозначает «значительно меньшел), то приближенно мо»<но приняттц б,= — ' а Ь, об,. Пример 2. Вес 1 дм' волы при 0'С р=999,847 Г~О,ОО! Г. Определить предельную относительную погрешность результата взвешивания. Решение. Очевидно, что 6 =0,001 Г и р -999,846 Г.
Следовательно, 0,001 е 999,846 П р им е р 3. При определении газовой постоянной для воздуха получили Я = 29,25. Зная, что относительная погрешность етого значения равна !'/«м найти пределы, в которых заключается )с. Решение. Имеем 6, =0,001, тогда бл — --Ябяж0,03. Следовательно, 29,22 ~ )б ~ 29,28. 9 2. Основные источники погрешностей Погрешности, встречающиеся в математических задачах, могут быть в основном разбиты на пять групп. 1. Погрешности, связанные с самой постановкой математической задачи. Математические формулировки редко точно отображают реальные явления: обычно онн дают лишь более или менее идеализированные модели.
!(ак правило, прн изучении тех или иных явлений природы мы вынуждены принять некоторые, упрощающие задачу, условия, что вызывзет ряд погрешностей (погрешности задачи). Иногда бывает и так, что решить задачу в точной постановке трудно или даже невозможно. Тогда ее заменяют близкой по результатам приблинсенной задачей.
При атом возникает погрешность, которую можно назвать погрешностью метода. 2. Погрешности, связанные с наличием бесконечных процессов в математическом анализе. Функции, фигурирующие в математических формулах, часто задаются в виде бесконечных последовательха ха настей или рядов (например, айпи = .к — — + — + ...). Более того, 3! 51 многие математические уравнения можно решить, лишь описав бесконечные процессы, пределы которых и являются искомыми решениями. й 3] двсятичнхя запись.
знлчлщля пнегл. число венных знаков 21 Так как бесконечный процесс, вообще говоря, не может быть завершен в конечное число шагов, то мы вынуждены остановиться нз некотором члене последовательности, считая его приближением к искомому решению. Понятно, что такой обрыв процесса вызывает погрешность, называемую обычно остаточной погрешностью. 3.
Погрешности, связанные с наличием в математических формулах числовых параметров, значения которых могут быть определены лишь приближенно. Таковы, например, все физические константы. Условно назовем эту погрешность начальной. 4. Погрешности, связанные с системой счисления. При изображении даже рациональных чисел в десятичной системе или другой позиционной системе справа от запятой может быть бесконечное число цифр (например, может получиться бесконечная десятичная периодическая дробь).
При вычислениях, очевидно, можно использовать лишь конечное число этих цифр. Так возникает погрешность 1 округления. Например, полагая — =0,333, получаем погрешность Ь =4 10 а. Приходится так же округлять и конечные числа, имеющие большое количество знаков. 5. Погрешности, связанные с действиями над приближенными числами (погрешности действий). Понятно, что, производя вычисления с приближенными числами, погрешности исходных данных в какой-то мере мы переносим в результат вычислений. В этом отношении погрешности действий являются н е у с т р а н и и ы м и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
