Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Почти для всех процессов даются доказательства теорем сходимости, причем изложение нос~ровно так, что при желании можно их опустить и ограничиться лишь технической стороной дела. В отдельных случаях, в целях наглядности изложения и устранения излишней громоздкости, вычислительные приемы сообщаются рецептурно. Основные методы доведены до численных приложений †да расчетные схемы и приведены числовые примеры с подробным ходом решения. В целях лучшего понимания сути дела большинство пгвднсловиг приведенных примеров рассматривается в упрощенной трактовке и носит иллюстративный характер.
Использованная н дополннтель. ная литература указана по главам. Настоящая книга излагает избранные методы вычислительной математики, и в нее не включен материал, связанный с эмпириче. скими формулами, квадратичным аппроксимированием функций, приближенным решением дифференциальных уравнений и др. Авторы намерены посвнтить этим вопросам отдельную книгу. В книгу также не включены сведения о программировании и технике решения математических задач на счетных машинах; по этому вопросу следует обратиться к специальным руководствам. Авторы приносят благодарность коллективу кафедры высшей математики Артиллерийской инженерной академии им.
Ф. Э. Дзержинского, принимавшему участие в обсуждении рукописи книги. Особую признательность выражаем Л. А. Люстернику, Г. П. Толстову и Н. П. Бусленко, сделавшим ряд замечаний общего характера, Э. 3. Шуваловой, представившей некоторые письменныц материалы, Д. М. Гробману за ценные практические советы и А.
А. Юшкевичу, прорецензировавшему главу ХЪ!!. Авторы благодарны также проф. Х. Л. Смолицкому и доц. С. В. Фролову и Р. Я. Шостаку, рецензии которых позволили улучшить качество рукописи. Считаем своим долгом отметить компетентную работу редактора Г. И. Бирюк. Авторы Москва, !959 г. ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Второе издание книги печатается с незначительными изменениями по сравнению с первым, Внесены исправления замеченных ошибок.
В конце некоторых глав добавлены отдельные фрагменты. Так, в введении даны дополнительные указания к общим правилам вычислительной работы. Сделаны также некоторые замечания к методу Бернулли и др. В 1962 г. Физматгнзом была выпущена книга Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. 3. Шувалова «Численные методы анализа», посвященная приближению функций и дифференциальным уравнениям и являющаяся естественным продолжением настоящей книги. Обе зти книги вместе составляют двухтомное учебное пособие по вычислительной математике, охватывающее основные методы численного решения важнейших математических задач. Это учебное пособие содержит материал, достаточный для большого курса приближенных вычислений во втузах, и может быть использовано также студентамн физико-математических факультетов, специализирующихся в области вычислительной математики.
Авторы Москва, 1963 г. ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Третье издание отличается от второго лишь тем, что исправлены замеченные опечатки. Авторы считают приятным долгом выразить свою благодарность Л. Я. 14лафу за ряд ценных указаний. Авторы Москва, 1965 г. ВВЕДЕНИЕ Общие правила вычислительной работы При выполнении массовых вычислений важно придерживаться определенных простых правил, выработанных практикой, соблюдение которых экономит труд вычислителя и позволяет рационально использовать имеющуюся вычислительную технику и вспомогательные средства.
Прежде всего вычислитель должен разработать подробную вычислительную схему, точно указывающую порядок действий и дающую возможность получить искомый результат наиболее простым и быстрым путем. Это особенно необходимо при однотипных вычислениях, так как такая схема, автоматизируя вычисления, позволяет выполнять нх более быстро и надежно, что с пользой окупает время, затраченное на составление схемы. Кроме того, имея детальную вычислительную схему для решения задачи, можно использовать труд менее квалифицированных вычислителей.
Составление вычислительной схемы проиллюстрируем на следующем примере. Пусть требуется вычислить значения данной аналитической функции у =у(х) для заданных значений аргумента х=хы хв, ..., х„. Если число этих значений велико, то неразумно вычислять отдельно сначала значение у(х,), затем значение у(хв) и т. д., каждый раз выполняя всю совокупность операций, указанных символом у'. Гораздо целесообразнее, расчленив функциюУ на элементарные операции (действия) у'(х) =у' (...(ув(у',(х) ) )...), вычисления производить однотипными операциями: и;=у',(хг) (1=1, 2, ..., и); п,=у' (и;) (1=1, 2, ..., и); у = у' (те;) (1 = 1, 2, ..., и), вввдзнив выполняя одну и ту же операцию Г~(у=1, 2, ..., т) для всех рассматриваемых значений аргумента.
При этом широко могу~ быть использованы соответствующие таблицы функций и специализировзнные счетные машины. Запись результатов вычислений следует производить на особых вычислительных бланках или формулярах, представляющих собой специальным образом разграфленные и размеченные листы бумаги (применительно к выбранной вычислительной схеме!). На этих бланках, в строго определенных местах, заносятся промежуточные результаты по мере их получения, а также окончательные результаты.
Вычислительные бланки обычно строятся таким образом, чтобы результаты каждой серии однотипных операций заносились в один столбец или в одну строку, причем расположение записей промежуточных результатов должно быть удобным для производства последующих вычислений. Например, для составления таблицы значений функции можно рекомендовать вычислительный бланк, приведенный в таблице 1. Таблица 1 Вычислительным бланк для функции (1) Вычисления ведутся по столбцам, причем характер выполняемых однотипных операций ясен нз самого вычислительного бланка.
Сначала в столбец (1) записываются данные значения аргумента х. Затем все числа столбца (1) возводятся в квадрат и заносятся в столбец(2).Далеепотаблицамопределяютсядля каждого числа столбца(1) последовательно значения е", а)пх, созх и заполняются соответственно столбцы (3),(4), (5). В дальнейших столбцах указаны результаты промежуточных операций. Например, столбец (6) содержит значения сумм е" +созх (схематически (3)+(5) ) и т. д. В последнем столбце (12) приводятся оащнв птавила вычислительной гавоты )б значения искомой функции у. При правильно составленном бланке вычислитель в процессе вычисления уже фактически не пользуется формулой, по которой ведется расчет, его внимание сосредоточено исключительно на последовательном заполнении столбцов. Заметим, что расчетная схема и форма бланка существенно зависят от используемой техники вычислений и вспомогательных таблиц.
Так, например, в некоторых случаях отдельные промежуточные результаты хранятся в памяти машины и в бланк не заносятся. Иногда стандартные совокупности операций удобно рассматривать как отдельное действие. Например, при использовании логарифмической линейки численное значение выражения вида аа г можно вычислять сразу, не фиксируя промежуточный результат, и поэтому нет необходимости расчленять его на простейшие операции умножения и деления. Аналогично при работе на электрических счетных машинах процесс отыскания суммы парных произведений и ;Е,б, а=1 является единым действием. Во многих случаях выгодно преобразовывать данные выражения к специальному искусственному виду (например, заменять деление умножением на обратную величину, нли приводить выражение к виду, удобному для логарифмирования,и т.п ).
Второе, на что нужно обратить серьезное внимание,— это контроль вычислений. Без проверки вычисление не может считаться законченным. Контроль разделяется на текущий и заключительный. Прн текущем контроле, производя добавочные действия, мы с большей или меньшей степенью достоверности убеждаемся, что полученные промежуточные результаты правильны. В противном случае производится пересчет соответствующего этапа. При заключительном контроле проверяется лишь окончательный результат. Например,если вычисляется корень уравнения, то найденное значение можно под. ставить в уравнение и таким образом узнать, правильно или нет решена задача. По здравому смыслу ясно, что если вычисление очень большое, то рискованно ставить под угрозу вс1о вычислительную работу, дожидаясь проверки окончательного результата. Поэтому целесообразно проверять правильность расчетов по этапам.
В ответственных случаях расчеты контролируются путем независимого выполнения расчетов двумя различными вычислителями, илн же задача решается одним и тем н<е вычислителем двумя различными способами. Третий важный момент — оценка точности.
В большинстве случаев вычисления производятся с приближенными числами и притом приближенно. Поэтому даже для точного метода решения задачи на каждом этапе вычислений возникают погрешности действий и язвления логрешности округлении. Если сам метод †приближенн, то к этим двум погрешностям присоединяется погрешностьметода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
