Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 12
Текст из файла (страница 12)
3 а м е ч а н и е 2. В условиях теоремы 3 для значения цепной дроби сс имеем следующую оценку: ор 1=О+1 )ь,))а,( ... (ь) )0а-1()9а! х ) 01 1П01! Х=ор.р о=6+1 И=о+1 В честности, если )Яр! +Со при Ф вЂ” оо, то й 5. Разложение функций в цепные дробя Цепные дроби являются удобным аппаратом для представления и вычисления функций. Подробности по этому вопросу изложены в специальной литературе (см., например, 121), а мы ограничимся лишь рассмотрением отдельных примеров.
Ззметим, что если функция у'(х) с помощью какого-нибудь приема разлагается в бесконечную цепную дробь, то в общем случае нужно доказать сходимость этой дроби и убедиться, что предельное значение цепной лроби равно функции у(х). А. Разложение рациональной функции в цепную дробь Если у( ) С10+С11Х+С11Х + соо+ сорх+ соохо+ то в общем случае, производя элементарные преобразования, будем иметь: у (х)— Срр Срр+Со!Х+СМХ + .. ° сро сы-1-с11Х+сррх +...
э 5! где с„+сох+с„х'+ .. сы+сых+сгохо+ .. соа — — сгосм хот — сноса оо, (А= О, 1, ...). Аналогично У' (") =.ы+' 1,(.) где сох+соха+соох + ° ° ° со„+сохх+с„,х +... о с „=.с с, „,— с со о+ (й=О, 1, ...) и т. д. Таким образом О. соо соох свох с„ох =-[ см со с причем легко убедиться, что цепная дробь (1) получится конечной. Коэффициенты разложений его удобно последовательно вычислять по формуле ст о,о су жоох ~ суо — —— --!' су,, с, ог где у)2. Заметим, что в некоторых случаях коэффициенты су могут оказаться равными нулю.
Тогда в разложение (1) нужно внести соответствующие изменения [2). П р и м е р 1. Разложить в цепную дробь функцию 1 — х "~( ) 1 — бх+бхо Решение. Выписываем коэффициенты с!о в следу1ощую схему: у(х) = соо + сы+ глзложенни егнкций в цепныв дгови 72 нвкотогыа сввдвния из твогни цвпных дгоивй [гл. и Следовательно, 1 — х ( 1 — 4х — 2х — 12х ) 1 1 — бх+бхх ( ' 1' Т ' — 4' — 2 ( 4х !в 2х 1— — 4+ бх В. Разложение ех в цепную дробь Для е» Эйлер получил разлонгение (2~ х (0. ! — 2х хх 'Т' 2+»' б ' 10 ' '''' 4а-1-2' сходящееся для любого значения к, действительного или комплексного 12). Отсюда получаем подходящие дроби: Рг 1 К 1 ' Р, 2+» Ях Рх 12+бх+хх Щ 12 — бх+хх ' Рх 120+ бох+ 12хх+ хх т!4 120 — ббх+! 2хх — ха и т.д. Полагая, в частности, х=! и ограничиваясь четвертой подходящей дробью, имеем еж —,=2,7183...
193 7! Для достижения той же точности нужно в разложении 36аклорена 1 1 а=2+ — + — +... 2! 3! взять не менее восьми членов. В. Разложение 1ах в цепную дробь Для Гйк Ламбертом получено разложение х — хх — хх — хх (3) сходящееся во всех точках непрерывности функции. Пример 2. Найти приближенно !31.
Решение. Полагая в формуле (3) х=1, будем иметь: ЛИТВРАТУРА КО ВТОРОЙ ГЛАВВ На основании формулы (3) нз 9 3 составим следующу!о схему для членов подходищих дробей: Ограничиваясь четвертой подходящей дробью, будем иметь: (3 1 ям — = 1,557377 95 б! (по таблицам !31= 1,557396). Литература ко второй главе 1. А. Я.
Х и н ч и н, Цепные дроби, Гостехиздат, 1949, гл. 1. 2, А. Н. Хованский, Приложение цепных дробей и нх обобщений к вопросам приближенного анализа, Гостехиздат, !956, гл. 1 н 11. 3. Г. М. Ф их те н го л ь ц, Основы математического анализа, Гостехнздат, !955, т. 1, гл, П!, 4, О. Регго о, О!е 1.ейге топ реп Ке!!епЬгйсЬеп, ТенЬпег, !9!3, гл. ЧП, гллвл ГН ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ фУНКЦИй При вычислении с помощью счетных машин значений функций, заданных формулами, далеко не безразлично, в каком виде записана соответствующая формула. Математически эквивалентные выражения часто оказываются неравноценными с точки зрения приближенных вычислений. Поэтому возникает практически важная задача о нахождении для элементарных функций наиболее удобных аналитических выражений. Вычисление значений функций обычно сводится к последовательности элементарных арифметических действий.
Учитывая ограниченность объема памяти машины, желательно эти операции разбивать на повторяющиеся циклы. Ниже мы рассмотрим некоторые типовые приемы вычислений. й 1. Вычисление значений иолниоиа. Схема Гориера Пусть дан полипом а-й степени Р(х)=а,х"+а х" '+...+а„,х+а„ (1) с действительными коэффициентами аь(н = О, 1, ..., л). Положим, что требуется найти значение этого полинома при х = ~: Р (з) = аД" + аД" '+...
+ а„Д+ а„. (2) Вычисление числа Р(с) удобнее всего производить следующим образом. Представим формулу (2) в виде Р(Ц=(... (((аД+а,) с-)-ах) $+аз) с+... +а„,) $+а„). Отсюда, последовательно вычисляя числа Ье =- а, Ь =а,+ЬД, Ь = ах+ЬД, Ь,=а,+ЬД, Ь„= а„+Ь„Д, ) находим Ь„= — Р(ьь).
1) вычисление значений полиномл. схема гогнегл 75 Покажем, что числа Ь, = аа, Ьы..., Ь„т являются коэффициентами полинома (~(х), полученного в качестве частного при делении данного полинома Р(х) на двучлен х — $. В самом деле, пусть Ю(х)=()ах" '+М" '+" +(3.- (4) (5) Р(х) = 9 (х) (х — $) + (3„, причем на основании теоремы Безу остаток от деления ()„=Р(я). Из формул (4) и (5) получим: Р(х)=((3,х" '+~,~ '+... +(3„~)(х — ~)+(3„, нли, раскрыв скобки и сделав приведение подобных членов, будем иметь: Р(х) =Ц х" + фд — фД) х" '+ф — РД) х" з+... " +(()„т — ~„Д) х+(р.— р. Р.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х в левой и правой частях последнего равенства, получим: ро= по (3 — М= ра — рД = а„ и — с=а л-1 Гн-зь и-1 р„— (3„Д = а„. Отсюда р =~ р =аз+ОД=Ь (3з= а,+(3Д=Ьз, 0„~ = а„, + р„Д = Ь, (3„=и„+р, Д=Ь„, что и требовалось доказать. Таким образом, формулы (3) позволяют, не производя делении, определять коэффициенты частного 1~(х), а также остаток РЯ).
Практически вычисления осуществляются по следующей схеме, называемой схемой Горнера: +на а, а, ... л„ ьд ь1* . ° ьа-д ь,ь, ь, ...Ь„=р(р вычислвнив значиний эьнкций П р и и е р 1. Вычислить значение полинома (гл. ш Р(х) = Зхз+ 2х' — Зх+ 7 при х = 3. Р е ш е н и е. Составляем схему Горнера: 3 2 — 5 7 !3 + 9 33 84 3 11 28 91 = Р (3) 3 а и е ч а н и е. Пользуясь схемой Горнера, можно получить границы действительных корней данного полннома Р(х).
Положим, что при х = р (р ) О) все коэффициенты Ьг в схеме Горнера неотрицательны, причем первый коэффициент положителен, т. е. Ьо=по)0 и Ь|)0 (1=1, 2,..., л). (6) Р(х) =(Ьех" т+... +Ь„х) (х — Р)+Ь„, то при любом х ) р в силу условия (6) будем иметь Р(х) ) О, т. е. любое число, большее (), заведомо не является корнем полинома Р(х). Таким образом, имеем верхнюю оценку для действительных корней ха полинома.
Для получения нижней оценки корней х„ составляем полипом ( — 1)" Р( — х) = аих"- а,х" '+... + ( — 1)" а„. Для этого нового полинома находим такое число х=а(а)0), чтобы все коэффициенты в соответствующей схеме Горнера были неотрицательны, за исключением пер- Х/ хи ного, который, очевидно, будет положительныи. Тогда согласно прелыРис. 2. дущим рассуждениям для действительных корней полинома ( — 1)" Р( — х), очевидно, равных †ха(Ь = 1, 2, ..., лг), инеем неравенство — хь ~ сс. Следовательно, ха) — а (4=1, 2, ..., гн). Таким образом, мы получили нижн1ою границу — а действительных корней полинома Р(х).
Отсюда следует, что все действительные корни полинома Р(х) расположены на отрезке ( — а, р]. П р и и е р 2. Найти границы действительных корней полинома Р(х) = ха — 2ха+ Зхз+ 4х — 1. Тогда можно утверждать, что все действительные корни ха (Ь= — 1, 2,..., лг; шн., 'л) полинома Р(х) расположены не правее (), т. е. х„( () (А = 1, 2, ..., ш) (рис. 2). В самом деле, так как 9 2) ововщвннхя схема гогнвга Р е ш е н и е. Подсчитаем значение полинома Р(х), например, при х =2.
Пользуясь схемой Горнера, получим: 1 — 2 3 4 — 1 + 2 О 6 20 1 О 3!О 19 Так как все коэффициенты Ь; ~ О, то действительные корни х» полинома Р(х) (если они существуют) удовлетворяют неравенству х„( 2. Верхняя граница действительных корней найдена. Перейдем к оценке нижней границы. Составим новый папином: Я (х) = ( — 1)4 Р( — х) = х4+ 2ха+ Зха — 4х — 1. Подсчитывая значение полинома (~ (х), например, при х = 1, имеем: ! 2 3 — 4 †! + ! 3 б 2 ! 3 б 2 1 Все коэффициенты Ь|~0, значит, — х„~1, т. е. хь) — 1. Итак, все действительные корни данного полинома находятся внутри отрезка 1 — 1, 21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
