Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 13
Текст из файла (страница 13)
2 2. Обобщенная схема Горнера Пусть в данном полиноме Р(х) =а,х" +а,х" '+... + а„ по каким-.то соображениям требуется произвести замену переменной х по формуле х =у+5, (2) где $ †фиксированн число и у †нов переменная. Подставив выражение (2) в полинам (1) и произведя указанные действия, после приведения подобных членов получим новый полинам относительно переменной Ьч Р(у+$) =А у"+Аьу" т+...
+А„. (3) Так как полинам (3) можно рассматривать как разложение Тейлора по степеням у функции Р(у-)- с), то коэффициенты А! (! = О, 1, ..., и) могут быть вычислены по формуле р~и -л. (т) А! — — ., (1=0, 1, ...,л). Укажем более удобный на практике способ отыскания коэффициентов А,.(1=0, 1, 2,..., л) с помощью схемы Горнера. Положим сначала у= — 0 в выражении (3). Тогда будем иметь А„=Р(6). вычисление знлчениЙ Функций [ГЛ. П1 Разделив полипом (1) на двучлен х †, получим: (4) Р (х) = (х — $) Р, (х) + Р (~), где Р,(х) =Ь,х" 1+Ь х" '+...
+Ь„,. Далее, если в выражение (3) вместоу подставить его значение у =х — $, то будем иметь: Р(х)=(х — $)]А (х — Е)' '+А,(х — $)" '+...+А„1]+Р(Е). (5) Сопоставляя формулы (4) и (5), заключаем, что Р1(х)=Аа(х — ле)" т+А1(х — ае)" а+... +А„„ы (6) Отсюда (7) Аналогично, разделив полином Ра(х) на двучлен х — Е, можем положитье Р„(х) = (х — $) Р (х)+ Р„$), (8) где Ра(х)=с,х" а+с,х" '+ ... +с„з. Кроме того, из фориул (6) и (7) имеем: Р(.) ( р]А ( цл-а [ 1 ( а)л-а [ ) А ] [р(ц (О) Сопоставляя формулы (8) и (9), заключаем, что Ра(х) =Аа(х — $)' +АУ(х — $)л а+... +А„„а. Отсюда А„Е=РЕ(ь) ° Продолжая этот процесс далее, мы последовательно выразим все козффнциенты А1(1= 0, 1, ..., «) через значения соответствующик полиномов Р,(х)=Р(х) и Р,(х),..., Р„(х)=а при х=$: А„= — Р (ь); А„=Р ($); А„= Ра (Е); А, = Р„($), где полиномы Р„+1(х), исходя из полиномов Ра(х), строятся поформуле Р„(х) = (х — 5) Ра,, (х) + Р„($) (й =- О, 1,..., «).
5 3! вычисление значений гхпнонхльных дговей 79 Для вычисления значений Рф, Р,($), Р,($), ... пользуемся обоби!енной схемой Горнера: ае а1 а, аа ... а„ с а„ Ьеб Ь,3 Ье3 ..: Ь„ Д Ь„ Д Ье Ь| Ьа Ье ° Ьа-1 Ьл = !' (3) сД сД ... с„ас , ... с„,= Р,Я) П р и м е р. Чтобы уничтожить в полиноме Р (х) = ха — 8х'+ бх'+ 2х — 7 член, содержащий третью степень неизвестной, полагают х=-у+2.
Найти преобразованный полипом. Р е ш е н и е. Применяем обобщенную схему Горнера: ($=2 1 — 8 5 2 — 7 2 — 12 — 14 — 24 1 — 6 — 7 — 12 — 8! — 80 ! — 4 —.18 — 42 2 — 4 1 — 2 — 10 2 ! 0 Следовательно, Р(у+ 2) =уа — 19уа — 42у — 31. ф 3. Вычисление значений рациональных дробей Всякую рациональную дробь )с (х) можно представить в виде отношения двух полнномов, т.
е. )с (х) = —, Р (х) Я (х)' где Р(х) = а х" + а х" '+... + а„, (;1(х) = Ь,х" +Ь,Х т+... +Ь„. 80 Вычисления значений Функций [гл. и! Пусть нам требуется определить значение Я (х) в точке х = ~: ['(я) = с) (й' (2) Числитель Рф и знаменатель ОД) дроби (2) можно найти, пользуясь схемой Горнера. Отсюда получаем простой способ вычисления числа [с(Д.
Другой способ вычисления состоит в преобразовании функции 1!'(х) в цепную дробь. Для зтого можно воспользоваться способом, указанным в главе 11, 2 3. ф 4. Приближенное нахождение сумы числовых рядов Определение. Числовой ряд а!+аз+... +а„+... (1) называется сходящимся, если существует предел последовательности его частных сумм 5=1[ш 5„, и-~ аю (2) где Як=а!+а +... +а„.
Число о называется суммой ряда. Таким образом, сходимость ряда (1) эквивалентна сходимости последовательности его частных сумм. Согласно критерию Коши [1[ зта последовательность сходится тогда и только тогда, когда для любого в ) О существует И=К!(в) такое, что [5„+р — 3„[< е при д ) М и произвольном р ~ О. Из формулы (2) получаем: 5=5„+йю (Э) где [т„ †остат ряда, причем Я„ — 0 при и оо. Для нахождения суммы о сходящегося ряда (1) с заданной точностью е нужно выбрать число слагаемых л столь большим, чтобы имело место неравенство [Я„[< е.
(4) Тогда частная сумма Я„ приближенно может быть принята за точную сумму о' ряда (1). Заметим, что на практике слагаемые ам аа, ... также определяются приближенно. Кроме того, сумма 5„ обычно округляется до заданного числа десятичных знаков. Чтобы учесть все зти погрешности и обеспечить нужную точность, можно применить следующую методику: выберем, в общем случае, три положительных числа е„ з и еа такие, что з, + з, + ез = в. ф 4) пгиилижвннов нахождении стмм числовых гядов 81 еа ) а — и.~~ — ' ° Тогда для суммы 5„= ~~'„иа 4=1 погрешность действий (суммирования) удовлетворяет неравенству )ބ— 3„)~ е,. (б) Наконец, полученный приближенный результат Ю„ округлим доболее простого числа 8„ с таким расчетом, чтобы погрешность округления была !4,— ~.!~аз. В таком случае число Ю„является приближенным значением суммы 5 ряда (1) с заданной точностью и.
Действительно, из неравенств (б) — (7) имеем: ) 8.— о„) ( ! Ю вЂ” 3„) + ( о„— 5„)+ ) У„- 5„) ~ в, + е, + е, = в. Разбиение числа е на положительные слагаемые е„в, и е следует производить, сообразуясь с потребным объемом работы для получения искомого результата. Если е=-1О "и результат должен содержать ш верных десятичных знаков после запятой, то чаще ~е,р фа всего принимают: д Ю а е Рнс. 3. е е =— а 2 Если заключительное округление отсутствует, то обычно полагают: е з 2 ' е зз 2 за 0' Задача усложняется, если нужно найти сумму ряда с точностью до ш верных десятичных знаков после запятой в у эком смысле с л о в а.
Геометрически это значит, что требуется найти элемент а множества — (и — целое), блнжзйший к числу Ю (рис. 3). 1Он Возьмем число и членов ряда столь большим, чтобы остаточнал погрешность ~)с„) удовлетворяла неравенству )й„((е,. (5) Каждое из слагаемых аа(н=1, 2, ..., и) вычислим с предельной еа абсолютной погрешностью, не превышающей — ', и пусть аа (й= 1, 2,..., п) — соответствующие приближенные значении членов ряда (1), т. е. 82 вычисления знлчвний етнкций [гл. ш Пусть для определенности сумма о" положительна и (ра — целые неотрицательные числа, и ) лл) — рациональное приближение такое, что ! Допустим, что Р„„ф4 и р~~,4=5.
Тогда, округляя число Я, получим искомый результат: п=ра+ о+'''+ о ' если р „~8, Рл Р» (8) илн = ра+ 1О+... + — „... если р„„~ 5. Р,. +! (8') Действительно, в первом случае, при округлении по недостатку мы имеем: Я Рш+л Р +а Рп ( О==~-ц=!О, +„,. +" +10 ~ 3 9 9 4 ~10-+ +1О-+ +" + 10- ~10- Во втором случае, при округлении по избытку, получим: 1 1 б 4 О(о — 5= —— Рппл Рп !Оп 10»+л ' ' ' 10» 10» !О»+л !0»пл Позтому в обоих случаях имеем: 4 (5 — (» —, и, следовательно, (о — (и:'.~8 — З(+[5 — ~(~ и! „+1,1,л = 9 1О ".
Таким образом, о =-и ч- — 1О 2 Если р +! — — 4 или р +! — — 5, то следует увеличить точность вычислений приближенной суммы 5л привлекая очередной десятичный разряд. 2 4) птивлижвннов нахождения сямм числовых гадов 83 В частном случае, если р„+~ — — 4 и известно, что 5<8, то о(8) есть приближенное значение суммы 5 с точностью до — ° 10 1 2 (по недостатку). Аналогично, если р чх — — 5 и Ю)Е, то о(8 ) есть приближенное значение суммы 5 с точностью ло — 10 1 -н 2 (по избытку). л(ля оценки остатка ряда (1) )т„= а„+, + а„, + полезны следующие теоремы, которые мы приводим без доказательств 111.
Рнс. 4. Т е о р е м а 1. Если члены ряда (1) представляют собой соответствующие значения положительной монотонно убывающей функиии у(х), т. е. а„= р'(и) (и = 1, 2,... ), (о) то (рис. 4) ~ у'(х) дх )т„с ) у (х) с(х. и+1 ч Теорема 2. Если ряд (1) — знакочередующийсж ат)0, а,(0, аа)0, вычисление значений екнкций (гл. вн и модули его членов монотонно убывают, то ) Й„) () а„+,) и здп Я„= зкп а„, ").
П р и м е р. Найти сумму ряда 1 1 ! 1 !з + 2в + Зз + + вв + ' ' (10) с точностью до 0,001, Р е ш е н и е. Примем остаточную погрешность е = — ° 10 '= —. 1 1 4 4000 ' Поэтому для п-го остатка ряда А=к+в имеем оценку г ак )с <) — =— кв 2нв з Решая неравенство ! 1 2нз 4000 ' получим: л ~ )т 2000 ж 44,7. Примем а = 45.
Предельную погрешность суммирования выберем равной е,= — ° 10 в; ! отсюда допустимая предельная абсолютная погрешность слагаемых частной суммы Ювв ряда (10) есть: — ° 1О 1 — = — ° 1О з. 45 9 ') вянув ОООЗиаЧВЕт ЗНаК ЧИСЛа Ив, т. Е. Зиник=+1, ЕСЛИ )1в>О; зкп)тк= — 1, если й„< О; зяп !! =О, если )тз=о. Члены ряда (10) представляют собой соответствующие значения монотонно убывающей функции У(к) = — „., ° 1 41 пРивлиженнов нахождение сумм числОВых РядоВ 85 Положим — „= — 10-, еа л 2 ' т е члены ряда (10) будем вычислять с пятью верными в узком смысле, десятичными знаками после запятой. Ниже выписаны соответствующие значения слагаемых и результаты частичного суммирования: 1,19998 0,00151 0,00029 Следовательно, 3аь= 1 19998+ 0 00151 + 0,00029 = 1,20178.
Округляя это значение до тысячных, получим приближенное значение суммы 3 1,202. Так как погрешность округления ва О 00022 ( ' 10 ' ! то суммарная погрешность найденного результата не превышает в( — 10 + — 10 + — 10 а( — ° 10 В. Таким образом, Я = 1,202 1- 0,001. Оценку можно провести точнее, если учесть знаки округлений. Для 1 сравнения приводим значение суммы 3 с точностью до — ° 10 а 121: 2 Ю = 1,202057. 1,00000 0,12500 0,03704 0,01562 0,00800 0,00463 0,00292 0,00195 0,00137 0,00100 0,00075 0,00058 0,00046 0,00036 0,00030 0,00024 0,00020 0,00017 0,00014 0,00012 0,00011 0,00009 0,00008 0,00007 0,00006 0,00006 0,00005 0,00004 0,00004 0,00004 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 0,00001 (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
