Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если: 1) функция Г(х) определена и непрерывна при — со <х<+ оо; 2) /(а)у(Ь) < О; 3) у'(х)фО при а (х ~ Ь; 4) /" (х) существует всюду и сохраняет постоянный знак, то при применении метода Ньютона для нахождения корня уравнения у'(х) О, лежащего в интервале (а, Ь), за начальное 126 АлгевРАические и тРАнсцендентные РРАВнения [Гл. Рч приближение х, можно принять любое значение с Е (а,Ь). В частности, можно взять ха = а или х =Ь.
действительно, пусть, например, у'(х)) О при а<х(~Ь, у" (х) ) О и х„= с, где а < с < Ь. Если ~'(с) = О, то корень $ = с и задача, таким образом, решена. Если у(с) ) О, то справедливо приведенное выше рассуждение и процесс Ньютона с начальным значением с скопится к корню $Е(а, Ь). Наконец, если у'(с) < О, то находим значение х =х —,' =с — —,~с. 1(РР) ! (с) а' (ха) г,' (с) Применяя формулу Тейлора, будем иметь: у(х )=Г(с) — —,у'(с)+ — 1 —,( г (с) = — ) —,) у'"(с)) О, ) (с) , 1 Г / (с) 1 Р— 1 Г ) (с)1 а 1' (с) 2 1 а' (с)~ 2 ~1' (с) ~ где с — некоторое промежуточное значение между с и х,.
Таким образом, у (х,) у" (х,) ) О. Кроме того, из условия у" (х) ) О вытекает, что у" (х) — возрастающая функция и, значит, у'(х))у'(а)~О прн х)а. Следовательно, х, можно принять за начальное значение для процесса Ньютона, сходящегося к некоторому корню $ функции у(х) такому, что $ ) с ~ а. Так как в силу положительности производной ~'(х] при х а функция у'(х) имеет единственный корень на интервале (а, +ос), то я= я Е (а, Ь). Аналогичное рассмотрение можно провести для других комбинаций знаков производных у'(х) и Г"(х).
3 а и е ч а н и е 2. Из формулы (3) видно, что чем больше численное значение производной у'(х) в окрестности данного корня, тем меньше поправка, которую нужно прибавить к п-му приближению, чтобы получить (л+ 1)-е приближение. Позтому метод Ньютона особенно удобно применять тогда, когда в окрестности данного корня график функции имеет большую крутизну. Но если численное значение производной Г'(х) близ корня мало, то поправки будут велики, и вычисление корня по атому методу может оказаться очень долгим, а иногда я вовсе невозможным.
Следовательно, если кривая у =/(х) вблизи точки пересечении с осью Ох почти горизонтальна, то применять метод Ньютона для решения уравнения у(х) = О не рекомендуется. 127 метод ньютона (метод касательных) $5! Для оценки погрешности и-го приближения х„можно воспользоваться общей формулой (5) $1 (6) ~1 где лг,— наименьшее значение ~у (х)(на отрезке [а, Ь). Выведем еще одну формулу для оценки точности приближениях„. Применяя формулу Тейлора, имеем: у(х„) = г'[х„,+(х„— х„,)1= =~(х„)+у'(х„)(х„— х„)+ — у" Ян г) (х„— х„)а, (7) где $„, ~ (х„,, х„).
Так как в силу определения приближения х„ имеем г" (х„,)+7" (х„,) (х„— х„т) = О, то из (7) находим: 17" (х„) (( — Ма (х„— х„,)», где Я» — наибольшее значение (/ (х) ( на отрезке [а, Ь). Следовательно, на основании формулы (6) окончательно получаем; ( $ — ~„( ( — ' (х„— х„т)'. (8) л 2ж ° х ' Бели процесс Ньютона сходится, то х„— х„т О прн л оо. Поэтому прй л ) М имеем: ($ — х„(((х„— х„,(, Рис. 19. $=х —,' " — — ° — ', " (9 — х )', 7, (х„) ! 77 (с„) а ~' (хх) 2 77 (хх) х где с„~ (х„, $). Отсюда, учитывая формулу (3), будем ииеть: 9 — х = — — ° — ', "($ — х)' 1 7," (с„) 2 а' (к„) т. е. «установившиеся» начальные десятичные знаки приближений х„, и х„, начиная с некоторого приближения, являются верными.
Заметим, что в общем случае совпадение с точностьюдовдвух последовательных приближений хн т и х„вовсе не гарантирует, что с той же точностью совпадает значение х„ и точный корень $ (рис. 19). Установим также формулу, связывающую абсолютные погрешности двух последовательных приближений х„и х„,. Из формулы (5) получаем: 128 АлгеБРАические и ТРАнсцендентные уРАвнения [Гл. ш и, следовательно, ~ $ — х„+,1( — ' (й — х„)'.
~1 (9) Формула (9) обеспечивает быструю сходимость процесса Ньютона, если начальное приближение х таково, что М' ) $ — хе) (Ч < 1. В частности, если то из формулы (9) получаем: )$ х ) < 10-ет т. е. в этом случае, если приближение х„имело ги верных десятичные знаков после запятой, то следующее приближение х„+т будет иметь по меньшей мере 2гв верных знаков; иными словами, если )с ( 1, то с помощью метода Ньютона число верные знаков после запятой искомого корня $ удваивается на каждом шаге. П р и м е р 1.
Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения у(х)=ха — Зхе+75х — 10000=0 с пятью верными знаками. Решение. Полагая в левой части уравнения х=О, — 1О, — 100, ..., получим г" (О) = — 10 000, у( — 10) = — 1050, у ( — 100) + 10а. Следовательно, искомый корень $ находится в интервале — 100 < $ < — 10. Сузим найденный интервал. Так как у'( — 11) =- =3453, то — 11 < $ < — 10. В этом последнем интервале У'(х) < 0 и У'"(х) > О. Так как у'( — 11) ) 0 и у'( — 11) ) О, то можем принять за начальное приближение хе =- — 11. Последовательные приближения х„(и=1, 2, ...) вычисляем по следующей схеме: Останавливаясь на л = 3, проверяем знак значения у(х„+ 0,001) =у( — 10,260). Так как у'( — 10,260) < О, то — 10,261 < $ < — 10,260, и любое из этих чисел дает искомое приближение.
5 б) мвтод ньютона (метод касательных) П р и м е р 2. Найти по методу Ньютона наименьший положительный корень уравнения 1их =х с точностью до 0,0001. Р е ш е н и е. Построив графики кривых у=(кх и у=х У-Р -у (рис. 20), заключаем, что искомый корень $ находится в интервале Зл л < в < —. Переписав уравне- 2 ние в виде у (х): — з1п х — х соз х = О, будем иметь; т' (х) = х з1п х; Г'" (х) = а1 и х+ х соз х.
Отсюдау'(х) < 0 и у'"(х) < 0 Зл при и < х < —. Так как 2 у'~ — ) = — 1, то за началь/ Зл'й ~ 2) Рис. 20. Зл ное приближение можно принять хр — — —. Вычисления произволим е= по следующей схеме: для оценки погрешности приближенного значения х„заметим, что последовательные приближения х„(п=О, 1, 2, ...) в силУ отрицательности второй производной у"(х) монотонно убывают, причем г(х„) < О. Поэтому можно принять х„ < $ < х„, где х„ Злт значение из интервала (л, †) такое, что ~'(х„) ) О. Значе- й ей "й Т...й й, Р -й, *) Конечно, можно было бы взять х„=л, но зто невыгодно, так нак ь" (л) = О.
5 В. П, деннловнч н И. А. мерен 130 ллгеаРлнческие и тРлнсцендентные РРлвнения [Гл. 1у полагая приближенно хз = 4,49340 = агс 257'27'12', будем иметь: ,7 (ха) = а!и 257'27'12" — 4,49340.соз 257'27'12" = = — 0,97612+ 4,49340 0,21724 = = — 0,97612+ 0,97614 = + 0,00002. Следовательно, х, выбрано правильно и 4,49340 < ~ < 4,49343. Можно положить $ = 4,4934, где все знаки верные.
Оценку погрешности значения х нетрудно провести более точно. Так как при х ~ (хю хД производная 7г'(х) убывает иу'(х) < О, то и, = пп'и ( г' (х) ! = ) 1" (х,) ! . Отсюда лгг = 4,49340. 0,97612 ) 4 и, следовательно, ! — ха!( 4' = — '(1О '. 1 Д (ха) ! 0,00003 Таким образом, Я=4,49343 — 0,00001 6, где 0(6 < 1.
При мер 3. Рассмотрим уравРнс. 21. г'(х) = О, (10) |де у'"(х) непрерывна и сохраняет постоянный знак при — оо<л<+со. В силу теоремы Ролля уравнение (10) не может иметь более двух действнтельнык корней. Отметим два важнык для практики случая. 1. Пусть 7(х,)7'(х ) < О, 7'(ха)7""(х) < 0 (рис. 21). Тогда уравнение (1О) имеет единственный корень $в интервале (ха, хг), тле 7 (Ла) ха =хо 1(ореиь $ может быть вычислен с заданной точностшо методом Ньютона. видоизмененный метод ньютона й 6) И. Пусть х" (х,)=0, х (х )х" (х) < О. Тогда уравнение (10) имеет два корня $ и $' в интервале ( — оо, +со) (рис. 22).
Преобразуя левую часть уравнения (10) по формуле Тейлора, приближенно имеем: ! х (хо)+х (хо)(х — хо)+ 2 /" (хо)(» — хо) =0 или у(хо)+ У (хо)(х — хо) =О 1 Отсюда для корней $ и $' получаем начальные приближения Г 21 (хо) о $/ / 21(хо) х, х,+ У 1(х) представляющие собой абсциссы точек пересечения параболы У=у'(хо)+ — у (х,) (х — х,)' 1 с осью Ох (рис. 23).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
