Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Дальнейшие уточнения корней могут быть произведены обычным методом Ньютона. Рнс. 22. Рнс. 23. Утверждения 1 и П геометрически очевидны. Строгое доиаза тельство предоставляем провести читателю. й 6. Видоизмененный метод Ньютона Если производная 1"(х) мало изменяется на отрезке )а, о), то в формуле (Э) предыдущего параграфа можно положить: ~( „)=г(.). (1) 5» 132 АлгеВРАические и тРАнсцендентные РРАвнения [гл. РР Отс1ода для корня $ уравнения У(х) = О получаем последовательные приближения х =-х — —," (п=О, 1, ...).
) (г„) и+1 н (2) Геометрически этот способ означает, что мы замением касательные в точках В„[х„, у(х„)[ прямыми, параллельными касательной к крн. вой у=у'(х), в ее фиксированной точке В„[х„у'(ха)) (рис. 24). Формула (1) избавляет нас от необходимости вычислять каждый раз значения производной у'(х„); поэтому эта формула весьма Рнс. 24. полезна, если у'(х„) сложна. Можно доказать, что в предположении постоянства знаков производных у'(х) и у'"(х) последовательные приближения (2) дают сходящийся процесс. й 7. Комбинированный метод Пусть у(а)у'(Ь) ( О, а у'(х) и у'"(х) сохраняют постоянные знаки на отрезке [а, б[.
Соединяя способ пропорциональных частей и метод Ньютона, получаем метод, на каждом этапе которого находим значения по недостатку и значения по избытку точного корня $ уравнения у'(х) = О. Отсюда, в частности, вытекает, что цифры, общие длн х„н х„, обязательно принадлежат точному корню $. Теоретически здесь возможны четыре случая; 1) у'(х) > 0; у'"(х) )0 (рис. 25); 2) у" (х))0; у'(х) ( 0 (рис.
26); 3) у" (х)(0; у=(х))0 (рис. 27); 4) У" (х)(0; У" (х)(0 (рис. 28). Мы ограничимся разбором первого случая. Остальные случаи изучаются аналогично, причем характер вычислений легко понять из 180 кОмБиниРОВАнный метод 5 71 соответствующих чертежей. Заметим, что эти случаи можно свести к первому, если заменить рассматриваемое уравнение 7(х) =- 0 В Рис. 25, Рис.
28. Рис. 27. Рнс. 28. равносильными ему уравнениями: — у'(х) = 0 или ~ 7 ( — х):= О, где г= — х. Итак, пусть у'(х)>0 и ул(х)>0 при а(х~Ь. Полагаем хе = а; ха = Ь и х„= х„— (х„— х„) '); У(х ) 1 (х.) — 7 (х,) х„+„—— х„— " (п=О, 1, 2, ...) л). — — Г" (хл) ° (хл) Из доказанного выше (Я 5 и 6) следует, что х„($(х„ *) На каждом шаге метод хорд применяется к новому отрезку (х„, х„). 134 АлГеБРАические и тРАнсцендентные уРАВнения (Гл. 3т 0(0 — х„(х„— х„.
(2) Вели допустимая абсолютная погрешность приближенного корня х„задана заранее и равна е, то процесс сближения прекращается в тот моиент, когда будет обнаружено, что х„— х„(Б. По окончании процесса за значение корни С лучше всего взять среднее арифметическое полученных последних значений: 2 П р и м е р. Вычислить с точностью до 0,0005 единственный положительный корень уравнения у (х) = ха — х — 0,2 = О. Решение. Так как 7(1)(0 и у(1,1)»0, то корень содержится в интервале (1; 1,1). Имеем: у ' (х) = 5х4 — 1 и 7'" (х) = 20ха. В выбранном нами интервале 7'(х))0; /" (х))0, т.
е. знаки производных сохраняются. Применим комбинированный метод, полагая ха — — 1 и ха- — -1,1. Так как У(хо) =У (1) = — 02; 7(хо) =7(! 1) = 0 3! 05! У' (ха) = У' (1, 1) = 6,3205, то формулы (1) и (1') дают: 1+0510 1,039; х = 1,1 — — 'ж 1,051.
0,1 0,2 — 0,3!051 0,51051 ' ' 4 ' 5,3205 Ввиду того, что х, — х, = 0,012, то точность недостаточная. Находим следующую пару приблинсений: — 0,0313 х, = 1,051 — — ' ж 1,04487. 5,1005 Здесь ха — ха =0,00018, т. е. нужная степень точности достигнута. Можно положить $ = — (1,04469+ 1,04487) = 1,04478 ж 1,045 2 с абсолютной погрешностью, меньшей 0,00018-(- 0,00022 = 0,00031 ( — 10 а. 135 МЕТОД ИТЕРАЦИИ ф 8. Метод итерации Одним из наиболее важных способов численного решении уравнений является метод итерации ").
Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение у'(х) = О, где у'(х) — непрерывная функция, и требуется определить его вещественные корни. Заменим уравнение (1) равносильным уравнением х = ф (х). (2) Выберем каким-либо способом грубо приближенное значение корня хе и подставим его в правую часть уравнения (2). Тогда получим некоторое число х,=ф(х ). (3) Подставляя теперь в правую часть равенства (3) вместо хе число хм получим новое число хе=ф(х,). Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел х„=ф(х„т) (а=1, 2, ...). (4) Если эта последовательность — сходящаяся, т. е.
существует предел $= 1ппх„, то, переходя к пределу в равенстве (4) и пред» а полагая функцию ф(х) непрерывной, найдем: 1цп х„=ф(!Цпх„,) илп (5) Таким образом, предел ~ является корнем уравнения (2) и может быть вычислен по формуле (4) с любой степенью точности. Геометрически способ итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости хОу графики функций у = х и у = ф (х). Каждый действительный корень с уравнения (2) является абсциссой точки пересечения М кривой у=ф(х) с прямой у =х (рис. 29). Отправляясь от некоторой точки А»[ха; ф(хе)), строим ломаную линию А»В,А,В,.4,... (елестница»), звенья которой попеременнопараллельны оси Ох и оси Оу, вершины А, А, Аа, ...
лежат на ~ризой у = ф(х), а вершины В, В, Вз, ... — на прямойу=х. Общие абсциссы точек А, и В„А, и В, ..., очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х„ хю ... корня $. *) Часто метод итерации называют методом послед»анеле»ьнмх арибеи. жени й. 136 Алгквгкнчзския н тгкнсцендентныв угквненив (гл. <у Возможен также (рис. 30) другой внд ломаной А»В»А»В»А»... (кспнраль»). Легко сообразить, что решение в виде «лестницы» получается, если производная <р'(х) положительна, а решение в виде кспирали», если <р'(х) отрицательна. Рис. 29.
На рис. 29 кривая у =<р(х) в окрестности корня 9 — пологая, т. е. )<р'(х)) (1, н процесс итерации сходится. Однако, если рас- Рнс. 30. смотреть случай, где )<р'(х) ()1, то процесс итерации может быть расходящимся (рис. 31). Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса. Т е о р е м з 1.
Пусть функция <р(х) определена и дифференцируема на отрезке (а, Ь), причем есе ее значения <р(х) Е(а, Ь). 187 ф 8) метод нткгкцни Тогда, если существует правильная дробь о такая *), что (!р'(х) ) (у<! (6) при а < х < Ь, то: 1) процесс итерации х„ = гр(х„ ,) (и = 1, 2, ...) (7) сходится независимо от начального значения хь Е )а, Ь~; 2) предельное значение $= 1пп х„ У является единственньин корнем урав- х= <р(х) (8) на отрезке (а, Ь1. Док аз а тел ь ство.
Рассмотрим два последовательных приближения х„=гр(х„,) и х„чд —— !р(х„) (которые в силу условий теоремы заведомо имеют смысл). Отсюда х„+, — х„= !р (х„) — гр (х„,), Применяя теорему Лагранжа, будем иметь: Рис. 3!. х„+, — х„= (х„— х„,) !р' (х„), где х„б(х„„х„). Следовательно, на основании условия (6) получим: ) х„,— х„)~д)х„— х„,). (9) Отсюдз, давая значения п=1, 2, 3, ..., последовательно выводим: )хз — х,(~у)х! — х 1; (гз хз!~ч!хв хг(~Ч !хг хь)! (10) ) х„+, — х„) ( у" ( х, — х, (. Рассмотрим ряд х, -(-(х, — х,) -)-(х, — х,) + ...
+ (х„ — х„ ,) + (1 1) для которого наши последовательные приближения х„ являютси (и + 1)-ми частными суммами, т. е. х„= 5„„. *) За число д можно принять наименьшее значение или нижнюю грань модуля производной (~р'(х) ( при ам х~ь. 138 ллгввгличвскив и тглнсцвндвнтныв зглвнвния (гл. ш В силу неравенства (1О) члены ряда (11) по абсолютной величине меньше соответствующих членов геометрической прогрессии со знаменателем д < 1, позтому ряд (11) сходится и притом абсолютно. Следовательно, существует )цп 5„+, — )пп х„= $, причем, очевидно, $ Е [а, Ь).
Переходя к пределу в равенстве (7), в силу непрерывности функции <р(х) получаем: 5=ч6). (12) Таким образом, $ есть корень уравнения (8). Другого корнв на отрезке [а, Ь) уравнение (8) не имеет. Действительно, если ь=ф(ь) (13) то из равенств (12) и (13) получим: й — й=ч (й) — р(В) и, следовательно, ($ — $) [1 — ~р' (с)) = О, (14) где сЕ[еыЦ.
Так как выражение в квадратной скобке в равенстве (14) не равно нулю, то $=$, т. е. корень я — единственный. 3 а м е ч а н и е 1. Теорема остается верной, если функция ~р(х) определена и дифференцируема в бесконечном интервале — оо ( ( х (+ по, причем прн хЕ ( — оо, + оо) выполнено неравенство (6). 3 а м е ч а н и е 2. В условиях теоремы 1 метод итерации сходится при любом выборе начальноео значения ха из [а, Ь).
Благодаря атому он является самоислравляюи(имся, т. е. отдельная ошибкз в вычислениях, не выводящая за пределы отрезка [а, Ь), не повлияет на конечный результат, так как ошибочное значение можно рассматривать как новое начальное значение х . Возможно, возрастет лишь объем работы. Свойство самоисправления делает метод итерации одним из надежнейших методов вычислений. Само собой разумеется, что систематические ошибки при применении етого метода могут помешать получению нужного результата. Оценка приближения. Из формулы (10) имеем: ... +(г")х,— х ) =а")х,— ха)(1+д+да+... +в" ') Просуммировав геометрическую прогрессию, получим: 4Р л !Хл+Р «л)~Ч )Хт Ха[ 1 < 1 )Хт — Ха(.
189 метод итвглции 9 8) Устремляя число р к бесконечности и учитывая, что 1ппх =$, а находим окончательно: ~$ — х„~ и — )хд — х ). (15) Отсюда ясно, что сходимость процесса итерации будет тем быстрее, чем меньше число у. Для оценки приближения можно также дать другую формулу, полезную в некоторых случаях. Пусть у'(х) = х — <р (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
