Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(8) где Е„Е, ..., ń— малые по модулю величины по сравнению с единицей. Пренебрегая в равенствах (4) величинами Еь (й = 1, 2,..., л), будем иметь приближенные соотношения 178 спзциальныв пгиемы гешвния ллгввгхнчвских хе»знаний [гл. ч Если корни уравнении (1), которые мы считаем расположенными в порядке убывания модулей, являются различными по модулю, то корни уравнения (7) при достаточно большой степени и будут отделенными, так как — — 0 прн л» вЂ” оо. у» ух У»„г ( х»») Например, пусть х,=2; х,=1,5; х =1. При т = 100 будем иметь: у, = 1,27.
10»о. у 4 06' 1Оы' у» = 1 н, следовательно, — ~=3,2 ° 10-»». Ж вЂ” 2 5.10-~» У~ Ун Обычно в качестве показателя л» берут степень числа 2, т.е. полагают л»= 2г, где р †натуральн число, а само преобразование производят в р приемов, каждый раз составляя уравнение, корнями которого являются квадраты корней предшествующего уравнения. Приближенно вычислив корни у» (в= 1, 2, ..., и), из формул (8) можно определить и корни исходного уравнения (1). Точность вычислений зависит от того, насколько малым является отношение модулей соседних корней преобразованного уравнения. Идея этого метода вычисления корней принадлежит Лобачевскому, практически удобная схема вычислений была предложена Греффе.
Достоинством метода Лобачевского — Греффе является то, что при применении этого метода нет необходимости изолировать корни. Нужно лишь избавиться от кратных корней с помощью приема, указанного в $ 1. Само вычисление корней ведется однообразным регулярным способом. Как мы увидим далее, метод годится также и для нахождения комплексных корней. Неудобство метода состоит в необходимости оперирования с большими числами. Кроме того, отсутствует достаточно надежный контроль вычислений и затруднена оценка точности полученного результата.
Заметим, что если корни уравнения (1) различны, но модули некоторых из них близки между собой, то сходимость метода Лобачевского — Греффе весьма медленная. В этом случае такие хорик следует рассматривать как равные по модулю н применять специальные приемы вычисления.
8 8. Процесс квадрироввиия корней Покажем теперь, как можно просто составить уравнение, корнями которого являются квадраты корней данного алгебраического уравнения, взятые со знаком минус. Последнее обстоятельство вызывается соображенинми удобства, чтобы по возможности избежать появлении 179 9 8) ПРОЦЕСС КВЛДРНРОВЛННЯ КОРНЕЙ отрицательных коэффициентов. Процесс перехода от корней х» (а=1, 2, ..., л) к корням для краткости будем называть каадрированиеи корней.
Пусть Р(х]:— а к" +а,х" '+... +а,=Π— данное уравнение, где «в ф О. Обозначая через х„ х, ..., х„ корни этого уравнения, будем иметь: Р (х) = а, (х — х»] (х — хв) ... (х — х„). Отсюда Р( — х)=( — 1)"а,(х+х,)(х+х,)... (х+х„). Следовательно, Р(х) Р( — х) = ( — 1)" а, '(х' — хв) (хв — хв)... (хв хв). (2) Полагая у= — хв, в силу формулы (2) получим полинам корнями которого являются числа у» — — — хв» (Й='1, 2, ..., л]. Так как Р( — х) = ( — П" (а»хи — а х" »+ а,х" ' —...
+ ( — 1)иа„), то, производя перемножение полиномов Р(х) и Р( — х), будем иметь: Р(х)Р( — х)=( — 1)" (авх™ — (а',— 2«вав]хв '-(- +(а',— 2а,а +2«ва,)х "—...+( — 1)"ай). Следовательно, интересующее нас уравнение есть а(у)=А,у"+А у" +А,у" +... +А,=О, где А»=а'„ и А,=а,— 2а,а„ А» = а, '— 2а,а»+ 2«ваю 180 специальные пгиимы гешвния алгвнгкичвских эгхвняний (гл. и Короче можно записать: Ф Аэ — — а'+2 Х (-1)'а,,а,, (й=О, 1, 2, ..., и), 3 1 где предполагается а,=О при з(0 и з) и. П р а в и л о.
1Ури квадрировании корней каждый коэффицигнт преобразованного уравнения равен квадрату прежнего коэффициента, минус удвоенное произведение соседних с ним коэффициентов, плюс удвоенное произведение следуюи)ик в порядке близости коэффициентов и т. д., причем если нужный коэффициент отсутствует, то он считается равным нулю. 9 9. Метод Лобачевского в Греффе для случая действительных различных корней Пусть корни хы х, ..., х„ уравнения и-й степени с действительными коэффициентами а,х" +ахх" '+...
+а„=О действительны и различны по модулю. Расположим их в порядке убывания модулей: )х,) ) )ха) » ... (х„). Последовательно применяя процесс квадрирования корней, составляем уравнение б,у" + б,у"- +... +б„= О, (2) корнями которого служат числа у„= — л (1=1, 2, ..., л). Если р достаточно велико, то корни у„ уа, ..., у„ являются отделенными и на основании результатов $ 7 могут быть определены из цепи линейных уравнений Рак,+б,=О, бьУ,+Р,=О, б„,у„+ в„= О. Отсюда получаем: тэ л ха=~'у' — уэ — — )/ —" (А=1, 2, ..., и); (4) э-1 знаки корней хэ определяются грубой прикидкой, при подстановке в данное уравнение, или на основании соотношений между корнями и коэффициентами уравнений. Процесс квадрирования корней обычно а 0] метод ловачввского — ггзевв для газличных ко»най 18! продолжается до тех пор, пока удвоенные произведения не перестанут влиять на первые главные члены коэффициентов преобразованного уравнения.
П р а в и л о. Процесс квадрирования корней следует прекратить, если коэффициенты некоторого преобразованного уравнения в пределах точности вьгчислений равны квадратам соответствующих коэффициентов последующего преобразованного уравнения за счет отсутствия удвоенных произведений. Действительно, если преобразованное уравнение, соответствующее степени 2»+', имеет вид сьг" +с г" г+...
+с„=О и выполнены соотношения сь=д~ь (й=О, 1, 2,, и), то, очевидно, получаем: Таким образом, при этих обстоятельствах мы не сможем увеличить точность вычисления корней. Так как при применении метода Лобачевского в Греффе коэффициенты преобргзованных уравнений, вообще говоря, быстро растут, то полезно выделять порядки их, записывая коэффициенты в стандартной форме сс.10, где (а( < 10 и пь †цел число. При вычислениях, требующих большой точности, выгодно пользоваться логарифмами (см. Я). П р и и е р. Методом Лобачевского — Греффе найти корни уравнения хз — Зх+1=0.
(5) Решение. Результаты вычислений с четырьмя значащими цифрами помещены в таблице 8. Останавливаясь на 64-й степени корней, будем иметь: — хь'+3,445 1О" =О, — 3,445 ° 10гт х~ь~+2 486 !Озь 0 — 2,486 10ьь х," + 1 = О. Отсюда х = ~ ~Ь/ 3,445 ° 10гт, ьй Г2,488 3,445 ьь хз ~ г 4вь' 10 8 10) матах ловлчввского — ггнеев для комплвксных когнвй 183 положительных корня в), причем (6) «т + хв + х„= О. Поэтому наибольшим по модулю должен быть отрицательный ко- рень, и мы окончательно имеем: х = — 1,879; х, = 1,532; х = 0,347; причем соотношение (6) выполнено в пределах заданной точности.
Лля сравнения приводим точные значения корней, полученные по формуле Кардана: х = 2 соз 160' = — 1,87938; хх = 2 соз 40' = 1,53208; хв = 2 соз 80' = 0,34730. Заметим, что в нашем случае вычисление корней несколько упростилось благодаря тому, что крайние коэффициенты уравнения равны 1. Вообще, при применении метода Лобачевского †Греф рекомендуется предварительно преобразовывать уравнение так, чтобы старший коэффициент уравнения был равен 1, а свободный член уравнения был равен 1-1 (см. 15]). й 10.
Метод Лобачевского — Греффе для случая комплексных корней Обобщим теперь понятие отделения корней. Пусть корни х, ха, ..., х„ уравнения а,х" +а,х" '+... +а„=О удовлетворяют условиям )х,) ~)хв))... )(х„()))х„+,(~)х„„) ~... «(х„). (2) Иными словаии, предполагается, что корни уравнения (1) можно разбить на две категории (группы): х„х„..., х„(лг ( и) хэых+в, ...,х„, ") Мы учитываем, что уравнение Р(к)ввхв — эх+1=0 имеет положи тельные корни, так каи Р(0) В 0 н Р(1) < О.
184 спвцилльныв пгивмы вешания алгввгличвскил кглвненнй (гл. т так, что модули корней первой категории весьма велики по сравнению с модулями корней второй категории (см. рис. 45, где корни содержатся в заштрихованных областях, а внутренность незаштрихованного кругового кольца свободна от корней †«зона пустыни»). Выпишем первые л1 соотношений между корнями и коэффициентами уравнения (1): х,+х,+...+х + + (Ха „+ ..: + Х„) ал — — ' "о Х1Х,+Х,Х +...
+Ха,Ха+ +(хах +,+... +х„,х„)= — ', ил Х1Х ... + (Х1Х ... 1Х +1+... ...+х„,х„а+,...х,) = ( — 1) йл Рис. 45. Пренебрегая в последник равенствах взятыми в скобки относи- тельно малыми по модулю членами, получим приближенные соотно- шения О~ лл Х»Х» Ха ( 1) тат ле Отсюда следует, что корни х,, х„...,х первойкатегории(с большйми модуляии) приближенно являются корнями уравнения а. +а,х '+...+па=О.
(4) х,х ...х (ха+,+х +,+...+х„)+ +хтха...ха+1хаа»+ ' ' ' +ха-ахл-а+1', .хл =( — 1) +1 — +', лл Х1Х»...Ха (Ха+1Ха+1+... +Хл-1Хл)+ХЕХ». ' Хт+1Ха+«Ха+«+... ло х,х ...хаха ...х„=( — 1)" — ' и« Из оставшихся неиспользованных и — гв соотношений между корнями и козффициентами.уравнения (1) получаем: 8 1О) мвтод ловлчввского — ггавэа для комплексных ксений 185 Отбрасывая в последних равенствах относительно малые по модулю члены, будем иметь приближенные соотношения хх ...х (х + +х +...+х„)=( — 1)'+а~ +г, ае х,х,...х х„+ ...х„=( — 1)" —" . аа Отсюда, используя последнее соотношение в формулах (3), находим: а, +а х +,х +,+...
+х„х„=— (5) ае Следовательно, корни х„+„ х„+, ..., х„ второй категории (с ма- лыми модулями) приближенно являются корнями уравнения а„х" +а„тх" " '+... +а„=О. (6) Таким образом, в наших условиях уравнение (1) распадается на два уравнения более низких степеней, каждое из которых приближенно определяет корни, принадлежащие одной из категорий. Рассуждая по аналогии, заключаем, что если корни уравнения (1) могут быть разбиты на р категорий х„х, ...,х,; хш,+ы Аи,+ЗФ ° ° ~ х,а,1 хит ~фы хпйа 1+ю ! 'О3р х (лг,+гла+... +гир — — л), так что выполнено условие ) х, !» ( х, !»... ==: ( хгч ) >) ! х„, +, (» ( хан+, ! р»... =з ) х„, ( >) >))х „,+, );.-м(х ~,+,) ~...~(х,(, е.
модули корней, принадлежащих более низким категориям, значительно превышают модули корней, принадлежащих более высоким категориям (можно сказать, что втн корни являются отделенными 186 спхцнлльныв пгиемы гншнния ллгвнеличвских анлвниннй [тл. т в групповом смысле), то корни каждой категории приближенно могут быть определены из соответствующих уравнений «ех"'~ + а,х"' -'+... + а, = О, ай,+и,+... +Яр;~ г+«Ф,+и,+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
