Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 30
Текст из файла (страница 30)
л Э 41 маток л. н. кгыловл для тгигономвтгичаскнх гадов етгьв 213 Но так как е„ и Ь =— и лт~ е„ а =-— д лЯ то коэффициенты Фурье а„и Ь„функции г"(х) являются бесконечно 1 малыми более высокого порядка по сравнению с —: пи а„=о( — ), Ь„=о( — „). Этот результат был положен А. Н. Крыловым в основу метала улучшения сходимости рядов Фурье. Замечание. Вели уч >(х) удовлетворяет условиям теоремы сходимости, то легко доказать, что а„О( — „) и а„=О( — „). В этом случае для коэффициентов Фурье функции((х) получается лучшая оценка: а„=О~-м~) и Ь„=-О~ — „„). 2 4. Улучшение сходнмости тригонометрических рядов Фурье методом А. Н.
Крылова Пусть функция у'(х) на отрезке ( — и,п) кусочно непрерывна н имеет кусочно непрерывные производные уч>>(х) (1 = 1, 2, , л>) до >и-го порядка включительно. Тогда в силу теоремы сходимости ($ 3) функцию у'(х) во всех ее точках непрерывности можно представить тригонометрическим рядом Фурье у (х) = — '+ ~, (а„соз пх + Ь„з! п пх), а-1 где а„и ܄— коэффициенты Фурье, опрелеляемые формулами (2) н (2') из и 3. В общем случае коэффициенты а„и Ь„ряда (1) медленно стремятся к нулю, и практически пользоааться этим рядом затруднительно, а тем более недопустимо почлеино дифференцировать ряд (1), что бывает нужно при решении некоторых залач, а частности при применении метода Фурье. Идея метода А.
Н. Крылова 18] состоит в том, что из функ«ии у'(х) выделяется элементарная функция К(х)(обычно представляющая собой кусочно полиномиальную функцию), ииеющая те же Разрывы, что и функция у'(х), причем ее производные К>'(х) (1=1, [гл. тт глгчшанив пкодимости гидов Рнс. 46. бом построим на отрезке [ — 2п, 2п] последовательность функций ое(х), п,(х), ..., о„(х), обладающих следующим свойством: па~ ~ (+ 0) — па~ ~ ( — 0) = и (3) (и=О, 1, 2, „гл), причем такнх, что производные па~о(х) (у=О, 1, ..., й — 1) непрерывны на отрезке 1 — 2п, 2п].
Функцию и (х) определим следующим образом: 2 при — 2п < х < О, и (х)= (4) при 0(х(2п, при х= — 2п, О, 2п. 2 0 2, ..., ш) до ш-го порядка включительно обладают такими же разрывами, как н соответствующие производные /'П(х) данной функции у'(х), н, сверх того, такая, что ~гб ( — и + 0) — й"' ( — и + 0) = =ую(п — 0) — у<6(п — 0) (1=0, 1, 2, ..., т). В таком случае разность ~р (х) = у(х) — й (х) будет принадлежать классу периодичности С' '.
Обозначая через а„и [)„(и=О, 1, 2, ...) коэффициенты Фурье функции ю(х), получим: у(х) =*«(х)+ — '+а а (и„созлх+р„з1плх), (2) а=1 где а„и р,— бесконечно малые при л — оо порядка выше, чем и, 1 относительно —, т. е. ряд (2) будет, вообще говоря, быстро сходящимся. Этот ряд можно дифференцировать почленно по меньшей мере гл — 2 раза. Покажем, как по заданной функции у(х) практически строится вспомогательная функция д(х) 19]. Для этого рекуррентным спосо- 2 4) метод а. н. кгылова для тгигонометгических гидов егвье 215 Ее график изображен на рис. 46. Эта функция нечетная', поэтому ее рнд Фурье содержит только синусы кратных дуг; а~(х) = ~ д»„з1пих, В=д Следовательно, (5) Очевидно, что функция о (х) имеет разрыв в точке х=0 со скач- ком, равным ян о~(+ 0) — оо( — 0) = 2 — ( — — =и. 2/ Поэтому функция д(» (х) = о, (х — х,) ( — и *о- х ~ и; — и = х ~ и) имеет в точке хо такой же скачок, как и функция оо(х): ф(хо+0) — ф(хо — 0) =и, причем точка разрыва †единственн на отрезке ( — и, и).
Функцию о,(х) определим формулой ад (х) = сд + ~ оо (х) д(х, о (6)' где сд †некотор постоянная. Интегрируя почленно ряд (5), получим: о (х)=с +~ ~'„, — д(х=с + ~', — — ~~» †. (7) о л=д л=д Постоянную с подберем так, чтобы свободный член ряда (7) был равен нулю с +~„лов=О. 1 где 2 Рп-х . до= — ~ — а1п пх с(х= — я.) о 1 à — — ) сов их д(х ол ) о = — 11 — — — з1пих~ ~ =— н ~2л 2ло (о( л 216 [гл. тд ялхчшянии сходимости гядов Отсюда с,= — ~ 1 ло ' о 1 чо 1 Рял ~ —,, очевидно, является свободным членом ряда Фурье о=д фуикции ) оо(х)4х.
Отсюда, пользуясь формулой (4), имеем: о л х л ~'-'--'1""1""""= — '.) Ь вЂ” '" "'1 "хл=д о о Позтому ио с = —— б Следовательно, %~ сохло пд(х)= — ~ о р (8) причем и — х ло по (и — х)о — Их —— 2 б 12 4 о Г и+х ло ло (л+ х)о — — Нх — — =— 3 2 б 12 о при 0 (х~2п, п,(х) = при — 2п ~ х и', О. Рис 47. имеет разрыв в точке х= О, причем и,(+ 0) — и, ( — 0) =дг. График функции и (х) изображен на ряс.
47. функция пд(х) непрерывна иа отрезке ( — 2п, 2п), но ее производиаи п,(х) =о,(х) $4) метод А. н. кРылОВА для тоигономнтгичнскик Рядов екеьз 217 Таким >ке образом определяются функции к и, (х) = ) о((х) «х+ео; о к по (х) = ) о (х) «х + с; о п„(.к) = ~ и„> (х) «х+ е, о где произвольные постоянные с, с, ..., с подбираются так, чтобы свободный член соответствующего ряда фурье был равен нулю, т. е.
постоянные со (й= 1, 2, ..., и>) последовательно находятся яз условяй нг к (~оо(„,< >к ~к»=о. о о Функции и (х) (й=1, 2;..., >и) и все производные до (й — 1)-го порядка включительно непрерывны на отрезке ( — 2п, 2ж]. При атом, так как п<(о'(х)=а,(х), то и)" > (+ О) — п<о ' ( — О) = и (й = 1, 2, ..., и>), т.
е. производная 7<-го порядка функции о„(х) имеет разрыв при х = 0 со скачком и. Отсюда следует, что функция фо (х) = = о„(х — хо) (-и ~ х ( >т), полученная сдвигом функции оо (х), имеет разрыв лишь й-й производной в точке х=хо: кто (хо+ 0) <(>о (хо 0) — >т Пусть теперь х,, х,, „ х~, — точки разрыва у(х); х,, х,, ..., хо, — точки разрыва у'(х); (<> (<> <>> х,, х,, ..., хо — точки разрыва у< >(х), (м> (м> <оо> Ю пРичем некоторые из этих точек могут повторяться. Для соответствующих скачков функции и ее производных введем обозначения у'о (х<о+ о) — у<о (хп'- о) = й~о (1=0, 1, ..., Л>; /=1, 2, ..., й<). 210 [гл. щ улучшении сходнмостн Рядов Определим функцию и(х) (функ((ия скачков) формулой >=ьа ь(ю в=ь1 ь(>> К (х) = ~~' — „ов (х — х,'") + ~ — „о, (х — х,"') + >=ьщ а(т> + ~, и о„,(х — х5 ). (9) Функция и(х) обладает следующими свойствами: 1) в точках х(", х('>, ..., хь(",> функция и(х) имеет разрывы, причем скачки ее в этих точках равны скачкам функции г'(х) в соответствующих точкак: а(е> к(х(>1>+О) — я(х5'> — О)= ~ [о (х(-х(+О) — а (х(-х( — О)) ь5ю .>1 = — л =Ь( 2) производная й((>(х) (1=1, 2, ..., >и) разрывна в точках х7', х(", ..., х5(>, причем й'" (х5 '+ 0) — й(» (х50 — 0) = а(й «и = — „' ~о((х5" — хи'+о) — а, (х5" — хк' — ОЯ= — „л=й,'", т.
е. К(б (ху+ 0) — к(" (ху — 0) = у(" (ху+ 0) — у(" (ху- 0); 3) при «~х((> функция а'(х) имеет непрерывные производные всех порядков. Пусть (р (х) = у(х) — к(х). (10) В силу первого н второго свойств следует, что ф(л(х((~>+ 0) (р(л(х((> 0) 0 (1=0, 1, 2,, л>) т. е.
ф (х) Е с'">[ — л, л). Таким образом, для разложения функции у'(х) можно воспользоваться быстро сходящимся рядом Фурье (2). Заметим, что, й (х х(в)) в(п о (х — х,'")=~' й=1 о,(х — х,")= — х (1) й 1 ОЭ (в) о,(х — х, )= — ~ й 1 сов л (х — х<1)) в!и й (х — х(,')) лв 9 4) мятод л. н. кгыловл для тгигономвтгичвскнл гядов етгьв 219 пользуясь разложениями легко написать разложение в ряд Фурье функции п(х).
В итоге мы получим, что ряд Фурье функции г"(х) состоит: а) из медленно сходящейся части, злементарно суммирующейся к функции д(х), и б) из быстро сходящегося остатка, представляющего ряд Фурье функции <р(х) ЕС'"'( — л, л~. Замечание. Если на концах отрезка ( — л, л1 предельные значения функции у(х) или ее производных у'(х)... „утв) (х) ()в(лв) не совпадают между собой, т.
е. У<()( — +О)Ч~У<1 (л — О) ()=О, 1, 2, ..., й), то точки х= — л и х=л следует считать точками разрыва функции у(х) или соответственно производнык Г< '(х). Предполагая, что функция У(х) периодически продолжена за пределы отрезка ( — л, л) с периодом 2л, получаем, что скачок производных в точках х = — л и х = л один и тот же и равен Ь<1) = /<" ( — л+ О) — у<п (л — О).
В силу периодичности функции о,(х) имеем: о,(х+л) =о,(х — л), причем функция о( (х+л) на отрезке ( — л, л~ допускает две точки (и разрыва (х= — л и х=л) с одним и тем же скачком, равным л. Поэтому в формулу (9) нужно включить только одну концевую точку, например х= — л. В самом деле, на основании формулы (9) скачок производной й"" (х) в точке х = — л равен ли) 1)( л+О) л(п( л О) " (о<('(+О) — о(п( — О)1=в<" В силу периодичности д<" (х) эта производная имеет тот же скачок и при х= л.
Следовательно, при составлении разности ~'(х) — е(х) = <р(х), где уятена лишь точка х = — л, снимается разрыв 1-й производной функции (р(Х) как в точке х = — л, так и в точке х = л. (гл. ш 220 клячшяния скодимости гадов ха+1 при — и<х<0, у(х) = х' при 0<х<м. Р е ш е и и е. На отрезке ~ — и, и) функция у'(х) в силу замечания имеет точки разрыва: х = — и; х, = 0; ха =гс. Вычисляя коэффициенты Фурье, получим: 2 — — при п нечетном; Ь= пл л 0 при и четном. 2па пе — — 1+ — 1 3 и„=- —, ( — 1); л. Следовательно, ряд Фурье функции у'(х) имеет вид у(х)= 2+ — +4 '), сових — — ) —, з!п(2Ь+1)х.
(11) ,а " ( 1)л л1 а=о У11 Сходимость ряда (11) — плохая, так как коэффициенты Ь„= 0 ~ — ) убывают медленно. Из функции / (х) выделим функцию скачков я(х) так, чтобы ~р(х)=[у(х) — Ь'(х)) ЕС'"'~ — и, и). Рнс. 48б. Рнс. 48а. Подсчитаем скачки Ь1' нулевого рода в точках ху(/=1, 2, 3): он Ь', ~=У( — и+0) — У(и — 0)=(ма+1) — ма= 1; Ь" ,= У(+ 0) — /( — 0) =0 — 1= — 1, Ь',"- Ь',"-1. Пример. Методом А. Н. Нрылова улучшить сяодимость рида Фурье функции (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
