Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Если А н  — матрицы, для которых операции А+В и АВ имеют смысл, то: а) (А+В!()А!+!В!; б) (АВ!()А! !В!; в) )ссА)=!а(!А! (са — число). В частности, получаем: ! А' ! ( ! А )в (р †натуральн число). Под нормой матрицы А= [а;Д понимается действительное число ))А(), удовлетворяющее условиям: а) ))А(! ~ О, причем ))А!) = О тогда и только тогда, когда А = О; б) !)аА!) = )сс ! ))А(! (а-число) н, в частности, )! — А)! = ()А)); в) ))А+В(! ()(А()+ ((В(); г) ))АВ!! ( ((А)! ° !)В!) лвсолютная ввличина и ногма матгицы 239 ф 71 (А и В-матрицы, для которых соответствующие операции имеют смысл). В частности, для квадратной матрицы имеем: ЦАрЦ н ЦАЦл, где р — натуральное число.
Отметим еще одно важное неравенство между нормами матрпц А и В одинакового типа, Применяя условие в), будем иметь: ЦВЦ = ЦА+( — А)Ц» ЦАЦ+ Ц — АЦ. Отсюда ЦА — ВЦ = Ц — АЦ ) ЦВЦ вЂ” ЦАЦ. Аналогично ЦА — ВЦ ~ ЦАЦ вЂ” ЦВЦ. Следовательно, ЦА — ВЦ = ! ЦВЦ вЂ” ЦАЦ ! ° Назовем норму канонической, если дополнительно выполнены условия: д) если А=(аД, то (аг (:з ЦАЦ, причем для скалярной матрицы А=)ада] имеем ЦАЦ =! аз (; е) из неравенства (А(~ (В((А и  — матрицы) следует неравенство ЦАЦ ( ЦВЦ.
В частности, ЦАЦ=Ц!А!Ц. В дальнейшем для матрицы А = (аД произвольного типа мы будем рассматривать главным образом трй легко вычисляемые нормы: 1) ЦАЦ = вах ~ ! аг ! (ла-норма) / 2) ЦАЦ,=вах~~'.,)а, ! (1-норма); з 3) ЦАЦа=.)у Д)а; !а (й-норма). П р и м е р. Пусть ,4= 4 5 6 Имеем: ЦАЦ =щах(1+2+3, 4+5+6, 7+8+9)=щах (6, 15, 24)=24; ЦАЦз =щах(1+4+7, 2)-5+-8, 3+6+9) =пзах (12, 15, 18) =18; ЦАЦа = )У1з + 2а -+ За + 4з + 5а+ ба,+ 7а + 8з + 9а )' 1+4+9+ 16-(-25+36+49+64+81 =Р~ 285 ж 16,9.
240 [гл. Ем АЛГЕБРА МАТРИЦ В частности, для вектора Ха х, втн нормы имеют следующие значения; ))хЦ = шах]х;]; с ЦхЦс=-]ха]+]ха]+... +]х„]; Цх]]„=]х]=]сс]ха]а+] х,]а+... +] х„]а ]абсолютная величина вектора]. Если компоненты вектора действительны, то имеем просто )]хЦЛ вЂ” — ]с х,'+х,'+... +х'„.
Для норм )]АЦ, ]]АЦ, и ]]А]]а проверим выполнение условий а) — г). Непосредственно очевидно, что условия а) и б) выполняются. Удостоверимся, что для атих норм выполнено условие в]. Пусть А=[ос|1 и В=)Ьс|~, причем матрицы А и  — одинаковых типов.
Имеем: ЦА+ВЦ = шах ~чР~] ос|+ Ьс|] ~ шах ~~~Р~] ас|]+,'~',] Ьс| (~ ( с Г !с (снах ч',] ас ]+шак~ч,'] Ьс|] = ЦАЦ + ЦВ~],„. с с с Аналогично ЦА+ В)]с ( ]]А]] с+ ]]ВЦс. Далее, ЦА+В1]а — ус ч,] ац+ бы]з ( ( ~/ Д ] а; . )а + ~~5, Применяя известное неравенство Коши ") Д] ас| ] ] Ьс ] = ус ~ ] ас ]а ~/ ~чР ~] Ьс ]а, 5) Приведем доказательство неравенства Коши ! н Са и и ~~,'ааа ~ ( ~Ч, '] а )а ~] Ь ]', 5=) 5=1 5=1 241 АБСОЛЮТНАЯ ВВЛНЧННА Н НОРМА МАТРИЦЫ будем иметь: ((А+В(( ~~/Д) а! )з+~||~,'(Ь |~'=((А() +((В(! . Таким образом, для всех трех норм условие в) выполнено. Проверим теперь выполнение условия г). Пусть матрица А = (а! ) типа гл' х л, а матрица В=- (Ь!|] типа лл" ~с л".
Для возможности перемножения первой матрицы на вторую необходимо, чтобы ллв =. и', причем матрица АВ будет иметь тип лл'Хл". Имеем: л" ) л' !!вв!.— .* 2) 2 н „(л !л! Влл ( л" л' ! |=1 1=1 л л" --*(Х!,.!Х!вв!) л л' 1=1 л' =плах~ ~ (огв( ° ((В() = ((А)(л ((В(( где а, н Ь, (1=1, 2, ..., Н) — произвольные комплексные числа.
Пусть )л — действительная переменная. Рассмотрим очевидное неравенства ~~~~ (авь+Ь,емв(')О, где !Рв — некоторые действительные числа. Обозначая через ав и Ь чн,ла, сопряженные с ав и Ь, будем иметь: 1авх+ Ь,в!", (з= (авл+ Ь,еы ) (лв)в+Ьвз "в) = = авлвХ1+(авЬгз !Рв+а Ьвзт ) )л+Ьвзв=(ав(1)вв+2йе (авЬвз гт!) Х+,'ов(а. Отсюда неравенство (лр) примет вид л л л Аа ~ ) а (а+ 2Х ~»', ме (а Ь,е г! !) + ж ~ Ьа (' ) О. 1=1 1=1 вл! Если положить !рв агх (авЬв), то КЕ(а Ь,з !Рв) ОЕ ((а Ь (а!а!я!аль!! З ! ага!лвл„!) =Ке ((а Ь () =(авбв(=! авЬа( ллгевга м*тгиц 242 (ГЛ, Ч/1 Аналогично 5$' ! Л' !!АВ)), = вах ~~~~~~ ~~'.< а/5Ь$у ~ ( 5$' а' ~вах ~,Я~ ~ <аы! <Ь,/! / 1=1 $=1 ( л' 5$' = щах ~ ~ч'„,(Ь,у! ~! а„! /,5-1 С 1 л' = щах ~ ~ ! Ьсу! ° !!А!!с / $=1 5' = !!А!!с вах ~~"., <Ь,у <=!!А!(, !!В!!с $=1 Далее, !!АВ!!ь = и, следовательно, Хз ~ ! а, !5+2/$,т,' ! а Ь, !+ ~Ч~~~ ! Ь, !5~0.
$=1 Так как левая часть последнего неравенства в силу исходного неравенства (/К) неотрицательна при любых вещественных Х, то соответствующее квадратное уравнение не может иметь различных действительных корней. Позтому дискриминант уравнения < 5 '$$ л и ~~~, '! а~ !) — 'Я ! а !5 'Я ! Ь,!$~0, 5=1 5=1 $=1 т. е. $ ~ ~~ ~ $ в ~ ~ $ 5 15 5 5 ~Ч~~ ! а Ь !~ м„~' ! а$ !5.
~~~„'! Ь !5. $=1 $=1 $=1 Отсюда и подавно 1$5 5 ~Ч~~а5Ь ~ е.( ~ЧР ~!а Ь5!~ ~ ~~ !а !5 ~~~~ )Ь !в. 5=1 $=1 $1 $=1 Если числа а5 и Ь, действительны, то получаем просто 243 АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА И НОРМА МАТРИЦЫ Применяя неравенство Коши и учитывая, что гл" = и', будем иметь /т' л" 1 л' Лв" в вв ь л)в т т (д ~,„~ . ~ ~ в„Г ~ = 1=11=1 В 1 1=1 / лв' л' лв" л" в в ! * В в в 1 вв В = 3' ЦГА и В В )1 = В А В, В В 1,. 1=11=1 влв 1=1 Следовательно, для рассматриваемых норм условие г) выполнено. Покажем, что нормы Ц А Ц, Ц А Ц, и Ц А ք— канонические.
Если а — наибольший по модулю элемент матрицы А=-(а1) типа лв' Хй, то, очевидно, имеем: ЦаЦ ))а )+...+)а„)+...+)алл !))а ); ЦАЦТ))а, )+...+)а )+...+)а в!))а ! / лв' л' Ц А Ца = ~/ ~ ~ ! ~ )1 ~ ! о 1=1 1=1 Таким образом, )а;1)()а )(ЦАЦ, (г=лв, 1, Ь). Кроме того, если А=(а,), то ЦА Ц =ЦА Цв=ЦА ЦА=! а„!. Далее, если )А ! ~ )В), где А= (а; ! и В= (Ь;1~, то ! а; ! = !Ь;1), Из определения норм ))А)!, )!А!), и ))А)!А очевидно, что имеют место неравенства )! А )), ~ )! В )), (а = лг, 1, )г). Кроме того, для любой из этих норм имеем: ЦА Ц,= )ЦА)Ц (а=лв, 1, Ь). Таким образом, условие е) также выполнено.
Следовательно, доказано, что нормы Ц А Цлл Ц А Ц, и Ц А ք— канонические. Отметим, что если матрица Š†единичн, порядка л, то ЦЕЦ =ЦЕЦ1=1 )! Е ЦА = )I л. 244 ллгзвга мктгиц [гл. чп й 8. Ранг матрицы Пусть дана прямоугольная матрица аы аж ... агл аы аы " ° аеи ает аеь ° анл- Если в этой матрице выбрать произвольным образом [е строк и й столбцов, где кн:,ш!п(пт, л), то элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка и.
Определитель этой последней матрицы называется минором й-го порядка матрицы А. О п р е д е л е н и е. Рангом матрицы назыеаетсн максимальный порядок минора матрицы, 'отличного от нуля. Иными словами, матрица А имеет ранг г, если: 1) найдется по меньшей мере один ее минор г-го порядка, отличный от нуля; 2) все миноры матрицы А порядка г+1 н выше равны нулю. Ранг нулевой матрицы, т.
е. матрицы, состоящей из нулей, считается равным нулю. Разность между наименьшим из чисел т и и и рангом матрицы называется дефектом матрицы. Если дефект равен нулю, то ранг матрицы — наибольший из возможных для данного типа. При нахождении ранга матрицы полезно придерживаться следующего правила: 1) переходить от миноров меньших порядков (начиная с миноров первого порядка, т. е. элементов матрицы) к минорам ббльших порядков; 2) пусть найден минор,0г-го порядка, отличный от нуля, тогда нужно вычислить лишь миноры (г+1)-го порядка, окаймляющие минор Р. Если все эти миноры равны нулю, то ранг матрицы равен г; если >ке хотя бы один из них отличен от нуля, то эту операци!о нужно применить к нему, причем в этом случае ранг матрицы заведомо больп!е г.
П р и и е р. Найти ранг матрицы 2 — 4 3 ! О ! — 2 1 — 4 2 О 1 — 1 3 1 4 7 4 — 4 5 Р е ш е н и е. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу этой матрицы, равен нулю. Однако в матрице содержатся и отличные от нуля миноры второго порядка, например о=) )~~о, ПРВДЯЛ МАТРИЦЫ 9 9] причем окаймляющий его минор третьего порядка 2 — 4 3 О'= 1 — 2 1 О порядка, окаймляющие минор /3', равны и оба минора четвертого нулю: 2 — 4 1 — 2 О 1 4 — 7 2 — 4 3 1 — 2 ! О 1 — ! 4 — 7 4 8 1 — 1 4 ! — 4 3 — 4 Таким образом, ранг матрицы равен трем, а дефект 4 — 3= 1.
9 9. Предел матрицы где ]] А]] — любая каноническая норма матрицы А. //ри этом 1пп )] АА ]] = ]( А ]]. А в Действительно, если А — А = (а;.], (а,/ — а(" ~ <е при й' /ч/(е). ]А — А„](в/, то Отсюда где / — матрица типа тлХл, все элементы которой равны единице. В силу свойств нормы имеем: ](А — АА]] ~е ]] /]] при й ) /1/(е), следовательно, (4) 11~и ]] А — А ]] '= О. Пусть имеется последовательность матриц Аь=(а]/] (й=1, 2, ...) (1) одного и того же типа птхп (/=1, 2, ..., лг; /=1, 2, ..., и). Под пределом последовательности матриц АА понимается матрица А = 1пп Аь = ] 1пп а1Ь! ].
(2) ь ю 1~а в Последовательность матриц, имеющая предел, называется сходяи(ейся. Л е и м а 1. Для сходимости последовательности матриц Аь (й= 1, 2, ...) к матрице А необходимо и достаточно, чтобы (] А — Аь ]] — О лри й — со, 246 клгавгк мктгиц (гл. тн Обратно, пусть выполнено условие (3). Тогда при й > !ч'(в) имеем: ( а!у — а;;~ ! ( ЦА — Ай Ц (в и, следовательно, Иа а<йу= а;р й т.
е. 1пп А„=А. й Кроме того, если Ай А, то имеем: ЦА(1 — ЦАй11 ((ЦА — АйЦ О при й оо. Поэтому 1пп Ц Ай Ц = )! А !!. на а Следствие. Последовательность Ай — О при й — оо тогда и только тогда, когда 1пп Ц Ай Ц = О, й а где Ц Ай Ц вЂ как-нибудь каноническая норма. Легко убедиться, что если 1пп А„=А и Ию В„=В, й -~ а й Ф то: а) 1пп (Ай~- Вй)=А~В, й->а б) Ит (А В„) =АВ, й -~ а в) 1нп А-'=А й (бе!АасО), в предположении, что соответствуюшие операции имеют смысл. В ча- стности, если С вЂ постоянн матрица такая, что возможны пере- множения СА„и А„С(й=1, 2, ...), то !пп СА„=СА й -~ а Ию АйС=АС. й -> а Л е м и а 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
