Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(2) 'Тогда формулы для клеток ~11 (1, /=1, 2) можно записать проще: ()ы=а;;+ХЕ- У, Вхв = — Хе-х, ()„= — В- у, ()„=Е-х. Формулы (1) определяют клетки матрицы А г при условии, что а-' и 8 г существуют. Вычисления удобно расположить в виде 11 следующей схемы Я: — хе- о, х+Хб еу Этот метод полезно применять, если матрица аы легко обратима. Аналогично из третьего и четвертого уравнений системы (1) будем ииетеп рте — — (а„— а„а;,'а„) ' и 12! овращкник матриц при помощи развнкння нл ялятни 257 П р и м е р 1.
Обратить матрицу Решение. Положим аиа= ~ ~ ! авв= ~ Применяя приведенную выше схему, будем иметь: е- — ' 1422 0 Отсюда ' = 1422 ~ 5 6 ~ ~ -47 -!! ~ = 1422 ~ -202 104 ~ ' 16 34 1 ~ — 3 4 ~ ! ~ — 2!8 †1 '1 !422 ~ — 47 — П ~ 1 — 5 — 6 ~ !422 ~ !06 236 !46 1 ~ — 3 4 '1 ! ~ †14 68 ХО" Ч'= — „ 1422 ь †2 104 ~ [ — 5 †! 1422 ! 86 †14 ] ' Для контроля произведение ХО ту вычисляем двумя способами! Хе 'Г=(ХО ')У и УО 'Ь'=Х<В 'У>. По общей схеме имеем: — 236 — 146 202 — 104 68 — !Π— 16 1 А !=в 1422 16 34 — 47 — 11 140 !22 2!8 — 196 9 П. давидович и И.
Л. Марен 1 0 3 0 1 5 — 3 4 0 — 5 — 6 2 — 4 б 2 0 258 !Гл. шз АлГеБРА МАТРиц Частным случаем изложенного метода является так называемый метод окаймленил. Сущность его заключается в следующем. Пусть дана матрица а„... ав» ~ а., азв~ А=~ Образуем последовательность матриц авД :1 авз аы аз аз, а,з азз ам азв "зз авз азв азз аы азв ам авз а„а„а,в а„ азз ам азв азз аы азз азз а„ ам азз азв аы азв д где !в = а„а„— а,а„. ПРи помощи матРицы ов з, пРименив к ов пРиведеннУю выше схему вычисления, можно получить Ю,, а затем при помощи Яз аналогично получить я, з и, наконец, я„ ' = А з. Метод окаймления становится непригодным, если одна из промежуточных матриц Я! является особенной.
Положение может быть исправлено с помощью перестановки строк матрицы 151. П р и и е р 2. Найти обратную матрицу для матрицы Г! 4 1 3~ Π— 1 3 — 1 3 1 О 2 1 — 2 5 1 Решен не. Здесь и т. д. Каждая следующая матрица получена из предыдущей при помощи окаймления. Обратная ко второй из этих матриц Я, ' нахо- дится непосредственно: !21 оввлщвнив млтеип пни помощи влзвивния нл клетки 251 Схема вычисления Ю, имеет следующий внд: ХЕ- У= Следовательно, 1 оз 12 36 ! 36 Для вычисления 8, служит следующая схема: е- 1 33 ХО 'У= ! !2 1 4 ! 22 ! 132 1 36 1 Г2 3! 99 3! 66 31 396 !3 1 36 1 Г2 7 66 7 396 ! 200 [гл. чп АлГеБРА млтгиц Следовательно, 5 44 15 44 !7 44 19 44 1 44 2 11 9 44 4 44 з Г! Ю,'=А '= !о 44 44 1 22 3 3! 7 44 44 4*! — 5 15 19 — В 9 17 1 — 12 4 1Π— 2 2 З -З! -7 13 ф 13.
Треугольные матрицы ы !ы ' ° ' !1ь О !ы ' !ьл О О где «;7 — — О при ! у', есть верхняя треугольная матрица. Аналогично г„о ... о~ 1„... о! где 1;7 — — О для /) 1, есть нивсняя треугольная матрица. Дйагональная матрица является частным случаем как верхней, так и нижней треугольной матрицы. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов, а именно: если Т= 1!! 1' †треугольн матрица, то очевидно, что йе1 Т = !/ =1т,7з ...1„„. Поэтому треугольная матрица является неособенной только тогда, когда все ее диагональные элементы отличны от нуля. Можно доказать, что: 1) сумма и произведение треугольных матриц одинакового типа и одной и той же структуры, т.
е. одновременно только верхних или только нижних, есть также треугольныс матрицы того же типа и общей структуры; 2) обратная матрица неособенной треугольной матрицы есть также треугольная матрица того же типа и структуры. Пользуясь последним обстоятельством мы легко можем обращать треугольную матрицу. Оп р е де ление. Квадратная матрица называется треугольной, если элементы, стоящие выше (ниже) главной диагонали, равны нулю. Например, 5 131 261 ттвтгольныв млтгицы П р и и е р 1. Обратить матрицу А= 1 2 О Р еш ение. Положим Ггзз 0 0 1 А-г= ~1„1„0 ~.
ззг тзз Сзз Перемножая матрицы А и А ', будем нметтн =1, + 21гг = О, 2Ф з=1, 1гг+21з, +31,ц — — О, 2тгг+31зг = О Отсюда последовательно находим: Следовательно, Г ! 0 0 1 2 1 — 0 2 1 1 з з Имеет место важная теорема (3). Т е о р е м а. Всякую квадратную матрицу аы а„... аз в аз, азг ...
аг„ имеюи)ую отличные от нуля главные диагональные миноры Лз — — ать~О; Лг=~ ~МО; ...; Ь„=)А)ФО, можно представить в виде произведения двух треугольных матриц различных структур (нижней и верхней), принем это разложение будет единственным, если заранее зафиксировать диагональные элементы одной,из треугольных матриц (например, положить их равными 1). 1гг=1' 1 =О; 1 1г г 1 1ж = 1 2 ' 138=Т. 262 [гл. тп АлГеБРА мАТРнц Не приводя доказательства теоремы, ограничимся указанием способа отыскания элементов искомых треугольных матриц. Пусть А=Т Т„ (1) где Т, = (Ь11~, Ь;1 — — О для /) 1, (2) есть нижняя треугольная матрица порядка и; Т =(с; Д, с; =О для 1)/, (3) есть верхняя треугольная матрица порядка и.
Перемножая эти матрицы, в силу формулы (1) получим: ~я~"„Ь,зсзу — — аы (1, /=1, 2, ..., л). (4) Система (4) в силу условий (2) и (3) принимает вид 1 ~~ Ьгзсз1 — — аг пРи 1= / (/=1, 2, ..., и) (4') ')!', Ьгзсзà — — аЫ пРи 1с./ (1=1, 2, ..., и — 1).
(4") 1=1 Системы (4') и (4") в силу их особой структуры легко решаются с точностью до диагональных элементов Ьп и сп. Для определенности можно положить сп = 1 (1 = 1, 2, ..., и). П р и м е р 2. Представить матрицу А= — ! 5 4 в виде произведения двух треугольных матриц Т, и Тз. Р е ш е н и е. А = ТГТ,. Будем искать Тз и Тз в виде Имеем: с ! — ! 2~ ~!11 !11гзз !11Г11 — 1 5 4 = 111 Гззгзз+ гзз гззги+ гззгзз ты+1, = 5; гзгггз+ гзз = 4! 111гзз+ 1ззгзз = 4; сж'гз+ 1ззгзз+ 1зз = 14. откуда 111= 1 1,=2; Гг„ О О [ Г! Г11 гзз 1 Т1=~111 !м О и Т= О 1 гзз 111 Гзз гзз 4 !4) ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ 263 Решив систему, получим: !1 =1; 1; !В1 —— 2; !11=1 з ГЗЗ = 2 !31 — — 6, г1„= 2; г = — 1; 11— Таким образом, 1 О Т = — ! 4 1— 2 6 ! — ! 2 У, О ! 3 2 О О 1 то А 1= Т, 'Т,'. Обратные матрицы для треугольных, как мы видели выше, находятся сравнительно просто. ф 14.
Элементарные преобразования матриц Следующие преобразования матриц носят названия элементарных: 1) перестановка двух строк или столбцов; 2) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) на одно и то же число, отличное от нуля; 3) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умно!Венных на одно и то же число.
Две матрицы называются эквивалентными, если одна получается из лругой с помощью конечного числа элементарных преобразований. Такие матрицы не являются, вообще говоря, равными, но, как можно доказать, имеют один и тот же ранг (6). Легко убедиться, что каждое элементарное преобразование квадРатной матрицы А равносильно умножению последней на некоторую неособенную матрицу. Прп этом, если преобразование производится нал строками (столбцами) матрицы А, то множитель должен быть Пользуясь представлением квадратной матрицы А (де!А фО) в виде произведения двух треугольных матриц, можно указать еще олин способ вычисления обратной матрицы А ', а именно, если А= ТТТ„ з64 [гл.
Рп АЛГЕБРА МАТРИЦ левым (правым) и представлять собой результат применения соответ- ствующего элементарного преобразования к единичной матрице (6). Например, переставляя в матрице а11 азз ам 1121 1122 О'123 азз азз азз А-[ вторую и третью строки, будем иметь эквивалентнузо матрицу ао аз аз ам азз азз 1121 1122 1123 з=~ Та же матрица А получится, если в единичной матрице о 21 переставить вторую и третью строки и полученнузо матрицу | о о~ ф 15. Вычисление определителей Элементарные преобразования матрицы дают наиболее удобный способ вычисления определителя втой матрицы, Пусть, например, аоз ° ° аз» азз азз азз ааз а„, ... аза умножить слева на матрицу А, т.
е. А=ЕА. Аналогичным способом производят и другие элементарные преобразовании. Заметим, что если в равенстве АА '=Е совершать одинаковые преобразования строк матриц А и Е до тех пор, пока матрица А не превратится в единичную, то будем иметь ЕАА '=Е, где Š— преобразованная единичная матрица. Отсзода, так как ЕА=Е, получим А ' = Е, т. е. обратная матрица А ' представляет собой преобразованную единичную матрицу. На этом основан способ вычисления обратной матрицы при помощи преобразования строк (4). 2б5 вычислянне опгвдялитяляй б 15! Предполагая, что азз ~ О, будем иметь: 1 ам ... д) ')м 13 ''' 3 лп (з„= а„ ию аиз ° ° али Л11 Отсюда, вычитая из элементов а(1, принадлежащих усму столбну (у~ 2), соответствующие элементы первого столбца„умноженные на а11, получим: ! О ... Π— а(1) ...
Л(') Ь„= аз, =- а„(з„„ (злз (1) (1) — 11 из '' иил где (1) л(1) л(11 Изз а(') а(') ... а'') зз ЗЗ ''' ЗЛ (2),' (1(„1= (1) (1) (1) алз "лз Ллл ( а~ = аг — — (1, у = 2, 3, ..., л). а(зазт аз, К определителю Ли, применяем тот же прием. Если все элементы а(~( ы+О (1=1, 2, ..., л), то окончательно находим: (1] (Л вЂ” 1) Ь„= а„а„... алл (3) Если в каком-нибУдь пРомен(Уточном опРеделителе Ли л левый веРхний элемент аз+, з+, =О, то следУет пеРеставить стРоки или гз) столбиы определителя Л„а так, чтобы нужный нам элемент был отличен от нуля (это возможно всегда, если определитель () Чыб). Конечно, при этом следуетучесть изменение знакаопределителя(з и-З' ажно пать более общее правило.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
