Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Ь,л О 1 Ьы! ... ЬП! вв "' вл О О О ... ! в-[ В результате получалась эквивалентная система Вх=й. (4) бе!В= 1 = йе! А аца2»'в' . аалл П Следовательно, й=йе!А=аыам> ... а1л-'1, Ы вв ' ' ' лл (5) е. оаределитель равен произведению ееедущих» элементов длл соответствующей схема Гаусса. Отсюда заключаем, что привеленная Элементы матрицы В последовательно получались из элементов матрицы А я дальнейших вспомогательных матриц А„А„..., А„ с помощью следующих элементарных преобразований: 1) деления на еведущие» элементы аты а'в'1, ..., а~"„", которые предполагались отличными от нуля, и 2) вычитания из строк матрицы А и промежуточных матриц Ат (1 = 1, 2, ..., и†1) чисел, пропорциональных элементам соответствующих ведущих строк.
При первойоперации определитель матрицы также делится на соответствующий сведущий» элемент, при второй в определитель матрицы остаетси неизменным. Поэтому 284 Решение систем линейных уРАВнений [гл. Уш 7,4 2,2 — 3,1 0,7 1,6 4,8 — 8,5 4,5 4,7 7,0 — 6,0 6,6 5,9 2,7 4,9 — 5,3 Использ я элементы оп ед Р е ш е н и е. у р елителя Ь, составлнем схему единственного деления (таблица 16).
Таблица 16 Вычисление определителя методом Гаусса 1-й столбец т-й столбец З.й столбец 4-й столбец ') 7,4 '( 1,6 4,7 5,9 2,2 4,8 7,0 2,7 7,2 2,4 12,3 8,2 — 3,! — 8,5 — 6,0 4,9 0,7 4,5 6.6 — 5,3 0,97297 0,29729 — 0,41891 0,09459 ~4,32434 ~ 4,34866 6,15543 — 5,85808 0,84326 7,72705 2,45948 — 7,82974 — 4,03112 7,37157 5,60274 0,94599 — 1,8!062 1,00562 0,19500 (б,!!ЗЗ! ) 6,63451 2,27501 0,52120 — 6,80939 9,08440 0,08526 1,08526 / — 7,58393 / — 7,58393 8= †14,61867 нами в 9 3 схема единственного деления может быть использована для вычисления определителей, причем столбец свободных членов тогда становится излишним.
((-1! Заметим, что если для какого-нибудь шага элемент аи =- 0 или близок к нулю (что влечет за собой уменьшение точности вычислений), то следует соответствующим образом изменить порядок строк и столбцов матрицы. П р и и е р. Вычислить определитель 9 7) вычисление ОБРАтнОЙ ИАтРицы методом ГАуссА 285 Перемножая «ведущие» влементы (заключенные в ранки), получим: Л = 7,4 4,32454 6,11331.
( — 7,58393) = — 1483,61867. й 7. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса Пусть дана неособенная матрица А = [а; 1 (1, /= 1, 2, ..., п). Для нахождения ее обратной матрицы А т=(х;7] используем основное соотношение АА '=Е, (2) (3) где Š— единичная матрица. Перемножая матрицы А и А т, будем иметь и систем уравнений относительно пя неизвестных лгу ~3„а; к»у=6;7 (1, /=1, 2, ..., п), «=1 где ( 1, когда 1 = /, 1 О, когда 1 ~:/. Полученные п систем линейных уравнений для у= 1, 2, ..., и, имеющих одну и ту же матрицу А и различные свободные члены, одновременно можно решить методом Гаусса. П р и и е р. Найти обратную матрицу А т для матрицы г 1,8 — 3,8 0,7 — 3,7 0,7 2,! — 2,6 — 2,8 7,3 8,! 1,7 — 4,9 1,9 — 4,3 — 4,9 — 4,7 Обратим внимание на следующее обстоятельство.
Для того чтобы решить систему и линейных уравнений с и неизвестными по формулам Крамера, нужно вычислить и + 1 определителей и-го порядка. Между тем для вычисления одного определителя и-го порядка по схеме единственного деления требуется почти такой же объем работы, как и для полного решения системы уравнений. Поэтому пользоваться формулами Краиера для численного решения линейной системы прн и) 3, вообще говоря, нецелесообразно. 286 РЕШЕНИЕ СИСТРМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 1Рл.
РН1 Р е ш е н и е. Составим схему с единственным делением. При этом будем иметь четыре столбца свободных членов (таблица 17). Заметим, что элементы строк обратной матрицы получаются в обратном порядке. Таблица 17 Вычисление обратной матроны методом Гаусса > в квв в» квв квв — 2,222 23 0,55556 -2,05556 0,38 889 -2,11111 -2,872 — 1,138 -5,63889 2к2-1,361!1 90 10,10559 — 0,79444 -0,38885 — 4,05551 -1,05554 -0,80279 0,27950 0 0 -0,01241 -0,38043 -0,10868 17,73557 -5,87081 1 -1,50032 -1,08694 -6,57135 ! 0,08074 0 29,71405 — 6,78134 19,04992 0,90434 -0,37108 0,05638 0 1,67539 1,07411 -0,08459 5,40155 -1,58355 -2,09780 0,33100 ! 3,054566 — 0,293! б -0,38837 0,06128 О,! 8513 0,56540 На основании результатов таблицы 17 получаем: — 0,2!!21 — 0,03533 0,23030 — 0,29316 — 0,46003 0,16284 0,26956 0,16873 0,01573 — 0,08920 0,04607 — 0,00944 — 0,19885 — 0,38837 0,06!28 0,18513 1,8 0,7 7,3 1,9 — 3,8 2,1 8,1 — 4,3 3,57778 23,51!10 -0,28889 0,7 -2,6 1,7 -4,9 -3,7 — 2,8 -4,9 -4,7 0,23030 -0,03533 -0,21121 0,04607 0,16873 -0,46003 — 4,0 — 1,6 13,2 — 11,0 — 0,04440 29,42228 -6,77776 -0,00944 0,01573 0,162 84 — 0,198 85 -0,08920 0,26956 1,068 09 1,06013 0,762 66 287 метод квхдгатных когнзй Для проверки составим произведение с — 0,21!21 — 0,46003 0,16284 0,26956 — 0,03533 О,!6873 0,01573 — 0,08921~ 0,23030 0,04607 — 0,00944 — О,!9885 — 0,29316 — 0,38837 0,06128 0,18513 АА а= 0,99997 0,00000 — 0,00001 0,00000 — 0,00025 0,99997 — 0,00002 — 0,00039 — 0,00808 — 0,0!017 0,99982 0,00009 0,00000 0,00000 0,00000 1,00048 Мы видим, что благодаря округлениао обратная матрица получилась не вполне точной.
Ниже мы укажем (см. 9 15) метод исправления элементов приближенной обратной матрицы. 8 8. Метод квадратных корней Пусть дана линейная система Ах=Ь, где А=[а!71 — симметрическая матрица, т. е. А'=[ау!1 =А. Тогда матрицу А можно представить в виде произведения двух транспо- ннрованных между собой треугольных матриц (2) А= ГТ, где гм гы ° ° ° гал гаа О ...О 0 гаа !а Т' !аа гаа . гюл (а» !а» гаа Производя перемножение матриц Т' и Т, для определения элемен- тов 117 матрицы Т получим следуаощие уравнения: 1а 1а +)аг(а +... +1п; =о, (1<Л, г,а, + у,а,.
+... + 1,', = ам. 1,8 — 3,8 0,7 — 3,7 0,7 2,1 — 2,6 — 2,8 7,3 8,! 1,7 — 4,9 1,9 — 4,3 — 4,9 — 4,7 0,03 0,00 0,01 0,00 0,25 0,03 0,02 0,39 8,08 10,17 0,18 — 0,09 0,00 0,00 0,00 — 0,48 288 Решение систем линейных угавнеиий (гл. шп Отсюда последовательно находим: — (у)1), а1( 1„=1 а / (1(1<л), 1-1 ат — ~2 гьт Система (1) имеет определенное единственное решение, если 1н э~О (1=1, 2, ..., л), так как тогда бе1 А = бе1 Т' бе1 Т = (бес Т) 2 = (1„122 ... У„,) 2 ф О. т'у=ь и тх=у, или в раскрытом виде ~11У1 = Ь1 112У1+ 122У2 — — Ью (4) 211х1+112х2+...
+ Г1„х„=У1, ~22Х2+ ' ' + ~2лХл У2 (б) улллл =ул Отсюда последовательно находим: У1 =1 ь,— ~ санта 2=1 (6) (() 1) ) Коэффициенты матрицы Т будут действительны, если 121 ) О. В дальнейшем мы, вообще говоря, не будем предполагать это последнее условие выполненным. При наличии соотношения (2) уравнение (1) эквивалентно двум уравнениям: 289 мвтод квлделтных кинней й 8) х„= —, Уь гьь (1 ( л). ! (7) кг — ~ч~~ 11»к» »=ьь ь 1н х, + Зх, — 2х, — 2х, = 0,5; Зх,+4х — 5х + хь-Зх = 5,4; — 2хь — 5х + Зх — 2хь+ 2хь = 5,0; х,— 2х +5х,+Зх,=7,5; — 2х,— Зх,+2х,+Зхь+4х,=-3,3.
) Решение. Записываем коэффициенты а;1 и свободные члены Ь1 данной системы в начальный раздел А таблицы (таблица 18) н подсчитываем столбец '~~. Применяя формулы (3) и (6), последовательно переходя от строки к строке, вычисляем коэффициенты 11 и новые свободные члены уг и, таким образом, заполняем раздел Б таблицы. Например, ам — 1ьь1ьь — 1ы1ьь 2 — ( — 2) ( — 2) — ( — 0,44721)( — 1,34! 61) ьь Для контроля подсчитываем столбец .У~. На основании формул (7) находим значения неизвестных х и контрольные величины ! дькиьььиь ь И.
Л, Мьрьн Изложенный способ решения линейной системы носит название метода квадратных корней. Так как матрица А — сиььметрическая, а матрица Т вЂ” верхняя треугольная, то в вычислительной схеме можно п ЗаПИСЫВатЬ ТОЛЬКΠ— (Л+ 1) ВЕРХНИХ КаэффнцнЕНтОВ агу И 1;1 (1 рьЯ. При вычислениях применяется обычный контроль с помощью сумм, причем при составлении суммы учитываются все коэффициенты соответствующей строки. Заметим, что если для некоторой в-й строки имеем 1,' ( О, то соответствующие элементы 1,1 будут мнимыми. Метод формально применим и в этом случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
