Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Введя обозначения Л"'=х'"' — х'» " (4=0, 1, 2, ...), метод итеелции 6 101 Здесь ую> ни Лы' = ад<а~ = 0,335 0,032 0,350 л(а> и т д. Результаты записываем в таблину 21. Таким образом, приближенные значения корней есть хт = — 1,235; ха = 1,089; ха =- 0,560. Следовательно, Ф хс"~ ~и~~ бсм хнв ( ~и~~ аа сум П р и м е р 2. Решить систему 2х — х+х = — 3, Зх, + 5х, — 2ха —— 1, хт 4ха+ 10ха= О Р е шеи и е. Приведем систему (11) к виду (2): хт = — 1,5+ 0,5ха 0,5ха1 ха=02 06хт+04хз' ха — — — 0,1х +0,4х .
Пользуясь формулами (8) и (9), получим 0 0,5 — 0,5 — 0,60 0,4 — 0104 0 0 0,5 — 0,5 — 060 04 — 0,104 0 0,23~ ЗОО РЕШВНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ (ГЛ. Чи! Недостатком этого варианта метода итерации является систематическое накопление ошибок при увеличении числа слагаемых, в результате чего могут возникнуть значительные погрешности искомых корней, Кроме того, ошибка, Таблица 21 допущенная в вычислениях, поВычнслеине решения линейной Влияет на окончательный резульсистемы вндояэмененным методом тат. Поэтому надежнее пользо(метод накопления) ваться первым вариантом метода итерации. (А! Ь г — 1,235 1,089 0,560 знак.
Если коэффициенты и свободные члены данной системы являются приближенными числами, написанными с р знакамн, то решение этой системы производится, как в случае точных чисел, с точностью до л! =р знаков. Приведем без доказательства достаточное условие сходимости процесса итерации (доказательство см.
гл. 1Х, 9 1). Т е о р е м а. Если для приведенной системы (2) выполнено по меньшей лере адно иэ условий ~~Р ~(а; ( е. 1 (= ( (('=1, 2, ..., и) или ~ ) а(1(ч. ! (у=1,2, ...,п), то процесс итерации (3) сходится и единственному решению этой системы, независимо ог выбора начального приближения. Следствие. Для системы л а(ух =д( ((=1, 2, ..., и) 1.1 — 1,500 О, 100 0,335 — О, 159 0,020 0,010 0,002 — 0,004 0,000 0,001 0,200 0,900 0 032 — О, 061 0,011 0,009 — 0,004 О, 000 0,002 О, 000 О, ООО 0,230 0,350 — 0,021 — 0,008 0,006 0,003 — 0,001 О, 000 0,001 Замечания о точности расчета. Если все коэффициенты и свободные члены данной системы являются точными числами, то решение ее методом последовательных приближений может быть получено с любым заранее заданным числом гл верных десятичных знаков.
При этом в значениях последовательных приближений следует удерживать лт+ 1 десятичных знаков и последовательные приближения вычислять до нх совпадения, после чего нужно округлить результат на один л 11) пгиввденнв систвмы к вндх, хдовномх для итвгхции 301 метод итерации сходится, если выполнены неравенства (а;;() Д ) а>~) (1=1, 2, ..., и), т. е. если модули диагональных коэффициентов для ках<дого уравне- ния системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов).
й 11. Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации Теорема сходимости (Я 10) накладывает жесткие условия на коэффициенты данной линейной системы Ах=Ь. (1) Однако, если бе(Аф0, то с помощью линейного комбинирования уравнений системы (15) последнюю всегда можно заменить эквивалентной системой х= р+ах, (2) (А ' — е) Ах= РЬ х=р+ах, нли где и = еА и () =.0Ь. Если ~е;~( достаточно малы, то очевидно, что система (3) удовлетворяет условиям теоремы сходимости. Умножение на матрицу,0 эквивалентно совокупности элементарных преобразований над уравнениями системы. Задача заключается в том, чтобы прийти к стандартному виду (3) с наименьшей затратой труда.
Практически поступают следующим образом. Из заданной системы выделяют уравнения с коэффицнентаии, модули которых больше суммы модулей остальных коэффициентов уравнения. Каждое выделенное уравнение выписывают в таку>о строку новой системы, чтобы наибольший по модулю коэффициент оказался диагональным. Из оставшихся неиспользованных и выделенных уравнений системы составляют линейно независимые между собой линейные комбинации с таким расчетом, чтобы был соблюден указанный выше принцип комплектования новой системы и все свободные строки оказались заполненными. При этом нужно позаботиться, чтобы каждое неиспользованное ранее уравнение попало хотя бы в одну линейную комбинацию, являющуюся уравнением новой системы.
Поясним все сказанное на примере. такой, что условия теоремы сходимости будут выполнены. В самом деле, умножим уравнение (1) на матрицу 0=А > — е, где е =(е>у) — матрица с малымн по модулю элементамн. Тогда будем иметь: 302 П р и м е р. Систему привести к виду, годному для применения метода итерации. Решение.
В уравнении (Б) коэффициент при х, по модулю больше суммы модулей остальных коэффициентов, поэтому можно принять зто уравнение за третье уравнение новой системы. Коэффициент при х, в уравнении (Г) также больше суммы модулей остальных коэффициентов уравнения (Г), поэтому можно принять это уравнение за первое уравнение новой системы. Таким образом, новая система имеет следующий вид: 10х, + 2х, — х, + 2х, + 4 = О, х, — 2х — бх„+ ха — 2 = О, Анализируя данную систему, легко заметить, что для получения уравнения (П) с максимальным по модулю козффицнентом при ха достаточно составить разность (А) †(В): (П) х +бха+ха+Оха — 1 =О.
Теперь в новую систему вошли уравнения (А), (Б) и (Г), поэтому в уравнение (!Ч) обязательно должно войти уравнение (В) данной системы. Подбором убеждаемся, что за уравнение (1Н) можно взять линейную комбинацию 2(А) — (Б)+2(В) — (Г), т. е. (!Ч) Зх + Ох, + Ох, — 9ха — 10 = О. В итоге получим преобразованную систему уравнений ! — 1Ч, эквивалентную исходной н удовлетворяющую условиям сходимости процесса итерации. Разрешив эту систему относительно диагональных неизвестных, будем иметь систему к которой можно применить метод итерации. (А) (Б) (В) (Г) (!) (П) (П!) (!Ч) гашения систем линейных заявлений (гл. тш 2х,+Зх — 4х,+ х,— 3=0, х,— 2хз — бха+ ха — 2=0, бх,— Зх,+ х,— 4х,— 1=О, 10х, + 2ха — ха+ 2х, + 4 = 0 хд — — - Ох — 0,2ха+ 0,1х — 0,2ха — 0,4; х =0,2х, +Ох — 0,2ха+Оха +0,2; х =0,2х, — 0,4хз+Оха +0,2ха — 0,4; х =0,333х,+Ох, +Ох, +Ох, — 1,111, З0З метод знйдаля й 121 2 12.
Метод Зейделя Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (л+ 1)-го приближения неизвестной х! учитываются уже вычисленные ранее (А+ 1)-е приближения неизвестнык хы ха, ..., х! Пусть дана приведенная линейная система х,=()!+ ~~.", а; х (1=1, 2, ..., л). 1=! Выберем произвольно начальные приближения корней «(ю <ю х(в) 1 1 3 э ' В» стараясь, конечно, чтобы они в какой-то мере соответствовали искомым неизвестным т 3 «3 ~ ! «» Далее, предполагая, что л-е приближения хйй корней известны, согласно Зейделю будем строить (и+ 1)-е приближения корней по следующим формулам: (а+!! 'к! ы).
х, = (), + ~~ а! х;; !»! » (а+!)»н ( (Й+!! 1 ~я~~~ (ю. х» = а ссатх! о!а!х! т=» ! †! » «!!" +м = р,. + ~ а! х,' +" + ~а а! !«!' ', /=! !»! »-1 х!„"+!!»»()„-(- ~~ сс„тх!та+!!-)-сс„„«'„!! (й=0, 1, 2, ...). Заметил!, что указанная выше (2 10) теорема сходимостн для простой итерации остается верной для итерации по методу Зейделя (см, гл. 1Х, Я 3 — 7). Обычно метод Зейделя дает лучшую сходимость, чем метод простой итерации, но, вообще говоря, он приводит к более громоздким вычислениям. Процесс Зейделя может сходиться даже в том случае, если расходится процесс итерации.
Однако это бывает не всегда. Возможны случаи, когда процесс Зейделя сходится медленнее процесса итерации. Более того, могут быть случаи, когда процесс итерации сходится, а процесс Зейделя расходится (1) (см. гл. Х1, 2 6). 304 гвшкниа систем линейных кгавнвний [гл. чш Пр имер. Методом Зейделя решить систему уравнений 10х,+ха +ха = 12, 2х,+10х +ха =13, 2х, + 2х + 10хз = 14. Р е ш е н и е. Приведем эту систему к виду, удобному для итерации, х = 1,2 — 0,1х — 0,1х; ха — — 1,4 — 0,2х, — 0,2х,. В качестве нулевых приближений корней возьмем: Применяя процесс Зейделя, последовательно получим: х~10=1,2 — 0,1.0 — 0,1.0 =1,2; хаю=1,3 — 0,2 1,2 — 0,1 0 =1,06; х~' = 1,2 — 0,1 1,06 — 0,1 0,948 = 0,9992; х~,'~ = 1,3 — 0,2 0,9992 — О,! ° 0,948 = 1,00536; х!аю = 1,4 — 0,2 0,9992 — 0,2.1,00636 = 0,999098 и т.
д. Результаты вычислений с точностью до четырех знаков помещены в таблице 22. Таблица 22 Нахождение корней линейной системы методом Зейдели Точные значении корней: хт=-1; х, =1; ха — — !. 303 СЛУЧАЙ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ й 13. Случай нормальной системы 0 п р е д е л е н и е 1. Целый однородный полипом второй степени от л переменных называется квадратичной формой этих переменных. В общем случае квадратичная форма имеет вид и(х„х„..., хл) =а„х,'+а„х,'+...
+а„лх„'-1- где а; ((,у=!, 2, ..., и) — постоянные числа, причем дляудобства соответствующие коэффициенты при ! Фу взяты в четной форме 2абн Приравняв и постоянной с, получим уравнение центральной поверхности второго порядка и(х,, х„..., х)=с в и-мерном пространстве. Если положить а, =ау„ (2) т. е.
2а;1 — — а;у+ай, то формулу (1) короче можно записать следующим образом: л л и(хт хю ° ~ х,) = ч~~ ~~и~, 'а!ге;хр г й(атрнца А= (агу1 (3) носит название матрицы квадратичной формы (1'). В силу условия (2) матрица А будет симметрической, т. е. совпадет со своей транспонированной матрицей. Наоборот, для всякой симметрической матрицы А=~а;11 можно построить соответствующую квадратичную форму (1'), О п р е д е л е н и е 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
