Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 43
Текст из файла (страница 43)
11ь 1-1 5 5. Второе достаточное условие сходпиости процесса ЗеИдели Теор ема. Если для линейной системы х=ах+р выполнено условие !(~!! <' где л )) а(( = п1ах лс~~ ~!ат / г 1 то лроиесс Зейдгля сходится к единственному решению системы (1) лри любом выборе начального вектора. Доказательство. Пусть х®= 1-1 л х тР,„хй>+ ~~1',сс х)ь-1> ( (), (1=1,2,..., и;я=112,...) (2) г=1 1=1 11» 324 СХОДНМОСТЬ ИТЕРАЦИОННЫХ ПРОИЕССОВ (ГЛ. 1Х Для точного решения х=(х„ха,..., х„), которое существует и единственно, имеем: 1-1 й х; =,) а,/х + ~~'./ ~//х~+ ()/.
(3) /=1 /=1 Вычитая из равенств (3) соответствующие равенства (2), получим: Просуммировав последние неравенства, будем иметь: а 1 — 1 ~ ) х/ — х< ' ! = ~ ~ (а// Й х/ —.х/ ~ )+ ~ ~~'./ ( а// Йх~ — х~/ или, меняя порядок суммирования, получим: Л вЂ” 1 ~ч.', (х/ — х'; ')~,)'„,(х/ — х'/'! ~~.", )а/у(+,Я~(х~ — х) "(~~~~(а/у(.
(4) 1=1 1=1 1=/+1 ' /=1 1=1 г„=-О, /„= ~)а„). 1=1 Очевидно, г/+/у — ~, /а//) ( !!а!)1(1; 1=1 отсюда г/(1. Неравенство (4) принимает вид ~ (х, — х1 /~ ~ ( ~ г ! ху — х/ (+ ~ //) х/ — х/ "! 1,.1 /= 1 /=1 пли ~, (1 — г ) ( х — х'; / ~ ~ ~~.", / ~ х/ — х,' /=1 /=1 /=1 Отсюда /-1 )х/ — х';ы)~ ~ Положим л г/ — — ч~~~ (а//(, /=/Р1 а/, (х/ — х//ю)+ ~ а;/ (ху — ху/ "). /=1 !а//)~х/ — х,'-'~+ ~р ~(а;/!!х/ — х/ / 1 (/'=1, 2,..., л). /у — — ~ (а//( (у= 1, 2,..., л — 1) 1'=1 61 Оценка погРешности пРиближений пРОцесс» зейделя 325 Так как Ф ( ЦаЦ1 — гг ~ ЦаЦ1 — гуЦаЦ1= ЦаЦ1(1 — г ), (5) то далее имеем: и и ~(1 — ау)»х,— ","'~~Ца!(,~(,,)»х х<» н~ /и1 1=1 ~()ай Х (1 — ау)»х — хы1» (6) 1 1 Отсюда, переходя к пределу при и — оо и учитывая, что (Щ(1, получим: и Пш ч; (1 —,) ~х,— х,'"»=О.
»-~ н 1=1 Следовательно, 1нп х» =хт (1=1, 2, л) » -~ и что и требовалось доказать. й 6. Оценка погрешности приближений процесса Зейделя по»-норме Пусть и о +,— — ~ (1 — ау) ~х» +" — х» ~» (Н=О, 1, 2, ...). ! 1 Использовав преобразования, аналогичные примененным при доказательстве теоремы предыдущего параграфа, для двух последовательных итераций х»»1 и х»»»ы получим неравенство ((6) 6 5) О»+1'-"= РО» где в силу неравенства (5) из в 5 гг р = П»аХ вЂ” и= ЦаЦ .
1 1 — »1 Отсюда о»+ арли» (р=1, 2,...). Далее имеем и ~ рго» ( рл-го»+... + Ро» ~ 1 о ' З2Е (гл. ух Отсюда при р- ое получим: или где г=пуахгу — — юах ~ (ауу(. I У»У+1 то справедлива также оценка ф 7. Третье достаточное условие сходимостн процесса Зейдели выполнено условие еде то процесс Зейделя для системы (1) сходится к единственному ев решению при любом выборе напольного вектора. Доказательство. Пусть хов с х» и хоч= хоо » сходимость нтвгацнонных пгоцвссов » ~~. '(1 — гу) ~х — хУуы~~ Ро' У а » » У 1 У=е Так как нз формулы (1) вытекает, что о„м ра"'о, Теорема.
Если для линейной системы х=ах+р )) ~~ <1 ))ац=~уг ц'( ауу)', » ~~~~ ~ «уы — «уы ~ У=1 а у) тгвтьв достаточное головин сходимости пгоцвссл ввйдвля .327 соответственно точное решение системы (1) и р-е приближение (р = О, 1, 2, ...) процесса Зейделя для втой системы. Имеем: 1-1 л х;= ~~.', а//х/+ ~ а/ х +р/ 1 1 х, = ~~ а//х/ + ж1 сс//х/ + ()/ (ю ' '%з 1и) %1 (и ы /=1 =1 (/=1, 2, ..., л).
Отсюда 1-1 л х/ — х/и' ~~ а// (х/-х~~"/) + ~ а//(х/ — х~~и ") 1 1 / / и, следовательно, (1-1 и 11 ~ х/ — х) ' ~' ~ (~ ~ ) а//) ~ х/ — х)и' ~ + ~~", ) а 1(х — х1/" ") ~ . / 1 /=/ Применяя неравенство Коши (гл. ЧП, Я У) к сумме всех слагаемых, стоящих в фигурной скобке, будем иметь: 11 1 л 1,— 'Р/<,(Х!,— Г~'<-Х! г — Г ы/) и) /=1 /=1 где и а/ —— ,"У', )а//)1 (/=1, 2,..., л). Суммируя неравенства (2) по / от 1 до л, получим: и Л-1 л Х,~ — ~" ~* Х ~,— )"~* Х Пусть а, + ~ ) х — х)' " ~' ~ г . (3) /=1 4=1 л / Ю/ —— ~~.', г/, Т = ~~'., а/ 1=/+1 /=1 (/=1, 2, ..., д — 1) и Л /-1 л и ~ ! х,— х,'"!' ( ~ ~ г, ~ х, — х' ~*+ 2, 'д', г, ~ х,— хр'-" ~'. 1=1 / Ьи1 /=/ Изменяя индекс суммирования в левой части и порядок суммирования в правой части последнего неравенства, будем иметь: 328 сходимость итигдционных пгоцвссов [гл.
пг Очевидно, я я л 8 + Т = ~ г; = ~~„', '~ ! а;/(в = ~[ийь С 1 (/=1, 2,...,и). (4) Пользуясь этими обозначениями, неравенству (3) мои/но придать вид ,'Я !х/ — х';"('( ~ч"„8/~~/ — х,"1/'+,ч», 'Т, ~х — х)' " [' /т /=т или ~(1 — 8/) ~х/ — х';"'('(,"» Т/~х — х," "~'. /=! /=1 На основании формулы (4) получаем: Т/ — — ~~а[)ь — 8 ( ~[и~)ь — !)и1~ь 8/ —— !~и!|» (1 — 8/).
Поэтому ~~(1 — 8/) ~х — х,'"'~'(Па[[а ~~„'',(1 — 8/)~(х — х1Ф '1~'. (5) /»ц У=» Из неравенства (5) при //) 1 последовательно выводим: ~~~~ ~(1 — 8.) / х/ — х1в» 1» ( ([)аИе»)Я ~ (1 — 8.) ! х/ — ха» ~ . / т Так как за[(ь(1, то отсюда будем иметь: 11 ш,~~ (1 — 8 ) ~ х — х/в' ( ' = О, Р-> м /=1 н, следовательно, учитывая, что 0(8/с 1 (/=1, 2,..., п), подучим: 1пп х~/в» = х/ (/ = 1, 2, ..., л), Литература я девятой главе 1.
В. Н. Фаддеева. Вычислительные методы линейной алгебры, Гостехивдат, М.— Л., 1950, гл. 11, $ 17 н 19. что и требовалось доказать. 3 ам е ч а н и е. Погрешность итераций хоч(р= 1, 2, ...) оценивается аналогично тому, как это было сделано в 9 6. ГЛАВА Х ОСНОВНЫВ СВВДВИИЯ из твории лиивйиых ввкториых прострАиств ф 1. Понятие линейного векторного пространства О п р ед е л е н и е. Упорядоченная совокупность л чисел х=(хд, ха, ..., х„), вообще говоря, комплексных, называется точкой или вектором л-мерного пространства, а числа хы хд, ..., х, называются координатами вектора х [1[, [2), [3). В качестве примеров векторов укажем следующие: 1) свободные векторы на плоскости или в трехмерном пространстве будут соответственно двумерными или трехмерными векторами в смысле данного выше определения; 2) всякое решение лвдбой системы линейных уравнений с л неизвестными будет л-мерным вектором; 3) если дана матрица из л строк и и столбцов, то ее строки будут вд-мерными векторами, столбцы †-мернымн векторами.
Два вектора х = (х, х,, ...,х„) и у = (у, у„ ..., у„) считаются равны м и тогда и только тогда, когда совпадают их координаты, стоящие на одинаковых местах, т. е. если хд — — у; при д=1, 2,...,л. Обозначим вектор (О, О,..., 0) через О и назовем его кулевыи векторояь Суммой векторов х = (х,,ха. ..,х„), у = (у, у, ..., У„) называется вектор х у = (х -(-у,; х,+у,; ° ° ' х +у ) координаты которого суть суммы соответствующих координат слагаемых векторов. Сложение векторов подчиняется нерестановочному и сочетательному законам: 1) х+у=у+х; 2) (х+ у) + е = х+ (у+ «). Аналогично определяется разность векторов х иу.
Вектор †, удовлетворяющий условию ( — х) +х = О, называется противополомсным вектору х. Лсгко показать, что х — у=х+( — у). 330 оввдвния нз твотии линейных ввктотных птосттанств [гл. х Произведением вектора х=(хы х,...,х„) на число й называется вектор йх (Фхт йх21 йх ) Из этого опрелеления вытекают следующие свойства произведения вектора на число: 1х=х; ( — 1) х= — х, где и и 1 — произвольные числа, а х и у — векторы. Для векторов х и у естественно определяется линейная комбинация ссх+ ()у (а„() — числа), как вектор с координатами их1+ [)у1(1= 1, 2,..., и). Любая совокупность а-мерных векторов, рассматриваемая с установленными в ией операциями сложения векторов и умножения вектора на число, не выводящими за пределы этой совокупности, называется линейным векторным пространством.
В частности, совокупность всех и-мерных векторов образует и-мерное векторное пространство Е„. Определение 1. Векторы х"', х"', ..., х' ' пространства Е„ называются линейно зависимыми, если существуют числа с„с„..., с, не все равные нулю и такие, что с х~п+с х~г~+ +с х~ ~ О (1) Пусть, например, с„фО. Тогда из равенства (1) будем иметь: хою=у,х'и+Тех"'+... + Т,,х' где Таким образом, даниеле векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией остальных.
Если же равенство (1) возможно в единственном случае, когда с, = с, = ... = с = О, то векторы х<", х"', ..., х' ' называются 1) 2) 3) 4) 5) е) й (х ~ у) = йх -+ Фу; (к -~-1) х = йх -~- 1х; й(1х) =(я1)х; Ох=О; й 2. Линейная зависимость векторов ст Т1 — — — — (1=1, 2, ..., яг — 1). сы 221 линвйнля злвнсимость ввктотов з 21 линейно независимыми, т. е.
векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда никакая линейная комбинация их, не все когффициенгы которой равны нулю, не является нуль-вектором. Ваметим, что среди линейно независимых векторов, очевидно, не должно быть нуль-вектора. П р и м е р 1. Для случая трехмерного векторного пространства Ез линейная зависимость двух векторов х иу означает, что они параллельны некоторой прямой, а линейная зависимость трех векторов х, у н и†что они параллельны некоторой плоскости. Отметим, что если часть векторов линейно зависима, то вся совокупность векторов также линейно зависима.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
