Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Углом «р между парой векторов х и у называетсв тот угол (в пределах от 0 до 180'), для которого соз «р (х, у) 1хПу!' Днв векторов в трехмерном пространстве это определение согласуется с обычным выражением угла между векторами через скалярное проязведение. Можно доказать, что справедливо неравенство [Ц !(х. у)1~! х Пу! Поэтому угол между векторами в вещественном пространстве будет действителен.
й 4. Ортогоиальиые системы векторов О и р е д е л е н и е 1. Два вектора х и у пространства Е называются оргогональна«ми, если их скалярное произведение равно нулю, т. е. (х,у)=0. (1) Если векторы не нулевые, то ортогональность означает, что угол между ними равен — .
Нулевой вектор, очевидно, ортогонален любому вектору пространства. Таким образом, ортогональность есть обобщенное свойство перпендикулярности. Определение 2. Система векторов х««>, х"', ..., хнм называется ортогональной, если любые два вектора системы ортогоаальны друг другу, т. е. (х«~', х'"') = 0 при /тс Ф. Заметим, что если вектор х"' ортогонален векторам х'", ...,х' ', то этот вектор ортогонален также любой линейной комбинации последних векторов, иными словами, вектор х««> ортогонален пространству, натянутому на векторы х"', ..., х'"'. Действительно, если (х'«', хоч)=0 при й=2, ..., «и, ОРтогональныв системы ВектОРОВ ф 4) то имеем: < с~~ сь»' ' = ~ сь(х<ы хй>) 0 ' / ь= где с„ ..., с †произвольн постоянные.
Т е о р е м а. Ненулевые попарно оргогональные векторы хп', х'з', ..., х' 1 линейно независимы. Доказательство. В самом деле, пусть с,хы'+ с,х"'+... + с„х'"' = О. (2) Умножая скалярно обе части равенства (2) на хп', получим: с,(хм', х"')+с,(х'", х'з')+...+с (х'", х™)=0, или, так как (хсо х")ФО и (хст', хсл)=0 при у~1, то с,=о и с =О. Совершенно так же доказываем, что с,=О, ..., с =О. Следовательно, векторы хы', х"'.
.. хом линейно независимы. С л е д с т в и е. В п-мерном пространстве Е„ортогональная система содержит не более и векторов. Определение 3. Базис е, е„..., е„пространства Е„называется ортогональным, если базисные векторы попарно ортогональны, т. е. (вр Вь) = О при /Ф й (Т', й = 1, 2, ..., и). Если, сверх того, векторы Вт(у=1, 2, ..., и) — единичные, то ортогональный базис называется нормированным (короче, ортонормированным).
В атом случае имеем: (в, вь) = Ьуь, где б „ †симв Кронекера. Простейший ортонормированный базис пространства Е„ как нетрудно убедиться, представляет собой систему ортов е, = (1, О, О, ..., 0), е, = (О, 1, О, ..., 0), е„ = (О, О, О, ..., 1), образующих исходный базис. Ортогональный базис е, е„..., е„всегда можно нормировать, разлепив каждый из векторов в на его длину. Полученные новые векторы / )' (вр е ) образуют ортонормированный базис.
Выразим координаты вектора х в ортонормированном базисе е„е,, ..., е„. Если (3) х=$те,+$хез+... +$„ею то, умножая скалярно равенство (3) справа на е, получим: 3,=(х, е,) (/=-1, 2, ..., и). (4) По аналогии с векторной алгеброй можно сказать, что координаты вектора в оргонормированном базисе равна проекциям вектора на соответствующие векторы базиса. Возводя равенство (3) в квадрат, будем иметь: / ь л (х, х) = ~ ~~р ~ьь е ч", $ е /!- й! и л и и ,Я ~~~ ~$Д (е, в„) = ~~'., $Д1 = ~, [$ [з, (5) ! !я /=! !=! т. е. квадрат длины вектора равен сумме квадратов модулей его проекций на базисные ортонормированные векторы (аналог теоремы Пи(багора).
В частности, если пространство ń— действительное, то формулу (5) можно записать без модуля: и (х, х)= ~чр ($,)х. (5') й 5. Преобразования координат вектора ирн изменениях базиса Пусть е„ е,, ..., е„ и е,, е„ ..., е„ вЂ” два базиса одного и того же линейного пространства Е„. Наждый вектор нового (второго) базиса в имеет в старом (первом) базисе ет некоторые координаты вкн з„, ..., в„н), т. е. е =з,е,+з и,+... +з„,е, (/=1, 2, ..., и). (1) Неособенная матрица Ю=[з;/) называется магрицей перехода от старого базиса к новому ""). Эта матрица является транспонированной по отношени!о к матрице, задающей преобразование базиса.
Пусть х — данный вектор. Обозначим через хг координаты зтого вектора з старом базисе и через $; — его координаты в новом базисе. ") Прн обозначении координат на первом месте указывается номер соответствующего старого базисного вектора, а на втором †ново базисного вектора. *ь) Определитель йе13 ~ О, так как в противном случае векторы ет, еы .., ен были бы линейно зависимы. 340 свидания из твогии линейных вектогных пгостнхнств [гл.
х 2 51 НРВОВРАВОВАниЯ ИООРдинАт ВектоРА НРи изменениЯх ВАзисА 341 Очевидно, что х= Х х;в,= ~ч~,' р,ер /=1 Отсюда, подставляя во вторую сумму выражение (1) для ер получим: л л л л л х = ~~.", х,е, = ~~.", $у ~~„', 'в, в! —— ~ е! ~ З,Д. ! 1 ! 1 11 /1 хглл Х в(~Яу (1=1, 2,, н). ! 1 Если обозначить (2) Ех„ то соотношение (2) можно переписать в следующем матричном виде: х=о$, (3) т. е. вектор в старых координатах (базисе) равен матрице перехода 5 (или транспонированной матрице, задающей новый базис), умноасенной на вектор в новых координатах. Из формулы (3) получаем: й=Ю 'х. (4) Отметим один важный частный случай, аналогичный преобразованию прямоугольных координат. Пусть старый базис в„в, ..., в и новый базис е„ е,, ..., ел действительны и ортонормированы, т.
е. (во в!)=Ь!т (е), е-)=б), где б! — символ Кронекера. Тогда из формулы (1) вытекает: (3') ,„=(,, ~г) (! )=(, 2, .... ), (б) ')и „„,, л„л, ю* о как преобразованный вектор, отнесенный и старому базису. Следовательно, в силу линейной незавясимости векторов и„ Вз, ..., Вл НаХОднМ: 342 сведения из ткогии линвйных вектогных пгостглнств (гл. х т.
е. элементы матрицы перехода 8 являются направляющими ко- синусами и могут быть заданы таблицей 24. Таблица 24 Косинусы углов между ортами двух базисов Подставляя выражение (1) в формулу (5'), в силу формул (5) получим: / х х х (ер е») = ( ~~'., з,~во ~ ед»в,) = ~~Р ~з; зы — — 67», г=! ( 1 1=1 т. е. 1) суммы парных произведений соответствующих направляющих косинусов различных координатных осей новой ортонормированной системы равны нулю и 2) сумма квадратов направляющих косинусов для каждой новой координатной оси равна единице. Отсюда БЬ=Е, (7) т.
е. матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортогональна (подробнее об ортогональных матрицах см. $6). й 6. Ортогоиальные матрицы А называется орто- А' совпадает с об- О п р е д е л е н и е. Действительная матрица гональной, если ее транспонированная матрица ратной А ', т. е. А'=А» яли АА' = А'А = Е.
(2) Ортогональная матрица имеет следующие свойства. 1. Строки (столбцы) ортогональной матрицы попарно ортогональны. огтогонллизацня млтгнн ф 7) действительно, если А= (а1 ), то из равенства (2) имеем: ~~а~ а1ьауа — О пРи 1 ФУ ь=т ,~[' а 1а„=О при ь ь 2. Сумма квадратов элементов каждой строки (столбца) ортогональной матрицы равна 1. Из равенства (2) прн 1= у получаем: л Ф ~л'„, ар = ~ ам = 1. ь 1 ь 3. Определитель ортогональной матрицы равен ~1.
В самом деле, на основании равенства (2) имеем: бе1А бе1А' = бе1Е. Отсюда, так как бе1А'=бе1А и бе1Е=1, то (бе1А)е = 1 н, следовательно, бе1А = ~1. 4. Транспоннрованная н обратная матрицы ортогональной матрицы суть также ортогональные матрицы. Это свойство непосредственно вытекает из формул (1) и (2).
й 7. Ортогоиализация матриц Пусть имеем матрицу с действительными элементами а,„ а1, ... а,„ а®ь ааь ... аа„ а„, а ь ° .. а„„ Столбцы матрицы А будем рассматривать как векторы а1у аау а'й= ' (у=1, 2, ..., л). а„у Следовательно, эту матрицу можно записать в таком виде: А=[~ '")...) 344 свндяния из твотни линяйных ввктотных птосттанств [гл. х Т е о р е м а 1. Всякую действительную неособенную матрицу А можно представить в виде произведения матрицы с ортогональными столбцами на верхнюю треугольную матрицу, т. е. А = тсЛ, где [т — матрица с ортогональными столбцами и Т вЂ” верхняя треугольная матрица с единичной диагональю.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для простоты доказательство теоремы проведем для случая, когда порядок матрицы п=3. Однако рассуждения будут иметь общий характер. Пусть а11 аы аи А = а„ачь ать ам вы с, Запишем зту матрицу в виде ы А = [ап' а'" а"'), ~ать где а'Л = ~ азу ~ — векторы-столбцы. ат~ Рнс. 51. )с = [т'н т™ т"'), где тса (у=1, 2, 3) — искомые ортогональные столбцы. Положим т'и = ап'. Далее, вектоР анн Раскладываем на составлающие 1тзт'н н т"', из которых перваи направлена по вектору т'т', а вторая перпендикулярна (ортогональна) к нему (рис.
51), т. е. анн = 1тзтлм+ т"', (2) где (т'", т"')=О. (2') Аналогично вектор а"' раскладываем на три составляющие агат'", Гтзтлт' и т'а', из которых первые две направлены соответственно по Так как матрица А — неособенная, то векторы аы', а'а', а'а' линейно независимы. Действительно, если бы вти векторы были линейно зависимы, то в бе1 А один из столбцов являлся бы линейной комбинацией двух других н, следовательно, бе1А = О, что невозможно.
Будем искать матрицу )т также в виде 345 оттогонализлция матгиц й 7) векторам г<ы и г'з', а последняя перпендикулярна как к вектору г"', так и к вектору Г'з' (рис. 5>), т. е. а<з' = 1 г'з'+ зззг<з> + г<з> (3) где (гц> г<з>) 0 и (г<з> г<з>) 0 (3') (а'", г'и) =~„з(гц>, г"'), (г'", г'"') ~:О.
причем Следовательно, (а'", г"') зз = (г<п г<п) г<з>=ако — С гц>. зз Заметим, что в силу неособенности матрицы А вектор г з' = а з'ф О и поэтому (г"', г<з>)„-йО. Кроме того, г<з>ф.О, так как в противном случае векторы асы и а'з' были бы линейно зависимы. Аналогично, умножая скалярно обе части уравнения (3) последовательно на г"' и г'з', в силу условий ортогональности (2') и (3') получим: (а<'>, г">)=г>з(г<з>, г<"); (а">, г'з') = т„(г<з>, г"'). Отсюда, учитывая, что (г'з', г'<') ~0 и (г'з', г'з') ныл, будем иметь: (а'з', г"') (а"', г'") 'з (г<», г<»)' зз ( <'>, г">) г<з'=а<в> — ~ г<з> — ~ 'з>. зз зз Легко проверить, что так построенные векторы г'", г'з' и г'з' попарно ортогональны.
Таким образом, окончательно имеем: а<з> г<з> а"'=т г"'+ гм' = >з (4) аз'= 1>зг<»+ 1ззг<з>+г"', где (а"', г"') (гп' >"л) (г"', го>) =0 прн Х.фу. Из построения ясно, что векторы г'з', г<з> и г<з> будут взаимно перпендикулярны. Определим из системы (2) и (3) как векторы г'з' и г'з', так и коэффициенты 1<а Умножая скалярно обе части уравнения (2) на г'".=а"', в силу условия ортогональности (2') получим: 346 сввдхния из твогии линвйных ввктогных пгостгвнств [гл. х Очевидно, что система (4) эквивалентна матричному уравнению азз аа ам азз ащ азз или А =КТ, гле )х = [г!!) — матрица с ортогональными столбцами, а Т= [!!у)— Верхняя треугольная матрица с единичной диагональю.
П р и м е р. Ортогонализировать столбцы матрицы А= 1 2 О Тогда (а'в>, г'з') 1 О+2 1+О 2 !1в (г( ' гп)) Оз+1в+2з 0'4 Теперь найдем г'з>=а'з' — ! г'з'= 2 — 0,4 ! =* 1 6 Для определения г'в® вычислим ! з и ! в. Имеем: (а'в>, го') 2 О+О 1+1 2 2 !зв — (г~зз гц>) — 6 — 6 — 0,4! (а"', з"з') 2 1+О 1,6+1 ( О'8) — 1'2 0 3 (г'зз, гзз') 1з+1,6з+0,8з 4,2 Отсюда гзв~ взвн ! г~з~ ! вгзвз Π— 0 4 ! — 0 3 1,6 — Озйа Итак, гзз гзз г,з гвз г г в гзз гзз гвз Решение. Положим ГО! гзм ! п(з> 2 1 ззв !зз О ! !вв О:О 1 347 огтогонллизлция мьттиц 6 7) причем векторы т<1) = 1; Гы) = 1,6 1 Г О'66 А'=РТ, (6) где Р†матри с ортогональными столбцами и Т вЂ верхн треугольная матрица с единичной диагональю.
Транспонируя равен» ство (6), получим: А= Т'Р', 17) где Т вЂ” нижняя треугольная матрица и Р' — матрица с ортогональными строками. Таким образом, указанный выше прием ортогонализации столбцов матрицы годится также и для ортогонализации строк, и мы имеем теорему. Т е о р е м а 2. Всякую действительную неособенную матрицу можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы с единичной диагональю и матрицы с ортогональными строками.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
