Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 48

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

ничный вектор и, очевидно, переходит в вектор (соз а, а[па), а единичный вектор е,-в вектор [ — сйпа, соха). Следовательно, согласно сказанному выше матрица преобразования есть А= сова — з|п а1 ипа сова[ ' и мы снова приходим к формулаи (4). Ь 16)' линкйныв пгвовглзовлния пвнеменных 363 (А + В) х = Ах ~- Вх; (аА) х= а(Ах); (ВА) х=В(Ах), (5) (5') 2) (5") 3) где х — вектор.

Легко проверить, что если А и  — линейные преобразования, то результирующие преобразования А+В, аА н ВА также линейные. Имеет место следующий принцип: каждому действию!) — 3) над линейными преобразованиями соответствует такое же действие над матрицами этик линейнык преобразований, т. е. формулы (5), (5'), (5") можно понимать в буквальном смысле. Для доказательства ограничимся третьим случаем (5') [формулы (5) и (5') проверяются более просто). Пусть нам требуется последовательно выполнить два линейных преобразования: у,=а„х,+а„х +... +а,„х„, у,=а„х,+а„х,+... +а,„х„, (6) у„=а„,х, + а„,.к. +... +а„к„ с матрицей А = [а; Д и е,=ь„у,+ь„у,+...

+ь,.у., е,=ь„у,+ь„у,+... +ь,„у„, (7) «„=ь„у,+ь„,у,+... +ь„„у„ с матрицей В=[Ь/7]. Обозначим через С=[с/у[ ваний в указанном порядке, т к переменным з,, аз, ... н' н (7) в виде матрицу композиции этих препбраао. е. перехол от неременныл х, к, х„ Коротко записывая преобразования (6) у„= ~ а„х / (6') [й= 1, 2...,, а). Определим следующие действия над линейными преобразованиями А и В: 1) сложение А+В; 2) умножение на скаля р ссА; 3) умножение (композиция) ВА с помощью естественных соглашений: 364 сввдвння нз твогин линейных вектогных пгостнанств (гл. х н подставляя формулу (6') в формулу (7'), получим: н / и а и Я;=ДЬ;а~ ~чР аа/х/) = Г; х/ ~чР~ Ьгааь/.

=1 /=з а (8) Таким образом, коэффициент при х/ в выражении для ян т. е. элемент с~/ матрицы С, имеет внд сг/ — — Ч~~~~Ьыаь/ — — Ь| а /+Ьыав/+... +Ь,„а„/. а=! Мы видим, что элемент матрицы С, стоящий в (-й строке и усм столбце, равен сумме пронзведеннй соответствующих элементов т-й строки матрицы В и /ьго столбца матрицы А, т. е." совпадает с соответствующим элементом произведения матрицы В на матрицуА.

Следовательно, С=ВА. Пользуясь матричными обозначениями, доказательство можно провести значительно проще. Пусть Х1 ха н х= — соответствующие векторы. Из формул (6) и (7) имеем: У=Ах и х=ВУ. Отсюда я = В (Ах) = (ВА) х. Следовательно, матрица результирующего преобрааования С=ВА. П р н м е р 4. Найти результат последовательного выполнения линейных преобразований: у,=бх — х +Зх,; уз =х — 2х; у,=7х,— х, Ят = 2Ут+Уа аз =Уз -буа, л =2уз. Решение. Напишем матрицы преобразований 1 — 2 О 7 А=~ З овглтное пгеовевзовлнив 5 111 Перемножая зтн матрицы, получим матрицу результирующего преобразования О ! — 5 ! — 2 О = 1 — 37 5 С=ЗА = Следовательно, искомое линейное преобразование имеет следующнй вид; г, = 10х, + 5х, — 5х„. я, =х — 37х +5х; з =2х — 4х .

й 11. Обратное преобразование Пусть данное линейное преобразование у =а„х,+а„х,+... +а,„х„, у = а х -1- а х,-)-... + а „х„, у„=а„,х,+а„,х,+... +а„„х„ переводит систему переменных х„х„..., х„в систему переменныху,у, ...,у„. О п р е д е л е н и е. Преобразование, переводящее систему переменнык у, у, ..., у„в систему переменных х, хз, ..., х„, называется обратным по отношению к преобразованию (1). Формулы обратного преобразования мы получим, разрешив систему (1) относительно переменных х„хю ..., х„.

Пусть Агу(г, у=1,2,..., и) — алгебраические дополнения элементов агу матрицы А=(агу) н бе(А = бе![а,Д =-Л фО. Умножая уравнения системы (1) соответственно на А, А,, „А, н складывая, в силу известной формулы будем иметь: А,у +А,у,+... +А„,у„= Ьх . Аналогнчно выводим: АыУ (.А„У,-(.... +А„,У„= Ьхе! А„У,+Аа„Ув+... +А пУ ~Мхе. 366 сведения из тяотии линяйных вяктогных птосттянств [гл. х Отсюда хд= й Уд+ — йуз+ А„Азд хз= л Уд+ л Уз+ Адз А хллл й Уд+ 1 Уз+ + ь Ул Адл Азл Алл Таким образом, обратное преобразование линейного преобразования также является линейным (если оно существует).

Т е о р е и а. Линейное преобразование имеет однозначное обратное преобразование тогда и только тогда, когда матрица данного преобразования †неособенн. Обратное преобразование линейного преобразования есть линейное, и его матрица является обратной по отношению к матрице исходного преобразования. Дока за т ель ство. Если А= ~адД вЂ” матрица преобразования (1) и дд = бе1 АфО, то обратное преобразование существует и определяется формулами (2). Матрица обратного преобразования, очевидно, равна ®=А Если сд = О, то, как известно из алгебры, уравнения (1) нельзя однозначно разрешить относительно переменных х,х„ ...,хл. Следовательно, однозначного обратного преобразования не существует, причем обязательно найдутся значения переменных уд, уз,...,ул, для которых не существует соответствующих значений переменных х„х„..., хл. Линейное преобразование в атом случае называется вырожденным.

3 а и е ч а н и е 1. Запишем преобразование (1) в матричной форме (3) У=Ах, где А=[ад~1 — матрица преобразования; х и у — векторы-столбцы. Если преобразование А — невырожденное (йе1АЧиО), то существует обратное преобразование х=А 'у, (4) и каждому вектору х из и-мерного пространства Ох, х,...х„, в силу формулы (3), соответствует один и только один вектор у итого пространства, т. е. формула (3) преобразует пространство Охдхз...хл в самого себя. Если преобразование А — вырожденное (бе[А=О), то формула (3) преобразует пространство Охдхз...х„в надпространство низшего числа измерений.

368 свядкння из ткогни линвйных вяктотных птостганств (гл. х Здесь собственными векторамн являются: 1) ненулевые векторы х, направленные по осн Ох, с собственным значением Х, *1 и 2) ненулевые векторы у, направленные по оси Ох„с собственным значением Х =О (рнс. 54). Те о р ем а 1. В комплексном векторном пространстве каждое линейное преобразование (матрица) имеет по меньшей мере один действительный или комплексный собственный вектор. Доказательство. Пусть А— матрица линейного преобразования. 4г Собственные векторы матрицы А являются ненулевыми решениями матричного уравнения Ах=Ах нли (А — ХЕ) х=б, (3) Рнс.

54. где матрица А — ХЕ называется характеристической матрицей. Уравнение (3) представляет собой линейную однородную систему, которая имеет ненулевые решения тогда н только тогда, когда определитель системы равен нулю, т. е. должно выполняться условие (4) бе1 (А — ХЕ) О. Определитель (4) называется характеристическим (вековым) определителем матрицы А, а уравнение (4) называется характеристическим (вековым) уравнением матрицы А. В развернутом виде характеристическое уравнение (4) запишется следующим образом: ап и аы аь, аж — й ... ась (4') аю анм " апь — Х Х"-о,8' '+оаХ" ' —... -)-( — 1)" то„тХ+( — 1)"о„=О.

(5) Полинам, стоящий в левой части уравнения (5), называется характеристическим полиномом матрицы А. Коэффициенты его о;(1=1,2,...,п) определяются по следующим правилам. Коэффициент от равен сумме диагональных элементов матрицы А, т. е. и о, =~~' аы. Это число называется следом матрицы А н обознача- Г=т ется так: о =Зр А. Коэффициент о есть сумма всех диагональных миноров второго порядка матрицы А. Вообще, коэффициент аь 6 12) советвенныв внктогы и совствянныв знлчнння млтгнцы 369 есть сумма всех диагональных миноров к-го порядка матрицы А.

Наконец, свободный член и„ равен определителю матрицы А: а„= де1А. Характеристическое уравнение (5) есть алгебраическое уравнение и-й степени относительно Л и, следовательно, как доказывается в алгебре, имеет по меньшей мере один действительный нли комплексный корень. Пусть Л„ Лю ..., Л (и ( л) — различные корни уравнения (5). Эти корни называются собственными значениями, или характеристическими числами, матрицы А, а совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы А.

Возьмем какой-нибудь корень Л = Лу и подставим его в уравнение (4). Тогда будем иметь (А — ЛгЕ)х = О или, в развернутом виде, (а„— Лг) х, -1- а „х, +... + а,„х„= О, ашх,+(а„— Л ) х,+... + а,„х„=О, (6) а„х,+а„,х,+... +(а„„вЂ” Лг)х„=О. Так как определитель системы (6) бе1(А — ЛуЕ) = О, то эта система заведомо имеет ненулевые решения, которые и являются собственными векторами матрицы А, соответствующими собственному значению Лг. Если ранг матрицы А — Л Е равен г(г < л), то существует к= п — г линейно независимйх собственных векторов х'"', х"л, ... х'л" отвечающих корню Лр Теорема доказана. Замечание.

Можно доказать, что число линейно независимых собственных векторов, отвечающих одному и тому же корню характеристического уравнения, не превышает кратности этого корня. Отсюда, в частности, следует, что если корни характеристического уравнения (5) различны, то каждому собственному значению соответствует с точностью до коэффициента пропорциональности один и только один собственный вектор.

Приме р 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А=-[1 2 Р е ш е н и е. Составим характеристическое уравнение матрицы А: 370 сввдвния из твогии линвйнык ввктогнык пгостглнотв [гл. х Отсюда (Х вЂ” 1)а (4 — Х) =0 и Хт —— Ха= 1; Ха=4. Возьмем Х = 1 и подставим в уравнение (А — Х Б)х=О. (7) Имеем: =О или х1+ха+ха 0 х, +х,+х„=О, х,+х,+х =О. (8) Так как ранг матрицы системы (8)' г=1, то два ее уравнения являются следствием третьего (что, впрочем, очевидно). Поэтому достаточно решить уравнение х,+х,+х =О.

Характеристики

Список файлов книги