Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Теорема 1. Если матрица А — действительная и собственные значения ее попарно различны, то существуют два базиса (ху) и (х'.) пространства Е„, состоящих соответственно из собственных 1 векторов матрицы А и собственнык векторов транспонированной матрицы А', удовлетворяющих следующим условикн биорюнормировки: О при /чйй, (х, х') = 1 при у= к. Доказательство. Пусть й„Х„..., Х„-собственные значения матрицы А. Так как матрица А — действительная, то, как мы знаем, собственные значения ее — попарно сопряженные, т. е.
наряду с собственным значением Хт сопряженное число й' также является собственным значением матрицы А. Обозначим через ху(/= 1, 2,..., и) соответствующие собственные векторы матрицы А, т. е. Ах = Х х Ц= 1, 2, ..., и). (1) Векторы (хуан образуют базис пространства Е„($12, теорема 2, следствие). Так как определитель не изменяет своего значения при замене строк столбцами, то йет (А' — йЕ) ж йе1(А- ХЕ) 384 сведения нз теотим линейных ввктоеных птостганств [гл. х всегда можно найти собственный базис [хт) трансионированной матрицы А' такой, что (х, х',)=Ь„, (8) где дта †симв Кронекера.
Следствие. Бели матрица А — действительная и симметрическая (А'=А), то можно наложить: х1=х~Ц=1, 2, ..., и), где ху — нормированные собственные векторы матрицы А (см. $15). Тогда (хр х„) =йть. Выведем еще так называемое билинейное разложение матрицы А. Теорема 2. Пусть А — квадратная действительная матрица и (т'= 1, 2, „., и) — ее собственные векторы, рассматриваемые как матрицы-столбцы, и Х' =[к',ь ... х„'ь) (й=1, 2, ..., и) — соответствующие') собственные векторы транспонированной матрицы А', рассматриваемые как матрицы-строки, причем выполнены условия биортонормировки (8): (Х, Х )=ХХ =б „.
(9) Тогда имеет место соотношение А = 8,Х,Хг + Хз Ха Х, +... + Х,Х„Х„, где Хы лз, ..., 8« — собственные значения матрицы А. Доказательство. Рассмотрим иатрицы (10) кы ° х,« к„, х«« «с «) То есть отвечаюшме тем же собственным значениям матриц А и А'. состоящие соответственно из столбцов Х~(у= 1, ..., и) и строк Х'ь(н = 1, ..., а». В силу равенства (9) будем иметь: Т « Х'Х= ~ ~~~, хыхау — — [ХТХд~ =Щ =Е, (11) где Š†'единичная матрица. Так как матрица Х состоит из линейно ЛИТЕРАТУРА К ДЕСЯТОЙ ГЛАВЕ 385 независимых столбцов, то она — неособенная, т.
е. де! Х~~ 0 и, следовательно, существует обратная матрица Х '. На основании равенства (11) (см. гл. ЧП, 9 4, теорема, замечание 1) имеем: Х '=Х'. Отсюда вытекает, что ХЛ" = Е, и, таким образом, мы получаем вторые соотношения биартогонольнасти (7) л ~Р ~хг,к;А=5, .
(12) А=и Используя эти соотношения, имеем: Х Хи + Х Хи +... + Х„Х„= и!х! х! ) + г(х! х! ] +... + 11х1„х '„) = л = ~ ~ч~ ~х!Ахр, = (б! )=Е, т. е. Е= Х,Л;+Х,Х,+... +Х„Х„. Умножая это равенство слева на матрицу А и учитывая, что АХ7 — — А|Х (7=1, 2, ..., и), очевидно, получим равенство (10). Обратим внимание на то, что в фориуле (1О) Ху и Х! (7'= 1, 2,...,л)— собственные векторы матриц А и А', соответствующие одному и т о и у ж е собственному значени!о Ал вопреки обозначениям теоремы 1, где ху и х; — собственные векторы матриц А н А', соответствующие к о и п л е к с н о с о п р я !к е н н ы м собственным значениям А и А!. Литература к десятой главе 1.
Г. Е. Шилов, Введение в теорию линейных пространств, Гостехнздат, М вЂ” Л., 1952, гл. 1 — 1Х. 2. И. М. Г ел ь фанд, Лекции по линейной алгебре, Изд. 2., Гостехнздат, М. — Л., !95!„гл. 1 — 1!. 3. А. И. Мал ь цен, Основы линейной алгебры, Гостехиздат, М.— Ло !948, гл. 1 — 111.
4. А. С. Х а у с х о л д е р, Основы численного анализа, ИЛ, 1956, гл. !1. 5 Ю. А. Ш р е й де р, Решение систем линейных алгебраических уравнений, Докл. АН СССР, 5 (195!). 6 Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, Гостехнздат, М., !953, гл. Ч!!!. В. Н. Ф адд ее за.
Вычнслительные методы линейной алгебры, Гостехиздат, М.— Л., !950, гл. 1. !З Н. П, Дииидоиич и И. А. Мирон ГЛА В А Х1* ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2 1. Сходимость матричных степенных рядов Т е о р е м а 1. Матричный степенной ряд Ш ~ а„Х» с числовыми коэффициентами а» сходится, если все собственные значения Аы А», ..., Х„матрицы Х расположены з замкнутом круге сходимости ~х(~(Л (рис.
56) скалярного т степенного ряда ,Я а„х» (2) »та (х = $+(т)), причем собственные значения, лежащие на окружности круга скодимости, простые и являются точками сходимости ряда (2). Ряд (1) расходится, если хотя бы одно собственное значение матрицы Х находится вне замкнутого круга сходи- мости ряда (2), или имеется собственное значение матриц»в Х, лежащее на окружности круга сходимости, для которого ряд (2) расходится. Доказательство. 1) Пусть матрица Х такова, что (Х,!(Л, ..., )А„(<й. Предположим лля простоты, что собственные значения Аг (у=1, 2, ..., л) матрицы Х вЂ” простые. Тогда матрица Х с помощьво неособенной матрицы 5 может быть приведена к диагональному виду 387 Введем обозначения Г„(Х)= ч,' айХ", й=о у' (х) = ~™ айх й й= о т(х) = 1пп ~„(х) .= ~„а х".
м о й=о Так как числа А расположены внутри круга сходимости степенного рвла (2) илн совпадайот с точками сходимостн этого ряда, принадлежащими окружности круга сходилгостн, то супйествуйот конечные прелелы Поэтому, переходя к пределу при лй — оо в формуле (3), получаем: Г(Х) = ~. (Х) =~-'(У(),,), ".. ЛА.)13 (4) т.
е. матричный ряд (1) в точке Х сходится. Можно доказать также, что утверждение теоремы верно н для случая кратных собственных значений А., на чем мы останавливаться не будем (11. 2) Пусть, например, хотя бы одно собственное значение Ай матрицы Х таково, что (А,( >1с. Так как А лежит вне круга сходимости степенного ряда (2), то ,г"„(А,) при ий — оо не имеет предела.
Из формулы (3) следует, 1то Р' (Х) при лй — оо также не имеет предела, т.е. ряд (1) п точке Х расходится. Аналогичный результат получается, если 1Ай~ = 1с и ряд ~ч~~ айАй расходится. 3 а меч ание. Из формулы (4) следует, что если Х„Ай, ...,)й„ есть простые собственные значения матрицы Х, то у()йй), у()йй),... , У()й„), где У( )=Х' Имеем: Г (Х)= ~чР й=о сходимость млтРичиых степенных РядОВ а„(5 '(Ай... „),,13)" 3-й~ ~~ а р~ ф \й о =5 '[У„А), ..., У„(А„НЮ. (3) ~(Хг) = 1пп у',о (А ) (у= 1, 2,, л). 388 дополнит.
сведения о сходнмости нтяелцнонных пгоцессов [гл. х~ являются собственными значениями функции Г(А) ~ч~ аьХ". ь ь В частности, собственными значениями матрицы Х» являются числа Т е о р е м а 2. Матричная геометрическая прогрессия Е+Х+Х'+...
+Хе+..., (5) где Х вЂ” квадратная матрица порядка и, сходится тогда и только тогда, когда все собственные значения л =я (Х) (7=1, 2, ..., п) матрицы Х расположены внутри единичного круга ~ х" я=ь (7) радиус сходимости )с=1, причем прн )я[=1 ряд (7) расходится, то в силу теоремы 1 геометрическая прогрессия (5) сходится лишь при выполнении условий (6). Если ряд (5) расходится, то [ й, ! =ь 1 (7'= 1, 2, ..., и). Отсюда, предполагая для простоты, что собственные значения й„..., я„различны, будем иметь: Х=б 1[)сы ..., й„13, где 3 — неособенная матрица.
Поэтому 'Хе=5-1р.и ..., ЧЯ, и, следовательно, Х ть0 при й оо. Последнее утверждение остается справедливым и при наличии кратных значений йр на чем мы останавливаться не будем. 'Г е о р е м а 3. Модуль каждого собственного значения йы ..., Х„ квадратной матрицы Х ле превосходит любой ее канонической нормы, т. е.
[ну[())Х([ (/=1, 2, ..., и). )йт[ч..1 (у=1, 2, ..., и), (6) причем если ряд (5) расходится, то Хь-та О при м — оо. Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, так как дли соответствующего степенного ряда 8 2) 389 тождество глмильтонл — квли Доказательство. Положим ~~Х8=Р н рассмотрим матрицу )г= — Х, Р+в где в ~ О. Очевидно, 8у~)= — '!!Х!)= и <1. (8) Следовательно (гл. УП, 210, теорема 5) ряд Е+ )г+ уа+...
+ у~+... сходится. Отсюда в силу теоремы 2 заключаем, что собственные значения (хт ° ° ., )ь„матрицы 1' удовлетворяют неравенствам ~ )хт ~ ( 1 (у= 1, 2... „л). Но из формулы (8) вытекает, что ! )ьу — — — А (у=1, 2, ..., л]. Следовательно, (Ху) к. р+в (/=1, 2, ..., и) или, ввиду произвольности числа в, (Х ((р=))Х8 (у=1, 2, ..., п), что и требовалось доказать. 8 2. Тождество Гамильтона — Кели Т е о р е и а. Всякая квадратная матрица Х является корнем своего характеристического полинома, т. е. если р()) =) "+рт)~" '+" +р., где 1р (Х) = бе1 (ХŠ— Х), то тр(Х) =Л +р,Х" '+... +р„Е=О. Х = В-т Р,„) ю ..., ),1 В. До к а з а т е л ь с т в о.
Пусть все собственные значения Х„ ..., Х, матрицы Х, т. е. корни характеристического уравнения ч (Х) = О, различны. Тогда матрицу Х с помосцью некоторой неособенной матрицы 5 можно привести к диагональному виду ЗЭО дополнит. свидания о сходнмости итвглционных пгоцвссов (гл. х~ Так как чр(Х) представляет собой частный случай матричного степенного ряда, то на основании формулы (4) из $ 1 имеем: ф(Х)=З- (ф(й,), ф(Ль), ..., ф().Дд. Но, очевидно, зр()./) =О 0=1, 2,, и). Поэтому 1() (х) =д '(о, о, ..., О~в=о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
