Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 54
Текст из файла (страница 54)
м. данилевского Преобразованные элементы третьего (отмеченного) столбца получаются с помощью умножения исходных элементов на лгаа= 0,5. Например, Ь,з=3 0,5=1,5; Ь,а=2.0,5 = 1; Ьзз = 1 ' 0 5 = 0 5! Ьаз=2'05=1. Заметим, что последняя строка матрицы В должна иметь вид 00!О. Для контроля пополняем матрицу В преобразованныин по аналогичныи двучленным формулам с лг = — — 5 соответствующими элементами столбца Х.
Например, Ь„=!0+3 ( — 5) = — 5; Ьав= 8+ 2'( 5) = 2' Ь,=8+1 ( — 5) =3; Ьав= 10+2'( 5) =О Полученные результаты записываем в столбце Г в соответствующих строках. Прибавив к ним элементы третьего столбца, будем иметь контрольные суммы Ьы —— ,)'.~Ьг| (1= 1, 2, 3, 4) / а для строк 5 — 8 (столбец Х). Преобразование М, ', произведенное над матрицей В и дающее матрицу С=М, В, изменяет лишь третью строку матрицы В, т. е, седьмую строку таблицы. Элементы этой преобразованной строки 7' получаются по формуле (10), т. е. представляют собой суммы парных произведений элементов столбца М т, находящихся в строках 5 — 8, на соответствующие элементы каждого из столбцов матрицы В.
Например, сз1=4( — 5)+3( — 2) +2 1= — 24 н т. д. Те же преобразования производим над столбцом Х: с„=4( — 3,5)+3( — 1)+2 3,5+1 1= — 9. В результате получаем матрицу С, состоящую из строк 5, 6, У', 8 с контрольными суммами Х, причем матрица С подобна матрице А и имеет одну приведенную строку 8. Этим заканчивается ч построение первого подобного преобразования С=М, 'АМ„. нахождение совственных значений и ВектОРОВ [Гл. хп 4 40 56 3! 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 Отсюда вековой определитедь, приведенный к нормальному виду Фробениуса, запишется так: 4 — Х 40 1 — Х о 0 0 56 20 0 0 — Х 0 1 — !д О(Х) = или й ()д) = ла — 4Х — 40Аа — 56)д,— 20.
$ 4. Исключительные случаи в методе А. М. Данилевского Процесс А. М. Данилевского происходит без всяких осложнений, если все выделяемые элементы отличны, от нуля. Мы остановимся сейчас на исключительных случаях, когда зто требование нарушается. Допустим, что при преобразовании матрицы А в матрицу Фробениуса Р мы после нескольких шагов пришли к матрице вида адд ада " ада " ад, »-д ад» аад ааа " ааа " аа,» д аа» а„ а„, ... ааа ...
а, „ , аа„ 0 0 ... 1 ... 0 0 0 0 ... 0 ... 0 0 0 0 ... 0 ... 1 0 причем оказалось, что а» а д = О. Тогда продолжать преобразование по методу А. М. Данилевского нельзя. Здесь возможны два случая. Далее, приняв матрицу С за исходную и выделив элемент сад =- = в 15 (второй столбец), продолжаем процесс аналогичным образом. В результате получаем матрицу О=М, 'СМа, элементы которой расположены в строках 9, 10', 11, 12, содержащую две приведенные строки.
Наконец, отправляясь от элемента аад —— 6 (первый столбец) и преобразуя матрицу О в подобнуао ей, получаем искомую матрицу Фробениуса Р, элементы которой записаны в строках 13', 14, 15, 16. На каждом этапе процесса контроль осуществляется с помощью столбцов Х и Г. Таким образом, матрица Фробениуса будет: э 5) вычисления совета. вектогов по мвтодт». м. д»нилввского 411 1. Пусть какой-то элемент матрицы О, стоящий левее нулевого элемента И» » м отличен от нуля, т. е. Ф» счев О, тле с'ч. Й вЂ” 1.
Тогда этот элемент выдвигаем на место нулевого элемента Ф» „ м т. е. переставляем (А — 1)-й и Ай столбцы матрицы О и одновременно переставляем ее ((»вЂ 1)-ю и Рю строки. Можно доказать, что полученная новая матрица 1У булет подобна прежней. К новой матрице применяем метод А. М. Данилевского. 2. Пусть с(ы — — О (с = 1, 2, ..., А в 1), тогда Е) имеет вил с»с с,», с,» с» „ с„ с,» с» » » ... с» , „ , с» с» ,, с» , „... с„ , » , О О ...
О О О ... О с»„ ... с» „ » с»„ 1 ... О О О ... 1 О (11») О О ... О (01 [ о!о~ При этом матрица с»» уже приведена к канонической форме Фробениуса и поэтому бе((»У» — ХЕ) вычисляется сразу. Остается применить метод А. М. Данилевского к матрице О . В 5. Вычисление собственных векторов но методу А. М.
Даинлевского Метод А. М. Данилевского дает возможность определять собственные векторы данной матрицы А, если известны ее собственные значения. Пусть 1 †собственн значение матрицы А, а следовательно, и собственное значение подобной ей матрицы Фробениуса Р. Найдем собственный вектор у = (ум у„ ...,у„)матрицы Р, соответствующий данному значению Х: Ру = )(у. Отсюда (Р— ХЕ) у = О или У» у» Уз Р» — ь Р» Р» °" Р» 1 — 3, О ...
О О 1 — Х ... О О О О ... — » В таком случае вековой определитель бе((Π— ХЕ) распадается на лва определителя бе(((у — ХЕ) = бе((Р, — ХЕ) де1(Π— АЕ). 412 нахождвнив сонстввнных значений и ввктогов [гл. хп Перемножая матрицы, получим систему для определения коорди- нат уы уз, ..., У„собственного вектора у: (р, — А) у, + р„у, +...
+ рпуп = О, у,— Ау, =О, Уз — Ауз =о, у„,— Ау„=о. 1 Система (1) — однородная. С точностью до коэффициента про- порциональности решения ее могут быть найдены следующим об- разом. Положим у„= 1. Тогда последовательно получим: уп 1 — — Х, з=Хз, (2) зп З Таким образом, искомый собственный вектор есть 1„и 1 йп-з Обозначим теперь через х собственный вектор матрицы А, соответствующий значению Х. Тогда, очевидно, имеем: Мп-1Мп-з ' ' ' МзМ1У Преобразование М„совершенное над у, дает: ~~', пзззуз азы Ап з пз ы у и з=з Уз Уз О 1 ...
О О О ... 1 Уп 1 Таким образом, преобразование М изменяет лишь первую координату вектора. Аналогично преобразование Мз изменит лишь вторую координату вектора М,У и т. д. Повторив зтот процесс п — 1 раз, получим искомый собственный вектор х матрицы А. й 6. Метод А. Н. Крылова Приведем метод развертывания векового определителя, принадлежащий А. Н. Крылову 12) и основанный на существенно иной идее, чем метод А. М.
Данилевского. 41З э 6) МВТОД А. Н. КРЫЛОВА Пусть с) ()() ж бе( ()(Š— А) = 1(»+р)))" ' +... + рл (1) — характеристический полином (с точностью до знака) матрицы А. Согласно тождеству Гамильтона — Кепи (гл. Х1, $2), матрица А обращает в нуль свой характеристический полипом; поэтому Ал+Р А'"'+... +Р»Е»»О. (2) Возьмем теперь произвольный ненулевой вектор Умножая обе части равенства (2) справа на у'0', получим: А»у(0)+р Ал-)у(0)+ +р у(0! О Положим: Аау(0) =у(а) (й = 1, 2, ..., и); (4) тогда равенство (3) приобретает вид ~' '+рьу' "+... +У„у(сл =О (б) или (л Ы (л 0) (О) 1 1 ' 1 (»-1) (»-1) (О) 1 0 ' Ул (»-1! (л 0) (О) У» Ул . Ул (л) У» гле (л =- О, 1, 2, ..., Л). (0! л Следовательно, векторное равенство (5) эквивалентно системе уравнений (л-О+ (»-0)+ + (0) (Ю из которой, вообще говоря, можно определить неизвестные коэффнЦИЕНты Р,, Р, ..., Рл.
(0) у у( 0) (О) у р(0) (О) (л) у (л~ 0 Так как на основании формулы (4) (л),1 (а и (и= 1, 2, ..., п), то координаты У,, у,,...,у, вектора у по- Ф) Ф) (л) следовательно вычисляются по формулам у( = а а(уу( (-1 л (1) ~~ (1) У( =л'.) а((У( > ( 1 (7) (1 =1, 2, ...> и). (л) ~л (л- 1] у( = х а(гу; Г 1 Таким образом, определение коэффициентов рг характеристического полинома (1) методом А. Н. Крылова сводится к решению линейной системы уравнений (6), коэффициенты которой вычисляются по формулам (7), причем координаты начального вектора (0) 1 У>9) (О) л произвольны.'Если система (6) имеет единственное решение, то ее корни р, р, „р„являются коэффициентами характеристического полинпма (1).
Это решение может быть найдено, например, методом Гаусса (гл. Н1!1, $3). Если система (6) не имеет единственного решения, то задача усложняется [1]. В этом случае рекомендуется изменить начальный вектор. Пример. Методом А. Н. Крылова найти характеристический полинам матрицы (см. $3) Р е ш е и и е. Выберем начальный вектор о 414 нлхождение сОБстВенных знлчений и вектОРОВ (гл. хп 415 $6) метОд а. н.
кенлова Пользуясь формулами (7), определим координаты векторов 1>(е> Аеу(е> (4=1, 2, 3, 4). Имеем: р(1> Ар(а> у(3> = Ау(1> = у(з> = Ау(а> = у(3> Ау> 8> Составим систему (6): (3) к , (3) „(3) 3,(а) „(3> „(ы „(3>— 1 1 ~1 (3) (1) (а) 3,(з) (1) (Е) 3 3 В (В) (1) (3) 3 3 Е (е> у у(3> К(е> В (3> е 2\И] Отек>да 208рз+ З0рз+ра+ра = 2108 17 8ра + 22р, + 2р, = — 1704, 192рз+18рз+Зрз= 1656 242р +20р +4рз= 1992 Решив эту систему, получим; р = — 4; ра= — 40; р =' — 56; р = — 20.
которая в нашем случае имеет вид [о] [з] [61 416 нахождвнив совствянных значений и вяктогов [гл. хп Слеловательно, бе1(ЛŠ— А) = Ла — 4Лъ — 40Ла — 36Л вЂ” 20 что совпадает с результатом, найденным по метолу А. М. Дани- левского (э 3) й 7. Вычисление собственных векторов но методу А. Н. Крылова Метод А. Н.
Крылова дает возможность просто найти соответствующие собственные векторы 11). Для простоты ограничимся случаем, когда характеристический полнном О(Л)=Л"+Р,Л"-'+".+ . имеет различные корни Л, Л, ..., Л„. Предположим, что коэффициенты полннома (1) и его корни определены. Требуется найти собственные векторы х'т', х'а', ...., х'"', отвечающие соответственно собственным значениям Лы Л, ..., Л„. Пусть у<в', у"> =Ау'в', ..., у'"""= А" 'уы' †векто, использованные в методе А. Н.
Крылова для нахождения коэффициентов Рц(1= 1, 2, , л). Разлагая вектор уш' по собственным векторам хго (1=1, 2, ..., л), будем иметьс (2) у'" = с,х"'+ сях'"+... + с„х'"', где с; (1 = 1, 2, ..., л) — некоторые числовые коэффициенты. Отсюда, учитывая, что Ах'о =Л х"', 3 а (б Л* п1 (1=1е 2ю ° 1«)з х =~х получим: (3) у'" "=с,Л", 'х'"+с,Л", 'х'"+...+с„Л„"'х'"'. Пусть В~(Л)=Л +ЧыЛ + ° ° ° +4 -,1 (4) (1 = 1, 2, ...,и) †произвольн система полнномов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
