Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Из последнего уравнения системы (8) при /=3 находим также Хе = 2,1260. Для контроля составим след матрицы А: ЗрА=Х +Хе+Хе=8,3874+4,4867+2,1260=15,0001ж4+5+6 Заметим, что корни, получаемые процессом итерации, как правило, расположены в порядке убывания их модулей. Собственные векторы матрицы определяются с точностью до коэффициентов пропорциональности, повтому все решения системы (8) таковы: (с, с„се — произвольные постоянные, отличные от нуля). Полагая хг" = 1, Следовательно, получим х~т'~ = — 0,5673; х~м = — 0,3698.
1 х = ~ — 0,3073 — 0,3698 442 нахождения совстввнных значвний и ввкговов (гл. хп й 16. Использование коэффициентов характеристического полинома матрицы для ее обращенмя Выше были приведены способы развертывания векового определителя матрицы в поливом (Я 3 — 9). С помощью коэффициентов етого характеристического полинома и составления степеней А, Ах, ..., А" ' неособенной матрицы А порядка л сравнительно просто можно найти обратную матрицу А"'. Особенно выгодным в атом отношении является метод Леверрье ($ 8).
Пусть имеем неособенную матрицу А порядка и. Рассмотрим ее характеристический полипом де1(ХŠ— А) =Х" +р,Х" '+... +Р„,Х+р„. Согласно тождеству Гамильтона — Кели (гл. Х1, 2 2) имеем: А" +ртА" г+... +р„1А+р„Е=О; Умножая матричное равенство (1) слева на А г, получим: А' т+р А" а+...р Е+р„А а=О. Отсюда при р„ чь 0 будем иметь: А-1 ( ~в-г ) , Ал-а+ ) Е) (3) Рп Таким образом, если известны козффициентыхарактеристического полинома матрацы А и составлены степени втой матрицы до(л — 1)-й включительно, то обратная матрица А ' легко вычисляетсв по фор.
муле (3). Заметим, что если р„= О н р, т Ф О, то для получения формулы, содержащей А х, векторное равенство (1) нужно умножать слева на А а и т. д. П р и м е р. Дла матрицы (см. $8, пример) 1 2 3 4 2 1 2 3 3 2 1 2 4 3 2 1 найти обратную матрицу А Решение. Воспользуемся найденными прежде степенями матрицы А ($8): 30 22 18 20 22 18 16 18 18 16 18 22 20 18 22 30 9' 161 использовании коэееицивнтов хаелктвгистич. полинома 443 208 !78 192 242 178 148 154 192 192 154 148 178 242 192 178 208 Так как характеристический полипом матрицы А имеет вил де1(ХА — Е) = )1» — 4Хэ 40)са 56)1 20 то по формуле 13) получаем: 208 !78 192 242 178 148 154 192 192 154 148 178 242 192 178 208 А т= —— 1 — 20 4 Г! 0 0 0 18 20 16 18 18 22 22 30 1 2 3 2 1 2 3 2 1 4 3 2 — 56 ~ 60 44 36 40 44 36 32 36 36 32 36 44 40 36 44 60 104 89 96 121 89 74 77 96 96 77 74 89 12! 96 89 104 1 ГО 28 О 0 0 28 0 0 0 28 0 0 0 20 40 60 80 40 20 40 60 80 .40 20 40 80 60 40 20 0 0 28 05 0 01 — 1 0,5 0 0,5 — 1 0,5 0 0,5 — 0,4 Для контроля составляем произведение ,о о о — 0,4 0,5 0 0,1 05 — 1 05 0 0 0,5 — 1 0,5 0,1 0 0,5 — 0,4 1 2 3 4 2 ! 2 3 3 2 1 2 4 3 2 1 АА а= 30 22 22 18 18 16 20 18 — 0,4 0,5 0 0,1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 О 1 444 нахождения совствянных знлчяний и ввктогов (гл.
хп Ах =(> приведена к виду, удобному для итерации, х=р+ах. Согласно методу итерации (гл. »Ш, $8), последовательные приближения решения х системы (1') определяются -по формуле х' >=()+ах'" " (л>=1, 2, ...), (2) где Х'а' — произвольный начальный вектор. Предположим, что собственные значения 1>„)>, ..., )>„матрицы и различны, причем ) й ) ) 1 ~а ( ~» ° ° ~~ ) )> !. (3) Процесс итерации (2) сходится, если >1"1><1' Первое собственное значение 7>> может быть приближенно определено с помощью указанных выше методов (Я 11 — 12). Как доказал Л.
А. Люстерник [61, используя число й„можно существенно улучшить сяодимость итерационного процесса(2) для решения системы (1'). Покажем, как вто делается. При достаточно большом я> приближенно можно положить: Х Хм>, Оценим ошибку х — х' '. При условяи сходимости процесса (2) имеем: х= йп х'"'=х"'+ ~ч~ (х>а> — х<'-"); кроме того, хои = х"'+ ~~ (х'и — х'"- и). ь=> Поэтому Ф х — х' '= Х (х>м — х>'-'>) = Й 03+1 — [хм+ г> х> >1+ [х> +и х>и+и) + Так как (4) х>а> — х>а" 1> = [[) + ссх>а Ч вЂ” у + ах>а Ч = =а(х>" >' — х'" з>)=аа г(хц' — л"ю) при А=1, 2, 5 17. Метод Л. А.
Люстерника улучшения сходимости процесса итерации для решения системы линейных уравнений Пусть система линейных уравнений !7) метОд л. А. ЛюстеРникА улучшения сходимости итеРАцин 445 то Х вЂ” Х' '=сс'"(Хсо — Х"') +сс +" (Хпо — Х"')+.. (5) Следовательно, на основании формулы (5) находим: Х вЂ” Х)") =с,ЛГ(!+Л, +Л,'+...)у, +с,ЛГ(!+Л,+Л3+...)у,+ +... +С„Л„(1+Л„+Л„+ ...)у„= с)Л) с)Л с Л = — 'У)+ — *Уз+ "° + " "Уис 1 — Л) 1 — Ла ' 1 — Лл Отсюда, учитывая неравенства (3), получям: (7) Кроме того, из формулы (6) при й=л)+1 выводим: х'"+" — х)") =- с1Л,У1+0(Л",). (8) Поэтому Таким образом, окончательно имеем: л(И.).1) л)Ш) х х) '+ 1 — Л, Л< +н — Х)ин Добавочный член ! заметно улучшает сходимость 1 итерационного процесса (2).
' Так как из формулы (8) вытекает, что Х1 +1) Х) ) Л (Х) ) Х) -и)+О(Л~~) то формулу (9) можно заменить следующей: хнах) '+ ' (х' ' — х' "). Л 1 — Л, (10» (11) Пусть у, у„ ..., у„ †собственн векторы матрицы и, соответствующие собственным значениям Л1, Ла, ..., 'Л„и образующие базис пространства Е„. Разлагая вектор х'1' — х'е' по векторам этого базиса, будем иметь: х" ' — х'м =- с,у, + с,у, + ...
+ с„у„, где с (/=1, 2, ..., л) — некоторые определенные числа. Отсюда. хнв — хса "= а"-'(хсн — х"') = =с,Л) 'У)+СЕЛЕ 'Уа+ ... +с„Л„'У„(6) (й=-Аз+1, л)+2, ...). 446 нахождении сонстввнных знлчвний и ввктогов (гл. хп Формула (11) освобождает от необходимости вычислять следующее по порядку приближение~ На основании формулы (10) наибольшее собственное значение )(г может быть определено по формуле.
(»< ' — »> н)г (х"" "— х'' ". (>'=1,' 2, ..., «) )г В случае симметрической матрицы а, пользувсь методом скалярных произведений, получаем более точную формулу: (хоо — »<а '>, хою — »>а ") (»'" " — х' " х"' — х> н) В частности, если х'е' = (), х'"' — хон "= а ' (хсо — х>а>) = аа() то х>~> хы>+ ~~аз- г (х>м х>о>) ~ч~~ ~а>) а=> а=а Поэтому (12) где (а~р); и (а >р); — 1-е координаты соответственно векторов а )) и а" >().
Аналогично, если матрица а †симметрическ, то (аа(), аа()1 "= ("-в, "й) ' (18) Пр имер. Методом итерации решить систему (1) 0,78х, — 0,02х, — 0,12хз — 0,14»а = 0,76; — 0,02х, + 0,86х, — 0,04хз + 0,06»а = 0,08; — 0,12х, —. 0,04хз+ 0,72х, — 0,08», = 1,12; — 0,14»д+ 0,06х, — 0,08х, + 0,74»а = 0,68, ха =0,22хг+0,02х +0,12х +0>14»4+0,76; х, = 0,02х + 0,14х, + 0,04х -0,06х -1-0,087 х =0,12х,+0,04х +0,28х,+0,08х,+1,12; ха = 0,14х — 0,06х, + 0,08хз+ 0,26х + 0,68 (14) применив для уточнения корней способ Л.
А. Люстерника. Р е ш е н и е. Приводим систему к виду, удобному для применения метода итерации: 9.17) маток л. х. люстегникл глхчшзния скодимости итегации 447 или в матричной форме 0,22 0,02 0,12 0,14 0,02 О, 14 0,04 — 0,06 0,12 0,04 0,28 0,08 0,14 — 0,06 0,08 0,26 Х1 ( 14') Отсюда 0,22 0,02 0,12 О,! 4 0,02 О, 14 0,04 — 0,06 0,12 0,04 0,28 0,08 0,76 0,08 н р= 1,12 0,68 0,14 — 0,06 0,08 0,26 Так как ((а/! =шах(0,50; 0,26; 0,52; 0,54) =0,54(1, то процесс итерации для системы (14) сходится.
Используя в качестве начального вектора хм' вектор (), для лг-го приближения х!хч искомого решения Ха Х= ХХ получим следующее выражение: х'"" = ~я~ ~аз(). амя (15) Таким образом, для вычисления х' ' нужно образовывать последовательные итерации вектора () с помощью матрицы а. Имеем: 0,22 0,02 0,12 0,14 0,76 0,3984 0,02 0.14 0,04 — 0,06 0,08 0,0304 0,12 0,04 0,28 0,08 1,12 0,4624 0,14 — 0,06 0,08 0,26 0,68 0,3680 0,22 0,02 0,12 0,14 0,02 0,14 0,04 — 0,06 1 0,12 0,04 0,28 0,08 ~О,!4 -0.06 О,ОВ 0,26 ,195264 0,008640 0,207936 ,186624 Хг 0,76 Ха 0,08 хх 1,12 Х 068 3984 0304 4624 3680 448 нкхождвнив сонстввнных знлчвннй н ввктогов (гл. хп Результаты соответствующих вычислений приведены в таблице 31.
Таблица 31 Последовательные нтервцнн вектора (! матрвцей а "в к~в~ от(! ое(! 0,01043649 0,00003285 0,01047017 0,01040364 0,02!74095 0,00013570 0,02188361 0,02160525 0,00500961 0,00000792 0,00501763 0,00500170 О, 00240463 0,00000190 О, 00240654 О, 00240272 1,532746 О,!22009 1,972937 1,410737 Отсюда, учитывая, что Х'в' — Х'т'=ав)), находим: аен хжх'е1+ Х '1 — "7, = 1,532746 0,002405 г 1,534965 0,12ЙЮО 12 0,000002 1,972937 ! 3 0,002406 1,410737 0,002403 0,122011 1,975159 1,4!2955 Для сравнения приводим значения корней системы (11), полученные методом Гаусса 11]: хд — — 1,534965; х = 0,122010 х = 1,975166; хе = 1,412955.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
