Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Аналогично при р=1 из формул (3), (5) и (4) выводим: () х** — ха')) ( — пА С)) х** — хш)(~(2пАдВдС=)ддВ =2Вя. Вообще, (5) )(х'* — х'Р'П(2В (р=О, 1, 2, ...). (6) Так как на основании формулы (2) из В 4 величина  — О при р оо, то, переходя к пределу в неравенстве (6), будем иметь: х*" = 1пп хоч = х', р Ф т. е. решение системы (1) в области ((х — ха')) ~2В единственно.
Замечание, Если область Уяг(х'и), такова, что 2В -Л Ре то в расширенной области (1) 1(х — хна ~) ( — В, Ио (7) не имеется других решений системы (1), кроме х*. Действительно, предполагая, что в области (7) находится решение х** системы (1) (2 3) и повторяя рассуждения теоремы, мы получим неравенство вида (3) ()х — х' '((( — лА С~)х — х йа, 1 где х'м (р=О, 1, 2, ...) — последовательные приближения процесса Ньютона с начальным приближением х®е1. Отсюда, так как !) х'* — хни (! ( — В„ то, используя числа )х , = )ьр, последовательно имеем: () » ~2 пАоС вЂ”,Ве —— ро 1 1 2 2 =-2лА В С ° — В,= — В = — В = — В„ — аа а а=„, о= ра в (( х** — хпп () ( — лА,С ° — В, = 2лА,ВтС ° — )с В 2 2 2 рт а а к а а =В.В.—,= —,В = — В и~ р~ Р' и т. д.
Вообще, ()х'* — х' (!( 2 В Ир (р=О, 1, 2, ...). Так как 1 В,= —, р,,В,, а )ьг = Ра-ы то (81 Последнее соотношение можно также непосредственно получить из формул (1) и (2) ($4). 468 пгивлижвннов вешания систем нвлинайных гелвнв ни й [гл. хш 5 6) тстойчивость сходнмостн пгопвссл ньютона 469 Таким образом, ))хее — х'ю))(~ — ! — ' (р=О, 1, 2, ...). /!то-т В Следовательно, х*'= 1пп х""=х*, о +сю что и требовалось доказать. ф 6*. Устойчивость сходимости процесса Ньютона ири варьировании начального приближения Т е о р е и а 4. Если выполнены условия 1) — 4) теорелил 1 из $3и 2 — Во«ж, ро вдв р =2пА В С< 1, то процесс Ньютона сходится и един- ре= ое ственному решению Хо системы (1) (6 3) в основной области (! х — х'о' )! 2В, при любом выборе начальноео приближения хне' из области )! хчо' — х"' )! ( ! ' В .
(1) 2!ое Доказательство.Поаналогин с введенными выше обозначениями И'о = В' (х'о') и Го = Ит, введем обозначения ж',=)Р(хчо) и Г',=(т',)-т. Рнс. 58. Покажем, что в точке хчо' будут выполнены условия, аналогичные условиям 1) — 4) теоремы 1. Используя обозначения и метод доказательства теоремы 1, имеем: )! Š— Гота )! = )! Го (Жо- Уе) )! ~ < )! Г, )! )! )Ро — 6'. )! (АопС)! хчм — '" (!. Отсюда, учитывая неравенство (1), получим: ))Š— Ге)Р'е )! ~АопС 2 Во= — ( —, Следовательно, П (Г $о',) П = П ( — ( — Г $Р,)) ' П ~~ ( 1 ( 1 4 ПЕ г,$р', П, 1 — р, 3+р,' 4 (2) Поэтому существует Го=(Го~'о) 'Го П Г, П ~~ П (Го (р',) П П Го $! < 4А' = А'.
+Ро Далее, выводим: П Г,У(хчм) П ~ П Г, П ПУ(х ~» — Р(х™)— — $$'о(хчн-х'и) Ц+ Ц Гоу(хм') Ц+ Ц х™ — х"'Ц ( ( — А,лС Ц х 'о' — х о' Ц*+ В, + Ц х ™-х'" Ц ( 1 1 — 2$оо+ $оо 1 — $ьо ~~4 )ооВо +Во+ Во ,$ о 2ро 2$оо+Ро+13ро+3 зро (3+во)о 1оро Во' Отсюда, используя неравенство (2), имеем: ЦГо,у(х'®') П = Ц (Го($'о) ° Гоу(х'м) Ц ~~Ц (Го(Р~) П ° П Гоу(х нн)П( 3+ $'о 1бро о = 4$оо о — Во= Во=В ° (4) 4 (3+ ро)' 3+ $оо На основании неравенств (3 и (4) получаем: р' =2аА'В'С= 2л — о . ~о ВоС= 2иАоВоС = 1 ° 3+ ро 4$оо ро Кроме того, и, значит, и подавно Таким образом, в точке Хчо' полностью выполнены условия теоремы 1, причем й, (хчо') о= Оон, (х"') <=йу (х"'» (5) но (рис. 58).
470 пгивлижнннов гвшвнив систем нклинвйнык кгавнвний (гл. кш 471 % 7) модиенцнговлнный мвтод ньютона Позтому процесс Ньютона хчг'о =хна — Г„,~(хч'"), Гр — — ЯГ а (х'оч) (р=О, 1, 2, ...), где сходятся к некоторому решению х'* системы (» й 3, лежащему в области У,в (хчю). На основанин формулы (5) х" Еу,в,(хм'). Иа Но в силу замечания к теореме 3 предыдущего параграфа в областн О,в,(х™) нмеетсв единственное решение х' основной сина стемы (».
Понтону что н требовалось доказать. Заме чан яе, Еслн 2Ве <Янр (1, тодляначальногопрнблнжения х'м всегда нмеется окрестность, любая точка которой может быть принята за начальное приближение процесса Ньютона, сходящегосв к искомому решению х*. Действительно, пусть 2Ве С 2рВ„=Ж, где д ) 1. Полагая 7 1~ р, = шак ~)с„— ~, 'е) получим, что в силу теорем 1 н 4 для любого начального приближения хча', удовлетворяющего условию 1 — р () х <ю — х~м () ~ — В„ соответствующий процесс Ньютона будет сходнться к решению хь сметены (». й 7. лйоднфнцнроввнный метод Ньютона Прн построении процесса Ньютона х'г+ы=х'~" — йг '(х'ю),У'(х' ') (р=б, 1, 2, ...) (» существенным неудобством является необходимость для каждого шага ианововычислятьобратную матрнцу (Р '(х'ю).
Если матрица йг г(х) 472 птивлижвннов гяшяния систям нвлиняйных хтазняний [гл. хш непрерывна в окрестности искомого решения х' и начальное приближение х'о' достаточно близко к х', то приближенно можно положить: Рт-т (х~ю) (Р-о( ~о>) и мы, таким образом, приходим к модифицированному процессу Ньютона о~я+и о(ю )р-о ( лоу(ц(то) (2) (р = О, 1, 2, ...), где Ц'" = х'о'. Заметим, что для процессов (1) и (2) первые приближения хц' и Цц1 совпадают между собой, т.
е. хсо ~о~ Сходимость модифицированного процесса Ньютона (2) исследовалась Л. В. Канторовичем [1]. Теорема. Если выполнены условия 1) — 4) теоремы 1 из $3 и ро = 2плоВоС < 1 то модифицированный процесс Ньютона (2), определяемый началь- ным приближением Ц'о'=х'о', сходится к решению х* системы у(х) =О, причем Ц х" — $'"" Ц ()ьо Ц х* — х'о' Ц ( 2Во)ьео (р = О, 1, 2, ...), (3) где норма понимается е смысле т-нормы.
До к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим вектор-функцию Е(х) =-х — ГоУ(х) = [Е,(х)), где Г,= [Р '(х'и). Очевидно, Е($" ~) = Ц~ю [о~($~тч) = Ц~еои (Р= О 1 2 ° ° ) (4) Кроме того, Е'(х) =Š— Гоу" (х); отсюда, в частности, )о (х<о>] Е [ о Р" (х~о>) Е Е О Методом математической индукции докажем, что все приближения $"" (р=1, 2, ...) содержатся в 2Во-окрестности точки хо', т. е. Ц $(Ф> — хсо! Ц < 2во. (7) Действительно, при р = 1 равенство (7) очевидно, так как в силу условия 2) теоремы имеем: Ц $"' — х'и Ц = Ц хон — х®о> Ц ( В,.
473 И 7) модиеицигованный мвтод ньютона Пусть теперь для некоторого р выполнено неравенство (7). Тогда, используя лемму 2 ($ 2), имеем: И Ии+н хнн И И в.(вон) х~о> И И ~~гь Г ~(яоч) х~а! И = И Га (,у (Иои) — Я7(х'ы) (Ио" — Х~~~)) И (~ И Гр,у (х~ 1) И + + И Г, (,у (ь~') — у (х'") — иг (х"') ($'и' — х"')) И < <В + 1 А лСИИсг хм Из Используя неравенство (7), находим: И Исх о -хм1И < В + — лА С 4В„= =Во+ 2лАаВоС'Ве =(1+ [хо) Во < 2Ва что и доказывает наше утвержление. Так как условия теоремы 1 (И 3) предполагаются выполненными, то система у(х)=О имеет корень х такой, что Ихн — х™И <2В. Рассмотрим разность х"-И"", где р)~1. Учитывая, что ,Г (х") = — х" — Г,у (х") = х" и используя лемму 1 (И 2), имеем: Их" — Ион И = И Р(х ) — р (Г и) И ~<Их" — $'и оИ ° И Р'(9) И, (8) где Π†точ отрезка [х", $'л и).
Далее (см, И 2, лемма 1, следствие 2) И г (9) И = И г (9) — г (х™) И < л И 9 — х ™ И шах И г. (т1)И, (9) где ч) — точка отрезка [О, х'и]. Из формулы (5) имеем: х Р" (х) = бг ~~~"' у, Ж тле 6~у — символ Кронекера и Ге=[у, ). Поэтому дх ~У '~м ™ дх 1=~ дхРг Сч да[, дхгдха ~ ° ' дхгдха ' Слеловательно, л х [ ю х й л ~~ шал Х ! Ты ! Х ~ д„. „~ ~ <шал ~~~~, ! Уы ! С'= С И Гр И < АаС г! х дх~дха ~ ~ ы 474 пгивлижвннов гвшвнив систзм нвлинвйных аньвнвний [гл. х<п и, значит, на основании (9), Ц Р'(9) Ц (лА СЦ 8 — х<о' Ц. Так как точка 9, очевидно, принадлежит 2Во-окрестности точки х<о',то Ц 9 — Х<о> Ц ( 2Во и, таким образом, Ц )с" (9) Ц ( 2лАоВоС = 1<о. Учитывая неравенство (10), из неравенства (8) выводим: Ц х" — Цон Ц ()<о Ц х" — Ц<г и Ц (1О) откуда Ц х" — ф<Р> Ц ( ро Ц х" — ф<о> Ц = ро Ц х" — х<о' Ц ( 2В)<ою При ро ( 1 из последнего неравенства вытекает, что [пп й<ю=х".
Теорема доказана полностью. 5 8. Метод итерации Пусть дана система нелинейных уравнений специального вила х,= р,(х„х„..., х„), хо=<ро(х<, хо, ..., х,), х„=<р„(х„х„..., х„), где функции <р„<ро, ..., <р„действительны, определены и непрерывны ° ° в некоторой окрестности <о изолированного решения (х„ х„ ...,х„) етой системы. Введя в рассмотрение векторы х= (х,, х„ ..., х„) и ц<(х) = (<р,(х), р,(х), ..., <р„(х)), систему (1) можно записать более кратко: х = <р (х). (2) Для нахождения вектор-корня х" = (х„х„..., х„) уравнения (2) часто удобно использовать метод итерации х< "и= р(х"') (р=0, 1, г, ...), (8) где начальное приближение х'о' ж х". Сходимость зтого процесса будет исследована ниже.
Заметим, что если процесс итерации (3) сладится, то предельное значение $= 1пп хоч (4) а + О 475 % В! метод итвеации обязательно является корнем уравнения (2). Действительно, предполагая, что соотношение (4) выполнено, и переходя к пределу в равенстве (3) при р- оо, в силу непрерывности функции ~р(х) будем иметь: ((т х"+и=~р!' !!ш х'"'), Р и ~,л т. е. Таким образом, $ есть корень векторного уравнения (2). Если, сверх того, все приближения хчн (р = О, 1, 2, ,) принад- лежат области ы и х+ — единственный корень системы (2) в гн, то, очевидно, Метод итерации может быть применен также к общей системе ,у(х) =О, (5) где у(Х) — вектор-функция, определенная и непрерывная в окрестности ю изолированного вектор-корня хе. Например, перепишем эту систему в следующем виде: х = х+ Лу (х), где Л вЂ” неособенная матрица. Введя обозначение х+ Лу (х) = ~р (х), будем иметь: х = ~р (х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
