Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Как следствие получаем: Л'Р„ (х) = 0 при г > п. Символ Л (дельта) можно рассматривать как оператор, ставяший в соответствие функции у =ут(х) функцию Лу = г"(х+ Лх) — у(х) (Лх постоянно). Легко проверить основные свойства оператора Л: 1) Л (и+ о) = Ли+ Ло; . 2) Л(Си)=СЬи(С постоянная); 3) Л" (Л"у)=Л"+"у, где тп н и — целые неотрицательные числа, причем по определению полагают Лву=у. Из формулы (1) имеем: у(х+ Лх) = у(х) + Лу(х); отсюда, рассматривая Л как символический множитель, получим: у(х+Лх) =(!+Л)у(х). (2) Последовательно применяя это соотношение и раз, будем иметь: у(х+пЛх) =(1+ Л)"у(х): (8) конечные глзности глзличных погядков 499 5 1) Воспользовавшись формулой бинома Ньютонав), окончательно выводим: у" (х + л Лх) =- ~, 'С„Л у (х), (4) где — число сочетаний из л элементов по ш.
Таким образом, с помощью формулы (4) последовательные значения функции у(х) выражаются через ее конечные разности различных порядков. Воспользовавшись тождеством Л вЂ” — (1+ Л) — 1 (5) и применяя бином Ньютона, получаем: Л"у(х) =- [(1+ Л) — 1)"у'(х) =- (1+ Л)"~(х) — С„'(1+Л)" у (х)+ +С„'(1+Л)" 'у(х) — ... +( — 1)" г'(х).
Отсюда в силу формулы (3) будем иметь: ЛУ (х) = у (х+ и Лх) — С) [х + (п — 1) Лх) -(- + СчУ[х+ (л — 2) Лх[ —... + ( — 1)'У'(х). (6) формула (6) дает выражение конечной разности л-го порядка функции у(х) через последовательные значения втой функции. Пусть функция у'(х) имеет непрерывную производную уч"1(х) на отрезке (х, х+пЛх). Тогда справедлива важная формула Л" у (х) = (Лх)" У'ю (х+ Оп Лх), ОСЕ<1. (7) где Л у'(х) = (Лх) ы1 (х+ ОЪ Лх), О < 6'<1. где «) Законность применения формулы бинома Ньютона нредоставааем обосновать читателю. формулу (7) проще всего доказать, используя метод матема. тической индукции.
В самом деле, при «= 1 мы получаем теорему Лагранжа о конечном приращении функции и, следовательно, формула (7) верна. Пусть теперь при и ( и имеем: 500 ннтегполигование эьнкций [гл. хгг Тогда Ль+'у(х) = Ль[!'(х+ Лх) — у(х)1= =(Лх)'ГУ'(х+Лх+ОЪЛх) — У'(. +ОЪЛх)1. Применяя теорему Лагранжа к получившемуся приращению производной у'М(х), будем иметь: Л"'У(х) =(Лх)'ЛхУ" (х+О й Лх+О- Лх), где 0 < О' < 1.
ГГолагая о'а+О =О, а р! окончательно получим: Ла+'/(х) =(Лх)'+'~"'и (х+ О (л+ 1) Лх), причем, очевидно, 0 < О < 1. Таким образом, установлен переход от л к й + 1 и, следовательно формула (7) доказана. Из фориулы (7) имеем: У (х+Ол Лх)='"[("). (дт)" Отсюда, переходя к пределу при Лх — 0 и предполагая, что производная унн (х) непрерывна, получим: у'"'(х) = 1пп — '„ йн[ (л) (9) ал- о (Лт)" Следовательно, при малых Лх справедлива приближенная формула ~...
(х) (10) й 2. Таблица разностей Часто приходится рассматривать функции у =у(х), заданные табличными значениями у! — — у(х!) для системы равноотстоящих точек хг(1=-0, 1, 2, ...), где Лх; = хг, — х, = Ь = сопя!. Конечные разности последовательности у! естественно определяются соотношениями Л'у;=Л(Луг) =Лу!, — Лу! Л"у,=Л (Л" 'у;) = Л" 'у,+,— Л" 'у,. %2) 3О1 тАвлицА РАзнОстей Из первого равенства имеем: у„, =у(+ Лу,. =- (1+ Л) у( Отсюда последовательно выводим: у(+з = (1+ л) у(„= (1+ л)туч У(+з = (1+ Л) У(+з = (1+ Л)'У( У( „=(1+Л) У(. Использовав формулу бинома Ньютона, получим: „„=,.+с„'л,+ Таблица 33 Горизоитзльнан таблица разностей +С„'Лзу,+ ... +Л'У(.
Обратно, имеем: Л"У; = ((1+ Л) — 11"У(= =(1+Л)"у,— С„'(1+Л)"- у,.+ + С„'(1+Л) ау,—... ". +( — 1)"У( или з 1 У$ Уз+у Сзуз+[ (+ + С.'У„„з —... +( — 1)"У(. Таблица 34 Диагональная таблица разностей Например, Л'у( =у +з 2у(+(+у Л У(=у(+з 3У(ез+3У;+т — У( у = 2хз — 2х'+ Зх — 1 от начального значения хз = О, приняв шаг й = 1. и т. д. Заметим, что для вычисления и-и разности Л"у; нужно знать л + 1 членов У( У(~ы . , у; „ данной последовйательностй. Конечные разности различных порядков удобно располагать в форме таблиц двух видов: горизонтальной таблицы разностей (таблица 33) или диагональной таблицы разностей (таблица 34).
Пример!. Составитьгоризонтальнуютаблнцу разностей функции интетполигование охнкций (гл. хш Решение. Полагая х,=О, х,=1, хе=2, находим соответствующие значения Уз=- — 1, у, =2, уз=13. Отсюда имеем: ЛУ, =У,— У, =3, йУт =Уз Ут = 11 б Уа=йут ЛУз=3 Эти значения заносим в таблицу (таблица 35). Так как наша функция есть полипом третьей степени, то третья разность ее постоянна т.б .ц.
Зб (см 2 1) н ра Горизонтальная таблица разностей л у о.ч кубической функции (1) Поэтому дальнейшее заполнение таблицы 35 можно производить прн помощи суммирования, используя формулы ЛзУс+ т — — ЛзУ;+ 12 (1=0, 1, 2, ...), бУ,„= йу,.+ й*уг (1=1, 2,,), Л, =У;+АУ; (ю'=2,'3, ...).
Ступенчатой ломаной отмечены исходные данные для составления таблицы. 3 а м е ч а н и е. При составлении таблицы разностей возможны случайные ошибки вычислителя, Посмотрим, как отразится на значениях разностей ошибка е в значении у„. Составляя соответствующую диагональную таблицу разностей, получим таблицу 36. Из таблицы 36 видно: 1) если у„содержит ошибку, то ошибочными являются также разности йу„; Ляу„„йку„„азу„ оУя-ы и т. д.; 2) в й-е разности Лау ошибки входят со знакопеременными бииомиальными коэффициентами, а именно, ошибки соответственно имеют значения Слез, — Сз~е, Сье, ..., ( — 1)зСьае и, следовательно, абсолютное значение максимальной ошибки й-й разности быстро растет вместе с номером разности; 3) для каждой конечной разности Азу'сумма ошибок с'учетом их знаков равна 503 ТАБЛИЦА РАЗНОСТБй $21 Таблица 36 нулю, а сумма абсолютных величин ошибоК равна ~з( 2А.
Таким образом, даже незначительная ошибка в значении функции приводит к значительным ошибкам в ее разностях высокого порядка. Заметим, что максимальнаи ошибка разностей Лау в случае диагональной таблицы разностей находится в той же горизонтальной строке, что и ошибочная табличная величина у„, или же в верхней н нижней соседних строках. Рассмотренный закон распространения в-ошибки в таблице конечных разностей дает возможность в некоторых случаях установить 604 ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [Гл.
хгч наличие и место ошибки, а также ее числовое значение, что позволяет исправить таблицу. Таблицы разностей обычно составляются с точностью до некоторого фиксированного десятичного разряда. Если функция у = 7"(х) имеет непрерывные производные до «г-го порядка, то при достаточно малом шаге Ь = тхх ее конечные разности до и-го порядка включительно изменяются плавно, причем разность лт-го порядка почти постоянна в пределах данных десятичных разрядов. Нарушение последнего условия на каком-ннбудь участке таблицы при отсутствии особенностей функции, вообще говоря, свидетельствует о наличии вычислительной ошибки, Установив максимальное отклонение т-й разности от нормы, можно определять место этой ошибки в столбце значений функции у в предположении, что: 1) вта ошибка — одиночная и заключается в неверном подсчете одного значения функции и 2) при вычислении конечных разностей новых ошибок не было.
Если такая ошибка в таблице разностей обнаружена, то исправление ее может быть осуществлено с помощью значений разностей. Покажем, каким путем это достигается, причем для простоты ограничимся случаем постоянства разностей второго или третьего порядка. Пусть ошибочное табличное значение есть у„ +з, где индекс а установлен, а величина ошибки е неизвестна. Если третьи разности практически постоянны, то вторые разности образуют арифметическую прогрессию, и поэтому верное значение второй разности гхау„, будет равно среднему арифметическому трех смежных ошибочных разностей: г)ху„, = — ((мху„я + е) + (7А'у„, — 2е) + (цху„+ в)], ! так как члены, содержащие в, сокращаются.
По найденному верному значению второй разности гхху„т можно найти величину ошибки е, а именно: эта ошибка будет равна полу- разности между исправленным и ошибочным значениями разности Л'у„, з = — (Л'у„, — (тх'у„, — 2е)~. 1 Верное иге значение самой функции у„найдем из тождества у„= (у„+ е) — в. Для контроля следует снова вычислить конечные разности. Пример 2. Исправить ошибку в таблице 37. Реше н и е. Здесь плавный ход вторых разностей максимально нарушается при х=19. Имеющаяся ошибка распространяется на 505 9 8) оеоещеннля степень три строки, объединенные фигурной скобкой. Находим среднее арифметическое значение второй разности для средней из трех объединенных строк Таблица 37 Таблица разностей, содержащая одиночную ошибку л ау !О = — ( — 4+8 — 4) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
