Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 64
Текст из файла (страница 64)
П р и м е р. Методом скорейшего спуска приближенно вычислить корни системы х+ хо — 2уг = О, 1; У вЂ” Уо+Зхг= — 0 2; г+ г'+ 2ху =О,З, располонсенные в окрестности начала координат. Решение, Имеем: х'о' = 0 Здесь Гх+хо — 2уг — О, ! у= ~у — уо+Зхг+0,2 ~ г+ го+ 2«у — О, 3 Г 1 +2х — 2г — 2у '] Зг ! — 2у Зх 2у 2х 1+ 2г Подставляя нулевое приближение, будем иметь; ~то) 0,2 и (Р = 010 =Е. По формулам (5) и (6) получаем первое приближение )оо (ухо~ ухой 0,11 ха~ х~о> 1,с]го1 0 2 0,3 490 пгивлижиннов гашение систвм нелинейных хехвнвний 1гл. хш Аналогично находим второе приближение х"'.
Имеем: Ун> 005 . ф 09 14 03 Отсюда 0,18! ~ 1Р' ~н> — О, 002 0,147 Г0,2748~ 177 1Р'~тп О, 2098 0,1632 Следовательно, 0,13 0,2748+0,05 0,2098+0,05 0,1632 0,054374 0,2748а+ 0> 2098а+ О, 1632а О, 14619797 Лгй = — 0,2 — 0,37119. 0,002 = — 0,2007 Длв комтролв вычислим неввзку 0,032 1 У >= ~ — 0,017 ~. — О, 007 ф 13. Метод скорейшего спуска для случая системы линейных уравнений Рассмотрим систему линейных уравнений ,~аж ~ ахгхг — Ох=О, ! з ух им ~ а Гхг-й| —— О, !=х ~„ш 5~ а„Гхг — Ь =Ю 1 1 $13) метод скогейшего спьскь для сльчая линейной системы 491 с действительной матрицей А = (а, ] и столбцом свободных членов ь„ Тогда аы а„... ага ам а, ...
а»„ Следовательно, хш'н=хоч — р А'г, Р Р' (2) где г =Ах"" — Ь вЂ” н ев из к а вектора хоч и г (гр, АА'г„) )'г=(АА'г, АА'г ) (р= О, 1, 2, ...) (3) (ср. (5], (6]). Применение формул (2) и (3) приводит к громоздким вычислениям. Поэтому на практике часто вместо «скорейшего спуска» пользуются просто «спуском», добиваясь минимума функции У= (Ах — Ь, Ах — Ь). При этом число шагов процесса, обеспечивающих заданную точность корней системы (1), вообще говоря, возрастает; однако можно добиться того, чтобы вычисление каждого шага было более простым. В общей постановке полагают: х'г+п=х'ю — ».
уон (р=О, 1, 2, ...), Р где уоч — произвольный вектор, направленный наружу поверхности уровня У=сопз1, проходящей через точку х'ь', т. е. (исай У(хнн), у'г') > О. Имеем: г т = АЫг+и — Ь = Ах"' — Ь вЂ” Х Ауол = г — Х Аунн. а+т г г Один из возможных путей определения скалярного множителя Х исходит из требования 17] (г ы у'ь5 = (г, уон) — Х (Ау'~', уон) = О. Отсюда (г, ун'1) (А.Ф~'.
унн) ' 492 привлижвнноя решение систем ивлинхйных хрхвнвний (гл. хдм В аависимости от выбора вектора у'Р' получаются те нли иные расчетные схемы. В частности, если матрица А = А' — положительно определенная (гл. Х, ф 15), то, полагая у'»' = г, будем иметь: х'р'" = х'р' —. г (гр, гр) (Агр, гр) р (р=О, 1, 2...,), причем (йгабУ(х~»), уоч)=2(Аг, г ) ) 0 при г ~0. П р и м е р. Методом скорейшего спуска решить систему уравнений 8хд — ха — 2ха — — 2,3; 1Ох, + ха + 2ха = — 0,5; — х +бх +2х, = — 1,2; Зх, — ха+ 2х + 12ха = 3,7. (4) Р е ш е н и е. Так как в матрице системы преобладают диагональные элементы, то в качестве начального вектора х'а' примем вектор, координаты которого представляют собой округленные значения корней системы: 8хд — — 2,3; бх = — 1,2; 10х = — 0,5; 12х4=3,7, Отсюда, например, ,а, — 0,06 Следовательно, Далее, 8 Π— 1 3 — 1 10 0 — 1 — 2 1 6 2 0 2 2 12. А' ЯА'га= ! О 6 2 20 — — 20 !5 9 !3! матод скогвйшвго спьска для сльчля линейной системы 496 Прииеняя формулу (3), получаем: (го, АА'г,! 144 =(АА'го АА'го! 0,55 36,6+0,4 45,б+О,З 20,15+0,45 98,95 36,64+ 45,64+ 20, 154+ 98,954 88,9425' !3616 О !52 —— 0,006532.
Отсюда — 0,006 532 — 0,05 О,З Хи) Х(о) !4 А'Г причем г'и = Ах'и — В = Аналогично находятся дальнейшие приближения и соответствующие невязки: х(4) «(3) х(4) = Г4 = х(о) н т. д. 0,2351 — О, 0849 — 0,2147 0,2863 О, 2296 — 0,0842 — 0,2251 0,2748 0,2266 — 0,0792 — 0,2379 0,2875 0,2228 — 0,0810 — 0,2430 ~ 0,2823 0,3109 0,1020 0,1684 — О,!966 0,0712 — 0,0280 0,1692 — 0,0806 0,0493 0,0013 0,0839 — 0,0493 0,2644 — 0,0696 — 0,2!31 0,2556 494 пгивлижвннов гвшвнив систвм ннлинвйныл аньвнвний (гл.
хш Заметим, что в данном случае процесс приближений. сходится медленно: после пятого приближения л<ы еще далеки от точных корней системы (4), равных х = 0,2; х = — 0,1; х = — 0,3; х» =.0,3. й 14». Метод стииеииых рядов Пусть дана нелинейная система Д„(х<, х„..., х„) = 0 (1) (л = 1, 2, ..., л), где функции г"„ — аналитические в окрестности изолированного решения х» =-(х',, х',, ,х„'). Рассмотрим более общую систему (8] т"- (х„х„..., х„; )<) =0 (2) (4=1, 2, ..., и), зависящую от действительного параметра )< и таку<о, что при )<=0 система (2) решается непосредственно, а при Х = 1 — тождественна системе (1), т.
е. )'„(хы х„..., х„; 1)= — ~'„(хы х„..., х„) <=1 <=1 (й=1, 2, ..., л), где х=(х„х„..., х ). Мы будем предполагать, что Рь †аналитическ функции от )< при ~)<)(1. Пусть при ()<( ~ (1 'система (2) имеет простое аналитическое решение хт()<) (у= 1, 2, ..., л), которое при 1< = 1 совпадает с х' (у=1, 2, ..., л). Положим х (0)=х«о (/=1, 2, ..., п), где х«о Ц=1, 2, ..., и) — известное <<=О. Разлагаи функции х ()<) в ряд лучим: ху(Х) =х (0)+)<х '(0)+ —, х" (О) (-... решение системы (2) прн Тейлора в точке Х = О, по- ()=1, 2, ..., п). (3) (й=1, 2, ..., и).
Параметр )< следует вводить так, чтобы зависимость функций г.а от 1< была по возможности простой. Напри<<ер, если х<»>=(х<'>, х<'<, ..., х«о) — грубое приближение решения, то можно положить: $14) 495 метод ствпвннык гядов Для определения коэффициентов х,'.(О) продифференцируем по параметру Х равенство (2): л Е д х/()г)+ д/„— 0 (//=1, 2, ..., «). (4) дк/ Полагая х=ха' и )Г =О, будем иметь: л дра (х'л', О) дра (х'л', О) дх / дХ ..., л).
к/ Отсюда, если 1 ~д~а (хм~~ 0)1 находим х'. (0). / Далее, дифференцируя по Х равенство (4), получим: л л и — х/(Х)+~ ч' х (Х)х,(А)+ дх/ / дх/дк/ / и дх/дХ Огс/ода пря х=х'а' н 1=0 находим: л л л /иа /=3 /=1 /им Так как х (0) известны, то из системы (б) можно определить х" (0). Аналогично вычисляются производные хил(0), х'ч(0), Заметим, что матрица коэффициентов при старших производных оказывается все время одной и той же и равна матрице Якоби функций Г„гаа, ..., г„относительно переменных х, х, ..., хл прп х =хй> (/=1, 2, ..., и) и Х=О.
у Предполагая, что рялы (3) сходятся при Х = 1, окончательно находим: х'=ху(1)=х/(0)+х/(0)+ — х/(О)+... (/ 1, 2, „, и). (6) Недостатком метода является сложность вычислений в общем случае производных высших порядков. Кроме того, сходимость ряда (6) может быть недостаточно быстрой. 496 пгивлижвнноз гвшвник систвм нвлинвйных звавняний!гл. хш При применении метода не обязательно предполагать аналитичность функций ху()г) (у = 1, 2, ..., л), а именно: вместо ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Тейлора, оборвав ряды х (л) на некоторой степени )г' и оценив их остатки по известным у формулам (гл. И1, 9 4), Литература к тринадцатой главе 1.
Л. В. К а н т о р о в н ч, О методе Ньютона, Труды Матем. и-та ям. Сте. клова, ХХН111, М.— Л. (1949), 104 — 144. 2, А. Оз1гочгзк1, Сборник работ памяти Д. А. Граве, 1940, стр. 213. 3. Дж. С к а р б о р о, Численные методы математического анализа, ГТТИ, М.— Л., 1934, гл. 1Х, 4.
Д. А. Вентцель, Е. С. Вентцель, Элементы теории приближенных вычислений, Изд. ВВИА нм. Жуковского, М., 1949, гл. 111, $8. 5. В. Э. М н л н, Численное решение дифференциальных уравнений, ИЛ, 1955, гл. 1Х. 5. А. С. Ха усхолдер, Основы численного анализа, ИЛ, 1956, гл. 111, 7. Э. Б у т, Численные методы, Фнзматгнз, М., 1959. 3. Современная математика для инженеров, под редакцией Э.
Ф. Беккенбаха, ИЛ, М., 1958, гл. Х1Н. Ч. Мор рей, Нелинейные методы. ГЛАВА Х!Ч ИНТВРПОЛИРОВАНИВ ФУНКЦИИ 3 1. Конечные разности различных порядков Пусть у =~'(х) — заданная функция. Обозначим через Лх=й фиксированную величину прнращенна аргумента (шаг). Тогда выражение Лу = Л~'(х) = У (х+ Лх) — У (х) (1) называется лереой конечной разностью функции у. Аналогично определяются конечные разности высших лорядков Л"у=Л(Л" 'у) (а=2, 3, ...). Например, Лу = Л [у (х+ Лх) — ~' (х)] = [у (х+ 2Лх) — у (х + Лх))— — [У'(х+ Лх) — У(х)) =У'(х+ 2Лх) — 2У(х+ Лх) + У(х).
П р и м е р. Построить конечные разности для функции Р(х) =х', считая шаг Лх=!. Решение. Имеем: ЛР(х) =(х+ 1)з — ха = Зхь+ Зх+ 1, Л Р(х) = [3(х+1) +3 (х+1)+ 1) — (Зха+Зх+ 1) = бх+6 ЛаР (х) = [6 (х+ 1) + 6) — (бх -1- 6) = 6, Л"Р(х)=0 при и) 3. Обратим внимание, что конечная разность третьего порядка функции Р(х) постоянна. Вообще, справедливо утверждение: если Р„(х)=аьх" +а,х" '+ ... +а„ вЂ” полином а-б степени, то Л"Р„(х)=н1аьЬ"=сопз1, где Лх=Ь.
498 интвгполивоввнив етнкций (Гл. х!ч Действительно, имеем: ЛР„(х) = Р„(х + Ь) — Р„(х) = а [(х + Ь) — х "1 + +а,[(х+Ь)" ' — х" ')+... +а„, [(х+Ь) — Ь). Раскрыв по биному Ньютона круглые скобки, легко убедиться, что ЛР„(х) представляет собой полинам (и†1)-й степени: ЬР„(х) =Ь хв '+Ь,х" в+ ... +Ь„ где Ь,=пЬа„. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что вторая разность ЛвР,(х) есть полинам (и — 2)-й степени: ЛвР„(х)=с,х" '+с,х" '+ ... +с„„ причем св — (и 1) Ьрв п(п 1) Ь ау Проводя последовательно аналогичные рассуждении, мы в конце концов установим, что Л "Р„(х) = п!авЬ" = сопзс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
