Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 67
Текст из файла (страница 67)
двннлнвнн н И. А. Маров 514 ннтетполитовьнне эвикции [гл. хпт й 6. Вторая интериоляционнаи формула Ньютона Первая интерполяцио иная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования функции вблизи конца таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерлоляиионная формула Ньютона.
Выводом этой формулы мы и займемся. Пусть имеем систему значений функции у~ — — у(хт) (1=0, 1, 2, ..., «) для равноотстоящих значений аргумента ьт ха+ [й Построим интерполирующнй полинам следующего вида: Р„(х) = аз + а, (х — х„) + а, (х — х„) (х — х„т) + +аз(х-х„) (х — х„,) (х — х„,)+... ... + а„(х — х„) (х — х„) ... (х — х,), или, используя обобщенную степень, получаем: Р„(х) =а + ах(х — х„)ы1+ах(х — х„)м1+ -(-аь(х хь з)1ь1+ .. +а (х — хт)и.
(1) Наша задача состоит в определеняи коэффициентов ае, а, а, аь...,, а„таким образом, чтобы были выполнены равенства Р„(хт)=ут (1=0, 1, 2, ..., «). Для этого необходимо и достаточно, чтобы Л'Р„(х ~)=А~У„, (1=0, 1, ..., «). (2) Положим х=х„в формуле (1). Тогда будем иметь: Р„(х„) =у„= а„ следовательно, а =у„. Далее, берем от левой и правой частей формулы (1) конечные разности первого порядка ЬР„(х) =а, 1й+а, 2И(х — х„)В1+ +аз зь(х — х„ь)1'1+... + а„«й(х — х,)1""'1. Отсюда, полагая х=х„и учитывая соотношения (2), будем иметь: Ж (х - т) = цу -т = атй Следовательно, ау а — я х а й 6) втоРАН ннтеРполяцноннля ФОРмулА ньютона 515 Аналогично составив вторую разность от Р„(х), получим: АвР (х) = ав2! Ьв + авЗ ° 2йв (х — х„в)1'1 +...
... + а„п (и — 1) ввв (х — хв) 1" '1 . Полагая х=х„, находим: Лвр„(хв в) = Лву„= а 21 йв и, таким образом, й~Ув-в ав =— 21 Ьв Характер закономерности коэффициентов а; достаточно ясен. Применяя метод математической индукции, можно строго доказать, что ~1 (3) Подставляя эти значения в формулу (1), будем иметь окончательно: йУв в д ву Р„(х) -у„+ — "„"„-'(х — х„)+ У"„-,'(х — х„) (х — х„,)+ дву + З1зв (» — «в)(» — ». в)(х — х„в)+ " ... + — „, „„' (х — х„)... (х — х,). (4) Формула (4) носит название второй интерполлнионной формулы Ньютона. Введем более удобную запись формулы (4).
Пусть х — х„ у= —" а тогда х — х„д х — х„+Ь в а в+ — в-в,у+2 и т д Подставив вти значения в формулу (4), получим: в.~,|-в.~двв,, ~ вв„,<. вв., ~ у(У+1) в у(У+1) И+2) + о (д+ 1) ... (ь+ и — 1) Ав и1 Это и есть обычный вид второй интерполлционной формулы Ньютона. Для приближенного вычисления значений функции у пов лагают: у = Р„(х). 17в 516 интеРНОЛНРОВАнне Функций [ГЛ. ХГР Пример 1.
Дина таблица значений у=!Их семизначных логарифмов Р!айти !я 1044. Р е ш е н и е. Составляем таблицу разностей (таблица 41), Таблица 41 Конечные разности функции у= (я х Примем х„=- 1050, тогда х — к„)044 — 1050 = — 0,6. Ь 1О Используя подчеркнутые разности, в силу формулы (4') будем иметь: !и 1044 = 3,021 1893+ ( — 0,6) 0,0041560+ '6+ 0,0000401 + (-0,6) ( — 0,6+1) ( — 0,6+2) 0 0000008 3 018Т005 В полученном результате все знаки верные. Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньштона могут быть использованы для вкстраполирования функции, т.
е. для нахождения значений функции у для значений аргументов х, лежащих вне пределов таблицы. Если х <хе и х близко к ха, то 5 6) втотля интвеполяцноннья еогмтлл ньютона 5»Т выгодно применять первую янтерполяцнонную формулу Ньютона, причем тогда Я вЂ”.х, ~0 л Если же х ) х„ и х близко к х„, то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона, прячем о= — ''." > 0. л' Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперед и зкстралояирования назад, а вторая интерполяцнонная формула Ньютона, наоборот,— для интерполирования назад н вкстраполирования вперед.
Заметим, что операция экстраполирования, вообще говоря, менее точна, чем операция интерполирова- Таблнца 42 ния в узком смысле слова. Пример 2. Нмея таблицу зна- Таблица Разностей ФУнкцнн ченяй функции у=я!пх в пределах у=а!их от х = 15' до х = 55' с шагом Ь=5' (таблица 42), найти а!п14' и з!п56'. Решение. Составим таблицу разностей (таблица 42). Мы видим, что третьи разности функции у практнчески постоянны, и поэтому неясно ограничиться ими.
йля вычисления я!п 14' примем: . хе=15' и х=14', отсюда д = — = — 0,2. 14'-15' бо Применяя первую интерполяционную формулу Ньютона и испюльауя подчеркнутые разности, будем иметь: з!п 14' = 0,2588+ ( — 0,2) 0,0882+ ' ' ( — 0,0026) + + ( о'2)1 1'2)( 2'2»( — 0 0006) =0,2419. 3! По таблицам а!п14'=0,24192. Дли отыскания з!п56' положим: х„=55' н х =56'; отсюда бб' — 55' а= —.=0,2. 518 ннтагполигованнв еьнкций [гл. хпт Прнменян вторую ннтерполяцнонную формулу Ньютона и,используя дважды подчеркнутые разности, будем иметь: в1п56' 0>8192+0>2 0,0532+ — '' [ — 0,0057)+ + ' ' ' ( — 0,0003)=0,8291.
По таблицам в1п56'=0,82904. 8 7. Таблица центральных разностей Прн построении ннтерполяционных формул Ньютона используются лишь значения функции, лежащие по одну сторону от выбранного начального значения, т. е. вти формулы носят односторонний характер. Таблица 43 519 $8) ннтвгполяционныз Фогмулы ГАуссА Во многих случаях оказываются полезными интерполационные формулы, содержащие как последующие, так н предшествующие вначеняя функции по отношению к начальному значению ее. Наиболее употребительными яз них являются те, которые содержат разности, расположенные в горизонтальной строке диагональной таблицы разностей данной функции, соответствующей начальным значениям хь и уь, или в строках, непосредственно примыкающих к ней. Эти разности дду д, ддуь, ддду д, ...
называются центральными разностями (таблица 43), где хд — — х +18 (д.=О, ~ 1, ~2, ...), Уд — — у'(х;), ддуд=уд~д УВ йдуд=йудед — ддуд " т д. Соответствующие интерполяционные формулы носят название интеряоляционныл формул с центральными разностями. К числу их Относатся формулы Гаусса, Стирлинга и Бесселя 131. 9 8. Иитерполяционные формулы Гаусса Выведем сначала интерполяционные формулы Гаусса. Пусть имеется 2л+1 равноотстоящих узлов интерполирования дн ...,х д, хь, хд, ...>хь д1 х где ддхд — — хд+ -хд — — й=- сопз1 (1= — и, — (л — 1), ..., и†1), и для функции у=у'(х) известны ее значения в этих узлах уд —— У(хд) (1=0, -1-1, ..., -~,л).
Требуется построить полипом Р(х) степени не выше 2л такой, что Р(х;) =уд при д = О, ц- 1, ..., + л. Из последнего условия вытекает, что ддьР (хд) = дд~у; для всех соответствующих значений д и Й. Будем искать этот полипом в виде Р(х) = а,+а„(х — х,)+ а, (х — х,) (х — х,)+ +а, (х — х ,)(х — х,)(х — х,) +а, (х — х ,)(х — х,)(х — х,) Х Х (х — хд) + а,(х — х ,)(х — х ,)(х †)(х — х,)(х — х,) + ... ... + а,„, (х-х,„д>)... (х — х,) (х — хь) (х — х,)... ...
(х — х„ ) + а,„(х — х гь „) ... (х — х ,) (х — х )(х — х,) ... (х — х„д) (х — х„). (2) [гл. х!е ннтнгполиговаиив ехнкций 520 Вводя обобщенные степени, получим: Р(х) = а + ат (х — х,) !с! + аз (х — хе) !'! + аз (х — х т) !'1 + +аз(х — х з)!е!+... +аз» з(х — х !и ы)!зп '1+ +а,„(х «,„„)1-1.
(3) Применяя для вычисления коэффициентов а! (с = О, 1...,, 2л) тот же способ, что и при выводе ннтерполяционных формул Ньютона, и учитывая формулу (1), последовательно находим! е Уе' 1 1!а 3 2!Ле ' 3 3!аз Г- Г. Г Де пзп-з лзп е 4! Йе ~ ' ' '~ зп-1 (2л 1) !аз»-з ~ зп (2л) ! Лзп * Далее, введя переменную х — хе а и сделав соответствующую замену в формуле (3), получим лервую интерлоляционную формулу Гаусса Р(х)=уе+ЧАуе+ 2! ~~у-т+ (4+1) е (е — !) А (4+1) е (у — 1) (у — 2) А 3! 4! У-з+ (у+2) (с+1) д(д — 1)(д — 2) 5' +(у+л — 1 " (у — л+1) Азп-з (у+л — 1)... (д — л) зп (2» — 1)! У-.-ы+ (2л)! Ь У-» (4) или, короче, !ю ( ! 1)!а1 (х)=Уе гЧАУе+ 2, ~У-з+ з! У-т+ (у 1 П!41 (д+ л — Ц!еп з! зп-з + 4! (2л — 1)! У-ю и + (4+Л вЂ” 1)!'и! (2л)! У-» (4') где «=хе+да н у! ! =у(у 1) Первая интерполяционная формула Гаусса содержит центральные разности АУе А Уз А Уы А Уз~ А Уз А Уз (см.
таблицу 43, где эти разности образуют нижнюю ломанув строку по ходу стрелка). Аналогично можно получить вторую интертшляционную формулу Гаусса', содержащую центральные разности АУ-т ц'У-т А Уню сх У-з А У-з А У-з 5 (О) и~!твгполяционнля нога!га!х веоселя 521 (в таблице 43 эти разности образуют верхнюао ломаную строку по ходу стрелки).
Вторая иитерполяционная формула Гаусса имеет внд Р(х)=у +дДУ,+(г+, )ЕД'у +(г+ )е(г ) Дау + (д+ 2) (у+1) д (д — 1) да 4! (Е+н — 1) ... (д — л+1) аа-а ... + (2л — 1)! У „+ +(с+и) (у+и — !) ... (г — и-1-!) да (2 )! У-а нлн, в сокращенных обозначениях, (4+1)!", ( ) =Уз+У У-а+ 2! Дау-а+ , (г+ н — 1)!'"-ц да -! (дл п)1аа! дал (5 ) (2н — 1) ! ! " (2л)! где х=ха+уй. й 9. Интериоляциоииая формула Стнрлиига Взяв среднее арифметическое первой и второй интерполяционных формул Гаусса (4) и (5) ($8), получим формулу Стирлинга Р(х) У ( и у а+6уа ( е дау ( 4(е 1 ) 6 у а+6 у 2 2 -а 3! 2 да(га — 1а) а 4(да — !а) (га — 2а) 6'у «+6'у а + 4! У а+ 6! 2 +г (Е 1а)(г 2) а + 6! г (да 1а) (га — 2а) (га — За) ...
(га — (» — 1)а) даа 'у а+6аа 'у а га(га — 1')(Еа — 2')" (га — (л — 1)') даа где х — ха' и Легко видеть, что Р(х;)=у! при 1=0, -~1, ..., ~л. й 1О. Иитерполяциояиаи фюрмула Бесселя Кроые формулы Стирлинга, часто употребляется формула Бесселя. Для вывода этой формулы воспользуемся второй интерполяцнонной формулой Гаусса (5) (см. $ 8). интяРполиРованив Функций (гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
