Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 57
Текст из файла (страница 57)
таблицу 27): 9 13) нлхожденив втогого совственного знлчения 433 где у')) = А)у, Для каждого из столбцов принимается свое значение Хы а именно: А = 4,462; Хз = 4,456; )сз = 4,447 (таблица 28). Таблица 28 Вычисление второго собственного значения Отсюда получаем: ол, Уз 197 Дл, Уз — 468 . ол, Уз — 342 = — = 1,78; ' = — = 1,54; — ' = — = 1 46. Л у(т) 111 ' ' Ь у(7) — 298 ' ' Ь у(7) — 234 л, з Лз з л, Уз Следовательно, приближенно можно принят)п ла= 3 (1,78+1,54+1,46) 1,59.
В качестве второго собственного вектора можно принять: Г 197'( Дл Аау 458 Нормируя этот вектор, получим:, Р 0,33) х'з) = — 0,76 — 0,56 Так как матрица А — симметрическая, то векторы хп' (9 11) и х'з) должны быть ортогональны между собой. Проверка дает: (хю, х"') =-0,90 0,33+0,42 ( — 0,76)+0,12 ( — 0,56) =0,09. Отсюда бс (хц', х"') =85', что довольно неточно. Третье собственное значение Х находим по следу матрицы Ас "а+ Зз+ )са = Зр А = 4+ 2+ 1 ' 7. Отсюда 7)а = 7 4,46 — 1,59 0,95.
434 нлкождинив совствяннык зньчиннй и ввктогов [гл. хп Собственный вектор х(" „(з) х(3) хз можно вычислить из условий ортогональности 0,90х(') + 0,42х("+ О,! 2х(') = О, 0,33х(," + ( — 0,76) х'," + ( — 0,56) х(" = О. l Отсюда х(') 1 х(') х'3) "з ! — о то — о 88! ! — о ВВ о зз! ~о зз — о то[ или „(3) (3) „(3) 1 3 3 — 0,144 0,539 — 0,818 После нормировки окончательно получим: О,ВЗ ф 14. Метод исчериывании Карину с матрицей А рассмотрим матрицу А1 = А — )(1Х1Х„ где )( -первое собственное значение матрицы А, Х11 Х31 Х1 = Для определения второго собственного значения матрицы и принадлежащего ему собственного вектора можно указать еще один способ, называемый методом исчерлыванил [Ц. Пусть матрица А = [аж[ действительна и обладает различными собственными значениями л1, )(3, ..., )(3, причем 435 141 метод исчегпынлиия — соответствующий собственный вектор матрицы А, рассматриваемый как матрица-столбец, н Ха .=- (Хаз.хзз ° ..
Хла) Число )21 и векторы Х, и Х, предполагааотся известными. В развернутом виде матрица А, записывается следу1ощим образом: Х1, Хз, а„... а„,1 а„... азл~ а,з лм х„х„... Х„,1= алз . апп ~ ала Хла 211Х11 211Х21 ° . ° Х11ХЛ1 а11 азз иза ааз 21Х11 Х21Х21, Х21Х21 (11) хп1211 хл1Х21 " Хл1хл! апа ала Докажем, что все собственные векторы Х~ (у=1, 2, ..., И) матрицы А являаотся такаке собственными векторами матрицы А„ причем соответствующие собственные значения сохраняются, за исключением )аа, вместо которого появляется нулевое собственное значение. В самом деле, используя свойство ассоциативности матричного произведения и условие нормировки (2), имеем: АТХ1 — — АХ,— )аа(Х1Х,) Х,=)азХ,— 111Х1(хаха)=)а Х,— )азха=01 т.
е. А1Х =ОХ, и, следовательно, нуль является собственным значением матрицы А . Далее, при у' ) 1, учитывая, что (Х, Х, ) = Х,ХЕ = О (у = 2,..., И) (см. гл. Х, ф 16, теорема 1), получаем: А,ху=Ах,— )1(х,х',)х,=) аху — )саха(х',х,)=)р, (/=2, ..., и). — отвечааОщнй )а собственный вектор транспонированной матрицы А', рассматриваемый как матрица-строка, причем векторы Х, и Х, нормированы так, что их скалярное произведение равно единице: л (х„х',") =х',х, = ~ х,,х,',=1. /п1 436 НАХОЖДЕНИЕ СОВСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И ВЕКТОРОВ [ГЛ. Хи Таким образом, для матрицы Ах наибольшим по модулю собственным значением является ХВ.
Поэтому для определения )1 и соответствующего собственного вектора Ха можно воспользоваться указанными выше методами (Я 11 и 12). Этот прием называется методом исчериьюания. Например, исходя из произвольного вектора уа, можно вычислить Аа по формуле (А1УА), (.4, уе), причем Х, ж сА,у (сааб). Покажем, что для нахождения итераций А,уа(на=1, 2,...) можно воспользоватьсв формулой А1УВ =,4 Уа — )11ХТХ1УВ (3) позволяющей избежать непосредственного итерирования матрицы А, . Действительно, пусть собственные векторы Ху и Х~ (у=1, 2,..., л) матрицы А и транспонированной матрицы А' удовлетвориют усло.
виям биортонормировки (гл. Х, $16, теорема 2) ХХ =6 где буа — символ Кронекера. Тогда ииеет место билинейное разло- жение матрицы А А = )1ХХТХ1+ )1ВХВХА+ ° ° + 11 Х Хн (4) Отсюда А = А — )1,Х,Х', = Х,Х,Х', +... + )1„Х„Х„'. (6) Так как А"'Ху — Х~~Х (/=1, 2,..., л), то, умножая равенство (4) слева на А ', будем иметь; А" =А Х„Х,+А"Х,Х,+... +А Х„Х„= =Х~Х Х,+)1,Х~Х~+... +Х„Х,Х„. (6) Аналогично, учитывая, что А1Х1 = А1 ' (А Хд) = О А1Ху — — Х~~Ху (У=2, 3, ..., и), $ 15! положнтвльно опгвдвлвннхя симматеическая матгнць 437 после умножения равенства (5) слева на А~~ ' получим: А, =А~~ХзХ,+... +А,Х„Х„=)(~Х Х,+...
+1(„Х„Х„. (7) Из формул (6) и (7) вытекает: что эквивалентно соотношени)о (3). й 15. Нахождение собственных элементов положительно определенной симметрической матрицы Приведем итерационный метод одновременного нахождения собственных значений и собственных векторов положительно определенной матрицы (5). Как известно (гл. Х, $ 15), если действительная матрица А=(а; ) — симметрическая и положительно определенная, то: 1) корни 7(ы 7(„ ..., 1(„ ее характеристического уравнения а,д-ь а„...
аь, аы а„— Х ... аа„ =О действительны и положительны 2) собственные векторы х(() "1 хсб = (/=1, 2, ..., п) х(() л могут быть взяты действительными и удовлетворяют условиям ортогональности и х('х(о=О при у'фй. (2) (=1 Напишем систему, служащую для определения собственного вектора х'('( (аы — 7())х, +аых, +... +а,„х„='О, (ь) (М (г), а„х, +(аа,— 1(,)х, +... +аз„х„=О, (г) (г) (П а„,х(')+а„,х",)+... +(а — 7(,)х(ы)= О 4ЗВ нахождение совственных значений и вектогов (гл. хи или <и 1< <и (1> (1)\ х, = — (а х, +а„х, +...,+а,„х, ), 1 <и 1 < (и (И (И> х, = — (аа)х( + а„х, +... + а,„х„), ) <1> <и )г ' а х„,= — (а„,,х, +а„,,х, +... +а„, „х„) 1 1< = — ы, (а„(х> + а„,х, +... + а„„х„).
<и <и < > к~~ л и 1 Можно также использовать процесс Зейделя. Таким образом, находятся первый корень характеристического уравнения (1) л, = Х<,') (4) и первый собственный вектор (и ь) х ин (и (1, а) "к-'1 1 Для определения второго корня )( уравнения (1) и второго собственного вектора х'а' напишем соответствующую систему уравнений: л х((') = ~~'.~ а< х)'> (1 = 1, 2, ..., л). (5) (=1 Из соотношення ортогоиальностн ~~„', х(их)'> = О /=1 (6) Так как координаты собственных векторов определяются с точностью до множителя пропорциональности, то одна из иих произвольна, например, за исключением особого случаи, можно положить х<и = 1.
Систему (3), вообще говоря, можно решить методом итерации [5], выбирая подходящие начальные значения х«' '), 1(<1" и полагая исключим одно из неизвестных х~'), например х~,'). Тогда система (5) заменится эквивалентной системой »»-1 ')=1 »» — 1 Полагая х'„'), =1, решаем систему ()) методом итерации. В результате будут найдены второй корень )1 характеристического уравнения (1) и собственный вектор х"', причем л-я координата этого вектора определяется из условия ортогональности (6). Аналогично отыскиваются остальные корни )»г (у'= 3, ..., л) уравнения (1) и соответству)ощие им собственные векторы х'1». Мы не рассматриваем исключительные случаи, которые могут возникнуть при применении этого метода. П р и и е р.
Для матрицы (5) А= 2 5 1 найти корни Ху характеристического уравнения и собственные векторы х'Л. ' Р е ш е н я е. Матрица А является симметрической и положительно определенной, так как 31=4) О; Лз=(,' ',~=16~6; 32 = бе(А = 80 ) О. Соответствующая система имеет внд 3»»х л 4х л+ 2х)л + 2х)1)» Х х)1Л=2х)Л+бх)2Л+ х1), (у'=1, 2, 3). Хгх)) =2х~')+ х,'л+бхо~ (8) Полагая у=1 и х, =1, получим: (1) 1 х'," =,— '(2х1" + бх',"+ 1), 1 )»2 =2х,' +х',"+6. (9) $ 15) положитвльно опгвдвленнля симмятгичвсквя млтгнцл 439 440 нахождения совственных значений и вектогов (гл. хц Систему (9) решаем методом итерации, выбирая начальные значения Х1' =1 И Хт ' =1.
п, о) (цо> системы (9) будем иметь х) ~=9. Результаты вычислений приве- 20 дены в таблице 29. Можно принять хх = 8,3874 и Положим теперь в си. стеме (8) у=2. Из условия ортогональности векторов хоп и Х'т' имеем: 0,8077 х ~~Ю + О, 7720 хтхч + +ха ~=0. Отсюда — 0,7720 х1э'~ . (10) Подставляя это выражение в систему (8) и полагая хэ ~=1, получим: х",1 = ~ — (2,3846 хг" + 0,4560), Х = 1, 1923 х',ю + 4,2280. (11) Систему (11) решаем методом итерации, полагая: Результаты вычислений даны в таблице 30. Можно принять Х = 4,4867 и хг'~=0,2170; хэ'~=1. Третья координата определяется из соотношений ортогональности (10): хаем = — 0,9473, поэтому Тогда из последнего уравнения Таблица Вычисление методом итерации собственных элементов матрнцм, отвечающих первому корню характернческого уравнение 0,2170 — 0,047З 1 0,8077 1 1 9 15) положитвльно опгвдвлвнная симнвтгичвская матгица 441 Таблица 30 Вычисление методом ятерацнн собственных элементов матрицы, отвечающих второму корню характеристического уравнения Третий собственный вектор х'т' непосредственно определяетСя из двух соотношений ортогональности О 8077хю+07720хтю+х~е~~ = О, 0,2170 х1,ю+ хе" 0,9473 х~е" = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
