Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Ограничимся при доказательстве для наглядности случаем трехмерного пространства Е,. Пусть дана симметрическая матрица А третьего порядка. Как известно, всякая матрица имеет по меньшей мере один собственный вектор (й 12, теорема 1). Обозначим через ет собственный вектор матрицы А. Так как эта матрица †симметрическ, то вектор в, можно выбрать действительным. Рассмотрим все векторы х, ортогональные к вектору вы т. е. такие, что (х, е,) = О. След ст в и е.
Характеристическое уравнение для действитель. ной симметрической матрицы имеет только действительные корни. Т е о р е м а 2. Собственные векторы действительной симметрической матрицы, соответствуюи(ие различным собственным значенилм, ортогональны между собой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А — действительная симметрическая матрица. Рассмотрим два собственных вектора х'е н хо', соответствующие собственным числам Тч и Х/ (Х; Ф Х/). Имеем: Ах" > = Х,.х"' (2) 378 свздзния из тзогии линзйных ввктогных пгостглнств [гл. х Покажем, что эти векторы образуют инвариантное подпространство Ех относительно преобразования А (рис.
55). В самом деле, прежде всего, если хЕЕх и уЕЕз, т. е. (х„е,) = (у, е,) = О, то для любых чисел а и р имеем: (ах+ ру, н,) =а (х, ах)+ р (у, е,) = 0 и, следовательно, ах + ()у ~ Е,. Таким образом, множество векторов, удовлетворяющих условию (5), образует линейное пространство, причем легко убедиться, что измерение итого пространства равно двум. Пусть теперь х ~ Е,. Рассмотрим скалярное произведение (Ах, и,)=(х, Ае,)=(х, Ххе,) =Х,(х, е,)=0, т.
е Ах Е Ез. В силу теоремы 1' ($ 12) в двумерном пространстве Е, также существует собственный вектор аз матрицы А. Будем теперь рассматривать векторы х, ортогональные как к вектору аы так и к вектору ех, Рнс. 55. т. е. такие, что (х, е,) = (х, аз) = О. Аналогично предыдущему доказывается, что эти векторы образуют одномерное пространство Е„ инвариантное относительно преобразования А. В пространстве Е, снова имеется собственный вектор е, матрицы А. Векторы аы е„ е„ будучи попарно ортогональными, линейно независямы между собой. Таким образом, мы построим ортогональный базис пространства Е, состоящий из собственных векторов матрицы А. Обозначим через Ху собственные значения, соответствующие собственным векторам а7. В силу теоремы 2 из $ 13 матрица Л данного линейного пРеобРазовании в собственном базисе еы Ню аз бУдет диагональной, причем в нашем случае Л= о д,о Аналогично доказывается теорема и в общем случае.
379 свойства симмвттнчаских маттиц й 15) Х=.ш1п(Хы Ха, ..., А„), Л = тпах (Х„Х, ..., А„), где )сы Ха, ..., Մ— все собственные значения матрицы А. Тогда для любого вектора х сяраведливо неравенство й(х, х)((Ах, х) «Л(х, х). (6) Д он а з а т е л ь с т в о. В силу следствия 1 к теореме 3 существует система собственных векторов е„в„..., е„матрицы А: Аег Атее (У=1, 2, ..., л), образующих нормированный ортогональный базис пространства Е„. Тогда любой вектор х можно представить в виде х=х,е,+х,е,+...
+х„в„, где хы ха,..., х„— коорлинаты вектора х в данном базисе. Отсюда Ах=х,Ав,+х,Ае,+... +х„Ае„=к,х,е,+Хххааа+... +Х„х„е„. Учитывая ортогональность векторов базиса, будем иметь; / л л л л (Ах, х)=1 ~ )7хТвр ~~'.,' хьеь~= ~ ~~, Х~хтхь(ер е„) = /=т ь=т /=1 ь=т л л л = ж Х й;;;б,а= Х ~,)х,(т, !=т ь=т / т т. е. (Ах, х) = ~л~~~Хг) хт( . (=1 (7) Заменив в Равенстве (7) Хг на наименьшее значение Х, палУчим: (Ах, х) ~Х ~~~р (ху~а =Х(х, х).
(-т Следствие 1. Для всякого линейного преобразования с действительной симметрической матрицей существует ортогональный базис, состоящий из действительных собственных векторов данной матрицы, в котором матрица преобразования — диагональная. С л е д с т в и е 2. Если матрица — симметрическая, то кажлому собственному значению ее соответствует столько линейно независимых собственных векторов, какова кратность этого собственного значения. Теорема 4(экстремальное свойство собственных з н а ч е н и й).
Пусть А — действительная симметрическая матрица и 380 овядвння нз тзотин лннкйных ввктотных птостгкнств (гл. х Аналогично, подставляя в равенство (7) вместо Х наибольшее значение Л, находим: (Ах, х) и Л ~ ) х )э = Л(х, х). / 1 Таким образом, неравенство (6) доказано. С л е д с т в н е. Минимальное собственное значение Х н максимальное собственное значение Л симметрической действительной матрицы А являются соответственно наименьшим н наибольшим значениямн квадратичной формы и=(Ах, х) на еднннчной сфере (х,х) = 1. Действнтельно, полагая (х,х) = 1 в неравенстве(6), будем нметтп Х ~ ((Ах, х) ( Л. Нроме того, если Ах=Ах, то (Ах, х) =(Хх, х)=Ц аналогично, если Ах=Лх, то (Ах, х) =(Лх, х)=Л. Таким образом, Х=ш1п(Ах, х) прн (х, х)=1 н Л=шах(Ах, х) при (х, х) =1.
Действительную симметрическую матрицу А = [астД назовем положительно определенной, если соответствующая квадратичная форма и=(Ах, х) = лч.", ~~Р~ а~,хсх1 ч 1/~1 является положительно определенной (гл. 7111, $13), т. е. для любого вектора х чай имеем: (Ах, х) > О. Т е о р е и а 5. Действительная симметрическая матрица является положительно определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее положительны. Д о к а э а т е л ь с т в о. Испи А — действительная с иммет рнческая матрица я ее собственные значения Хт таковы, что Хт > О Ц= 1, 2, ..., и), то на основании формулы (у) нз доказательства предыдущей теоремы нмеем: и (А,х)= Х Чх/!ае гюх 6 16] свойства мьтгиц с дайствитальными элвмантлми 381 где х=(х„ха, ..., х„). Отсюда прн хФО получим: (Ах, х) ) О, является наименьшим значением квадратичной формы и =(Ах, х) на сфере (х, х) = 1.
Так как сфера (х, х) = 1 — компактное и ограниченное множество и квадратичная форма и непрерывна и положительна на этой сфере, то по теореме Вейерштрасса наименьшее значение и существует и также положительно, т. е. й)0, Отсюда и подавно Ху) О при /=1, 2,..., и. Приведем без доказательства условия положительной определенности действительной матрицы [2]. Т е о р е и а 6.
Для положительной определенности действительной матрицы А = (а;Д, гдв аы — — ауп необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия Сильвестра.' ]аг, ать! й =а„>О; йь=~~ !~>О; ...," ]аы ам~ а„ам ... агь ам аж ... аьч аьт а„, ... а„ь >О, т. е. действительная симметрическая матрица А положительно определенная тогда н только тогда, если все главные диагональные миноры ее определителя йе1А строго положительны. й 16е.
Свойства матриц с действительными элементами В дальнейшем мы, как правило, будем рассматривать матрицы А =1а;уД, элементы котоРых агу действительны; такие матРицы называются действитвльными или вви(встввнными. Пусть А = ~агт1 — действительнав квадратная матрица порядка л, Так как ее характеристическое уравнение йе! (А — ХЕ) =- О т. е. матрица А — положительно определенная. Обратно, пусть А — действительная симметрическая положительно определенная матрица.
В силу теоремы 1 все ее собственные значения йы йю ..., Х„ действительны, причем ]с = ш!п (Хы Хю ..., Х„) 882 сведения из теотии линейных вектотных птосттлнств (гл. х есть полипом с действительными коэффициентами, то корни Х„ Хч, ..., Х„ характеристического уравнения, представляющие собой собственные значения матрицы А, в случае нх комплексности попарно сопряжены (гл. Ч, $ 1), т. е. если А есть собственное значение матрицы А, то сопряженное число й; также является собственным значением матрицы А и имеет ту же кратность. Действительная матрица может не иметь действительных собственных значений.
Однако в одном важном случае, когда элементы матрицы положительны, гарантируется существование хотя бы одного действительного собственного значения [6]. Теорема Перрона. Если все элементы квадратной матрицы положительны, то наибольшее по модулю собственное значение ее также положительно и является простым корнем характеристического уравнения матрицы, причем ему соответствует собственный вектор с положительными координатами. Собственные векторы действительной матрицы А с различными собственными значениями в общем случае комплексные и не обладают свойством ортогональности. Однако, привлекая собственные венторы транспонированной матрицы А', можно получить так называел1ые соотношения биорюгональности, которые длв случая симметрической матрицы эквивалентны обычным соотношениям ортогональности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
