Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Пусть определитель Ь„= бе!(с((1) 255 [гл. тп Алгевра матриц прсобразован так, что ард — — 1 (а †главн элемент), т. е. ам ... а, ... ам ... а„, а>» ... [ а! [ ... а>7 ... а>е Л„= ар, ... ! ... ~ ар~~ ... ар„ а„, ... аь ... а„т ... аьь Тогда Л„= ( — 1)Р+д Л„ где Л„т = бе! [ац ) есть определитель (и — 1)-го порядка, получаю- Г !Ыт щийся из Л„путем выбрасывания р-й строки и у-го столбца с последующим преобразованием элементов по формуле (>> ап =а;7 — а;дар, т. е.
каждый элемент а;; определителя Л„, равен соответствую- !1> и(емУ злементУ а>7 опРеделителЯ Ль, УменьшенномУ на пРоизведение его «проекций» агд и а ! на отброшенные столбец и строку исходного определителя. Доказательство этого положения легко вытекает из общих свойств определителей [7~. П р и и е р. Вычислить 1 — 1 2 3 1 4 3 4 2 3 1 — 2 — 3 5 — 1 1 2 3 2 Ла Р е ш е н и е.
Прннимзя за главный элемент а, = 1, будем иметь: — 11 Π— 2 3 4 — 2 — 4 7 4 — 1 8 — 1 — 7 — 1 — 2 ! 5 — 1 — 2 — З.З 3 1 — 31 4 ь — ( 1) 5 — 3 ( — 1) — 2 — 1 — 3 2 1 — ! 3 — ! ° 1 — 1 ( — 1) — 1 2 1 — ( — 1)3 4 2 — ( — !)1 3 — 3 — ( — 1)( — 1) 5 2 — ( — !)2 3 — 2 3 — 2 ! — 2 ( — 1) — 2 2 литзгзтхгл к схдьмой главк Далее, принимая за главный злемеит а е = 1 и применяя аналогичное преобразование, получим: — 15 3 10 22 — 11 — 25 — 9 ~1! — 15 6 22 — 22 !Π— 25 ! ! — 77 2.
( 1)з+з — 446 Ваметим, что число умножеиий и делений, нужных для вычисления определителя а-го порядка, равно [8) 3 Литература к седьмой главе 1. О. Ш рейер и Е. Ш пер не р, Теория матриц, ОНТИ, 1936, 9 1, 2. 2. А. Мальцев, Основы линейной алгебры, Йзд. 2, Гостехиздат, 1956. 3. В. Н. Ф а д д е е в а, Вычислительные методы линейной алгебры, Гостех.
издат, 1950. 4. Р. Фрезер, В. Дункан, А. Коллар, Теория матриц и ее прило. жения к дифференциальным уравиеиням и динамике, ИЛ, 1950. 5. Б. В. Б ул гаков, Колебания, Гостехиздат, 1954, гл. !. 6. Б. С. Ляпин, Курс высшей алгебры, Учпедгиз, 1953, гл. 1Х. 7. Э. Уиттекер и Г. Робинсон, Математическая обработка резуль татов наблюдений, ОНТИ, 1935, гл. Ч. 8.
Д. К. Ф аддеев и В. Н. Фаддеева, Вычислительные методы лицей~ иой алгебры, Физматгиз, 1960, гл. И. ГЛА ВА Ч1Н РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ й 1. Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений й 2. Решение систем с помощью обратной матрицы. Формулы Крамера Пусть дана система л линейных уравнений с и неизвестными аыхт+ атяхя+ ° ° + ашхк = от ах,х, + аззхе+... + а,„х„= дю + а„„х„ = Ь„, а„,х + а„ хт + ... Обозначим через А-~ ап аы а„ аы (2) ата а„т Способы решения систем линейных уравнений в основном разделяются на две группы: 1) точные нетодвц представляющие собой конечные алгорифмы для вычисления корней системы (таковы, например, правило Крамера, метод Гаусса, метод главных элементов, метод квадратных корней и др.), и 2) итерационные метода, позволяющие получать корни системы с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов (к числу их относятся не~од итерации, метод Зейделл, метод релаксации и др.), Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются п р и б л и ж е н н ы м и, причем оценка погрешностей корней в общем случае затруднительна.
При использовании итерационных процессов, сверх того, добавляется погрешность метода. Заметим, что эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора начального приближения и быстроты сходимости процесса. э 21 гкшение с помощью овглтной мьтгнцы. эогмхлы кгьмвел 269 матрицу из коэффициентов системы (1), через ь~ ь, -столбец ее свободных членов и через х, хэ (4) — столбец из неизвестных (искомый вектор). Тогда система (1) кратко может быть записана в виде матричного уравнения Ах=Ь. (5) Совокупность чисел хы хя, , х„ (или, короче, вектор х), обращающих систему (1) в тождество, называется решением этой системы, а сами числа х~ — ее корнями. Если матрица А †неособенн, т. е. аы аы " аь„ лм лы "° лил =Л~О, (6) бе1А = аща„э... а„„ то система (1), или эквивалентное ей матричное уравнение (5), имеет единственное решение.
В самом деле, при условии с(е1 А фО существует обратная матрица А '. Умножая обе части уравнения (5) слева на матрицу А ~, получим А 'Ах = А 'Ь или х=А 'Ь. (7) Формула (7), очевидно, дает решение уравнения (5), причем так как каждое решение имеет вид (7), то решение единственно.
'П р н и е р 1. Решить систему уравнений Зх,— х =5, — 2х,+х +х,=О, 2х — х -1-4ха=15. 270 Решение систем линейных угленений Решение. Запишем систему в матричной форме [гл. Шп — х Определитель матрицы А данной системы О) ! 1 = 5 чь О. 3 бе!А= — 2 — 1 1 — 1 Вычисляя обратную матрицу А д, получим: А д= Отсюда хд 15 хл Значит, х,=2; х =1; ха=3. Для матрицы А порядка и ) 4 непосредственное нахождение обратной матрицы А д требует много времени. Поэтому формула (7) редко употребляется на практике.
Пользуясь формулой (7), легко получить формулы для неизвестных системы (1). Как известно (гл. Ч11, 2 4), А '= — А, 1 Ь где А дд Адд "° Алд А= Я,А...А] — матрица, союзная с А (А;! — алгебраические дополнения элементов а,7). Поэтому 1 х= — АЬ д! 4 1 5 12 2 5 1 О 5 4 5 12 5 1 5 1 5 3 5 1 5 1 5 3 5 1 5 9 2) Решение с помощью ОБРАтнОЙ млтРицы. ФОРНУлы кРАмеРА 271 НЛИ К1 Х1 (8) — п- Х где а11 ... а,;, Ь, а1 1+1 ... Нгп ам ° .. ап ! 1 Ь1 ап РР1 ... аьп а„, ... Ип; 1ьп нп 1+, ...
Ипп — определители, получающиеся из определителя Л (формула (6)~ путем замены его 4-го столбца столбцом свободных членов системы(1). Из равенства (8) получаем формулы Крамера 51 Дп Дп 1 Д 1 Д '' и Д (9) Следовательно, если определитель системы (1) Л~О, то система имеет единственное решение х, определяемое матричной формулой (7) или эквивалентными ей скалярными формулами (9).
Пример 2. Решить систему линейных уравнений 2х +х — бха+ха — — 8, х,— Зх — бк =9, 2ка ха+ 2А1= — 5 х1 + 4к — 7к + бха = О. Р е ш е н и е. Определитель этой системы = 27 чь О. Вычисляя дополнительные определители, получим: Л1= 2 8 — 5 1 1 ΠΠ— 6 !98 Π— 5 — 1 2 1 Π— 7 6 1 — 3 2 4 6 Π— 5 О Д, Дп Ф вЂ” 5 1 Π— 6 — 1 2 — 7 6 1 — 5 1 †Π— 6 2 — 1 2 4 — 7 6 272 Решвние систем линейных уРлянений [гл. уш Отсюда Л, 8! х = — =,— =3! Ь 27 Ь~ 108 х, = — '= — = — 4; Ь 27 53 « = — = — — = — 1 о3 27 х = — = — =1 о 27 Таким образом, решение линейной системы (1) с и неизвестными сводится к вычислению (и+1)-го определителя порадка и.
Если число л велико, то вычисление определителей является трудоемкой операцией. Поэтому разработаны прямые приемы нахождения корней линейной системы. й 3. Метод Гаусса Наиболее распространенным приемом решения систем линейных уравнений является алгорифм последовательного исключения неизвестных. Этот метод носит название метода Гаусса. Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными аых, + аг,х,+ а„х,+ а„х, = а!2, аых, + а„х2+ а23ха+ а„х, =- а,„, 1131Х1+ П3222+ 1133ХЗ+ Г133Х3 П33 П31Х1+ П33Х3+ П33Х3+ П33Х3 = 033.
Пусть а!1~0 (ведущий эл еиент). Разделив коэффициенты первого уравнения системы (1) на а„, получим: х1+ 513ха+ 513ха+ 513х3 = (!13, (г) где 2 1 8 — З О О 2 — 5 1 4 О 2 ! — 5 — З О О 2 — ! 1 4 — 7 1 — б 2 = — 27; б 8 ', =27. О 273 метод ГАуссА (1) (1) (1) (1( аВ3 х, + а13 хз+ а34 х4 = а„', (1) (1) (1) (11 ПЗВ ХЗ+ ОЗЗХВ+ 034Х — ЙЗЬ, (1) (1) (1) (О а„хз+ а 4,хЗ+ а „х4 —— а „, где коэффициенты а,',(р (1, у) 2) вычисляются по формуле (1) и„= а! — а(ВЬВ ((, /~ 2). Разделив, далее, коэффициенты первого уравнения системы (1') на «ведущий эл е мент» а(,",, получим уравнение х»+ Ь,з'хВ+ Ь„ХВ = Ь'3,'1 (2') где Исключая теперь хЗ таким же способом, каким мы исключили х<, придем к следующей системе уравнений: а(3)х +а(3)х =а(3), ЗЗ 3 34 В ВЬ ' а(3)х + а(3)х = а(3), 43 3 44 4 4Ь' где а(1) = а(1) — а(1)Ь(" (1, у~3).
(! (! 13 3! Разделив коэффициенты первого уравнения системы (1") на «ведущий элемент» а(',), получим: (2') х + Ь("х = Ь(В) 3 В4 В 341 где а(3( 33 Исключив теперь хз аналогичным путем из системы (1"), будем иметь: (1"') а(3)х =а(3) 44 В ВЬ а(3) = а(3) — а(3) Ь<В) ((', у'~ 4). (! (! ~ 3 3! где Пользуясь уравнением (2), легко исключить из системы (1) неизвестную х,. Для этого достаточно из второго уравнения системы (1) вычесть уравнение (2), умноженное на а»1, из третьего уравнения системы (1) вычесть уравнение (2), умноженное на аз„ и т.
л.. гз результате получим систему из трех уравнений Решение систем линейных уРАВнений (ГЛ. НН1 274 'Отсюда о141 4 441 44 ' 14 (2'") Остальные неизвестные последовательно определяются из уравнений (2"), (2') и (2): х =ЬМ1 — Ь4"х, »= „„4 (11 (1) (11 х» = Ь»4 Ь»4х4 — Ь»»х» хт = Ь1, — Ь,«х 4 — Ь,сх, — Ь,»х,. Таким образом, процесс решения линейной системы по методу Гаусса сводится к построению эквивалентной системы (2), (2'), (2"), (2"'), имеющей треугольную матрицу.
Необходимым и достаточным условием применимости метода является неравенство нулю всех «ведущих элементов». Вычисления удобно поместить в таблицу 13. Приведенная в ней схема называется схемой единственного деления. Процесс нахождения коэффициентов ЬП-" треугольной системы Ц обычно называется прямым ходом, процесс получения значений неизвестных †обратн ходом. Прямой ход начинается с выписывания коэффициентов системы, включая свободные члены (раздел А). Последняя строка раздела А схемы представляет собой результат деления первой строки раздела на «ведущий элемент» а1 . Элементы а<'~ (1, у» 2) следующего раздела схемы (раздел А„) равны соответствующим элементам аВ предшествующего раздела без произведении их «проекций» на ряды раздела А, содержащие элемент 1 (т. е.
Иа первый столбец и последнюю строку). Последняя строка раздела Ад находится путем деления первой строки раздела на «ведущий элемент» а<'>. Аналогично строятся 24 следующие разделы. Прямой ход заканчивается, когда мы дойдем до раздела, состоящего из одной строки, не считая преобразованной (раздел А» в нашем частном случае). При обратном ходе используются лишь строки разделов Ап содержащие единицы (отме«енныг строки), начиная с последней.
Элемент Ь44> из раздела А», стоящий в столбце свободных членов отмеченной строки раздела, дает значение х«. Далее, все остальные неизвестные хг (1 = 3, 2, 1) шаг за шагом находятся с помощью вычитания нз свободного члена отмеченной строки суммы произведений ее коэффициентов на соответствующие значения ранее найденных неизвестных. Значения неизвестных последовательно выписыва1отся в последний раздел В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
