Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Равенства 1) — 4) понимаются в том смысле, что если одна из их частей существует, то другая часть также существует и онн равны между собой. Произведение двух матриц. не обладает переместительным свойством, т. е„вообще говоря, АВИВА, в чем можно убедиться на примерах. 230 [гл. Рн АлгвВРА мАТРиц то 119 13 71 АВ= [46 31 19!, а ВА не существует. В тех частных случаях, когда АВ=ВА, матрицы А н В называются перестановочными (коммутативными).
Так, например, как нетрудно убедиться, единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка, причем АЕ = ЕА = А. Таким образом, единичная матрица Е играет роль единицы при ум ноже ни и. Бспн А и  — квадратные матрицы одного и того же порядка, то бе1(АВ) = бе((ВА) =бе1А бе(В. Эта формула вытекает из правила перемножения определителей. Например, для матриц, приведенных в примере 3, имеем: !43 36! = !3 4! !7 6! !23 34! !! 2! !5 6! 3 3. Транспомироваииая матрица Заменив в матрице аы а„...
ага аю а„... а„ ааа ...а А а„аы ... ааа аы а„... ааь А'=А" = типа и Х нг. В частности, дпя вектора-строки а=[а а, ... а) транспонированной матрицей является вектор-столбец а, аа типа пг Хн строки соответственно столбцами, получим так называемую транспонированную матрицу 231 овгхтнля мхтгнцх 7ранспонированная матрица обладает следующими свойствами: 1) дважды транспонированная матрица совпадает с исходной: А" = (А')' = А; 3) транспонирозанная матрица произведения равна произведению транспонированных матриц сомножителей, взятому в обратном поядке, т. е.
Р (АВ)' = В'А'. Действительно, элемент 1-й строки и утго столбца матрицы(АВ)' равен элементу усй строки и (-го столбца матрнцыАВ, т. е. а Ь„+ау Ь;+... +а.„Ь„н Последнее выражение, очевидно, представляет собой сумму произведений элементов 1-й строки матрицы В' на соответствующие элементы усто столбца матрицы А', т. е. равно общему элементу матрицы В'А'. Если матрица А †квадратн, то, очевидно, де1 А' = де1 А. Матрица А=(аВ) называется симметрической, если она совпадает со своей транспонированной, т.
е. если А' = А. (1) Из равенства (1) вытекает, что: 1) симметрическая матрица — квадратная (ш=л) и 2) элементы ее, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой, т. е. ад — — а1 . С=АА', Произведение очевидно, представляет собой симметрическую матрицу, так каи С = (АА')' = (А')' А' = АА' = С. Например, 1~,','1 Г . ~) ~ ~1 1 2 31 ( ( Г 1а+2' +3' 1 4+2 6+3.6) (14 321 4 6 6~ ~ ~ ) 4.1+5.2+6.3 4х+5х +ба ~ (32 77~' 3 6 й 4.
Обративя матрица Определение 1. Обратной матрицей по отношенню к данной называется матрица, которая, будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу. 2) транспонированная матрица суммы равна сумме транспониро. ванных матриц слагаемых, т. е. (А + В) ' = А' + В'1 232 (гл. чп ллгвБРл матгиц Для матрицы А обозначим обратную ей матрицу через А '.
Тогда по определению имеем: АА э=А 'А=Е, (1) где Š— единичная матрица. Нахождение обратной матрицы для данной называется обращением данной матрицы. О п р е д е л е н и е 2. Квадратная матрица называется неособенной, если определитель ее отличен от нуля. В противном случае матрица называется особенной, или сингулярной.
Т е о р е м а. Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу. Доказательство. Пусть дана неособенная матрица и-го порядка ап а!а ° ° а~» ам аы ил» ал\ ала ° ° апп где Йе1А= Ьф.б. Составим для матрицы А так называемую лрисоединенную (или союзную) матрицу Аы Аю "° Апт Аы Апл ° .. А„, А (2) Ал 4»п " 4п» где А~1 — алгебраические пополнения (миноры со знаками) соответствующих элементов а;~(1, /=1, 2, ..., л). 'Заметим, что алгебраические дополнения элементов строк помещаются в соответствующих столбцах, т.
е. произведена операция транспонирования. Разделим все элементы последней матрицы на величину определителя матрицы А, т. е. на Л; А„Аы Ал, Ь Ь ''' Ь А„А,» Ап, А" = Л Л ''' й (3) Агп Апп Алп Л Л ''' Л Докажем, что матрица А" есть искомая обратнаяматрица:А" = А '. Как известно, 1) сумма произведений элементовнекоторогоряда (строки или столбца) определителя на алгебраические дополнения овглтнля млтгицл ф 4[ этих элементов равна определителю и 2) сумма произведеннйэле„ентов некоторого ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю, т.
е. ~', агаА „= бгуЛ (4) 1 1 аагАау = бцЛ, Р =1 (4') где [ 1 при б,. = ( 0 пРи 1~У. произведение АА", будем На основании этих свойств, составляя иметь: ам а!1 . " агл «11 а«1 ° .. апп АА» = а а ... а »1 «1 ° ° ° лп 4 А А 1» 1« и» Л Л ' ' Л о ... о ~ ~ =Е. (5) О О ... 1 ~ Итак, АА" =Е. Формулу (5) можно вывести короче, есливоспользоватьсясокращенными обозначениями 1 А!1'[ А = [аг [ и А" = 1с — ~ . Учитывая соотношение (4), получим: А 1а'[ АА»пл ~~! аг„— ~ =[61Г[=Е.
ап! Аналогично можно удостовериться, что А«А =Е. Следовательно, А" =А ', т. е. А '= — [А;[, 1 и (6) где Л = бе[А. А„А„ Л А1«А«1 Л Л Ап! Л А«1 Л 234 [гл. тн ллгевгл млтгиц 3 а меча ни е 1. Для данной матрицы А ее обратная матрицаА ' единственна. Более того, всякая правая обратная (левая обратная) матрица матрицы А совпадает с ее обратной матрицей А т (если последняя существует). Действительно, если АВ=Е, то, умножая это равенство слева на А т, получим: А тАВ=А тЕ илн В= — А '. Аналогично доказывается, что если СА=Е, Из равенства (1) имеем: де1А бе1А г = бе1Е=1, т. е.
О= 1"г1, что невозможно. Утверждение доказано. Прим ер. Для матрицы А=~ 1 2 3 — 2 — 4 — 5 3 5 б найти обратную матрицу. Р е ш е н и е. Так как определитель 1 2 3 1 2 3 — 2 — 4 5 3 5 б — О О 1 Π— 1 — 3 то матрица А неособенная. Составим присоединенную матрицу 1 3 2 3 3 1 2 1 О то,С=А Поэтому при проверке соотношения(1) достаточно ограничиться лишь одним равенством. 3 а и е ч а н и е 2. Особенная квадратная матрица обратной не имеет. Действительно, так как матрица А в особенная, то бе1А=О. 235 ф 4) ОВРАТНАЯ МАТРИЦА Разделим все элементы матрицы А на Л = ! и получим: ! 3 2 А т= — 3 — 3 — ! 2 ! О Рекомендуется проверить, что действительно АА '=Е.
Укажем некоторые основные свойства обратной матрицы. !. Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицьь Действительно, пусть А 'А=Е. Учитывая, что определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, получим: йе1А тйе1А=йе1Е=1. Следовательно, йе1А !=в ! йе1 А 2. Обратная матрица произведения квадратных матриц равна произведению обратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке, т. е. (АВ) '=В 'А т. В самом деле, АВ(В 'А ') =А(ВВ ') А '=АЕА ' =АА !=В (В 'А ')АВ=В '(А 'А) В=В 'ЕВ=В 'В=Е.
Значит, В тА ' есть обратная матрица для АВ. В более общем случае 3. Транспонированная обратная матрица равна обратной от транспонированной дакной матрицы: (А т)'=(А') Действительно, транспонируя основное соотношение А !А=В, получим: (А АА)' =А'(А !)'=Е'=Е. 236 (гл. Тп АЛГВБРА МАТРИЦ или (А ')'=(А') ', что и требовалось доказать. 3 а и е ч а н и е.
С помощью обратной матрицы легко решаются матричные уравнения АХ= В и т'А=В. Действительно, если беТА -60, то Х=А 'В и г'=ВА '. ф 5. Степени матрицы Пусть А †квадратн матрица. Если р †натуральн число, то полагают: АА... А=АР. и Раа Дополнительно уславливаются, что Аа = Е, где Š— единичная мат- рица. Если матрица А неособенная, то можно ввести отрицатель- ную степень, определив ее соотношением А " = (А ')и. Для степеней мзтрицы с целыми показателями обычные правила: 1) АРАР=АР+е; 2) (АР) е = А"'.
справедливы Неквадратную матрицу, очевидно, в степень возводить нельзя. Пример 1. Пусть ад О ... О о « ... о О О ... а„ Тогда аа О ... О О аа ... О А'= О О °" ааа Отсюда, умножая последнее равенство слева на матрицу (А') ', будем иметь: (А') тА' (А т)'=(А') тЕ 237 Рлционлльныв Функции млтенцы 2 6) Пример 2.
Найти 0100 0010 0001 0000 Решение. Имеем Вели А н В в квадратные матрицы одного и того же порядка, причем АВ= ВА, то справедлива формула бинома Ньютона (А+В) =,~ ЯСрА~Ве ". ь=а 5 6. Рациональные функции матрицы Пусть «ы «аа ° ° ° «ан каа к ...к„ «на «на «нал — произвольная квадратная матрица порядка и. По аналогии с формулами элементарной алгебры определяются целые рациональные функции матрицы Х: Р(Х! = А Лаа +А Х а + ... +А Е (правый полипом); Р(Х) =- Л А +Х аА + ... + БА (левый полинам), где А„ (и = О, 1, ..., ла) †матри типа лаХп или соответственно типа лХла и Š— единичная матрица порядка и. Вообще говоря, Р(Х) т--Р(Х! Можно ввести также дробные рациональные функции матрицы Х, определив их формуламн Я (Х)=Р(Х) [()(Х)) ~ Йа(Х) =Й(Х)) 'Р(Х), где Р(Х) н !е(Х) — матричные полиномы и бе
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
