Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 27
Текст из файла (страница 27)
+ар,+1х г + ° ° ° (7) . +а,+,+. + „— — О, степени которых соответственно гл, и, ..., т . В частности, если корни уравнения (1) полностью отделены, то уравнения (7) †линейные; паре комплексных корней при отсутствии других корней того же модуля будет соответствовать квадратное уравнение в совокупности уравнений (7) и т. д. Мы ограничимся вдесь рассмотрением простейших случаев, когда уравнение (1), коэффициенты которого считаются действительными, имеет одну пару комплексных корней или же две пары комплексных корней с различными модулями, причем модули действительных корней различны и отличны от модулей комплексных корней. С более общими случаями можно познакомитьсв в книгах Крылова [51 и Скарборо [6[.
й 11. Случай пары комплексных корней Пусть х„=и+ (о, ) х +,— — и — ю'о 1' (и и о действительны, пфО) — комплексные корни уравнения (1) й 10, причем все остальные корни хл (йфш, Ваш+1) этого уравнения действительны и удовлетворяют условию [х )>[ха!)...)[х„)=(х„+,)~...> [х„[. (2) Применяя процесс квадрирования корней, составим уравнение Ь,У'+Р,У"- +... +Р„=О, корнями которого являются: Ул — — — хан (й=1, 2, ..., л). При достаточно большом натуральном р действительные корни Ул ' У -т У +л, У„будут разделены с большой степенью 188 спвцилльныи панамы ввшвния ллгвввличвских тнлвнвний [гл.
т Действительную часть и комплексных корней проще всего найти, воспользовавп1ись соотношением х1+ ха + ° ° ° + х -1+ (хм + хи+ 1) + х11+1+ ° ° ° + х11 ' Иа Отсюда и Ч-1И 2и = х + х — — — т х 1 11+1 в а „щ й ф ИВ+1 и, следовательно, (4) По формулам (4) и (5) определяем искомые комплексные корни х„, „+ — — и~[о. Можно также искать комплексные корни в тригонометрическом виде х„+1 — — г (соа 1р -Ь. 1 а! и ~р). П р и м е р. Найти корни уравнения [7) ха+ха — 10ха — 34х — 26 = О. (6) Р е ш е н и е. Результаты вычислений с четырьмя значащими цифрами приведены в таблице 9. Из таблицы 9 видно, что в пятом преобразованном уравнении (степень корней 21 = 32) действительные корни х1 и ха (считая в порядке убывании модулей) являются отделенными.
Эти корни можно найти из двучленных уравнений — ха'+2,005 1011=0, 1 — 2,704. 101ахаа+ 1,901 ° 1011 = О. 1 Отсюда 1,20! х =~ — ' ° 1О'. 2,704 х, = ~ ~ЬГ2 005. 101а Логарифмируя, будем иметь: 18 [хт ! = — 1930211 = 0603 ! 9; [я ) х„[ = — ° (2,27898 — 0,43201) = 0,05772. Зная в силу формулы (3) общий модуль г комплексных корней, находим коэффициент о их мнимой части о=Р г — и'. (5) 189 слгчхй плгы комплексных когний ф 11! Таблица 9 Вычисление комплексных корней методом Лобачевского — Греффе кт к' Степени — 26 — 34 — !Π— 520 ) 116 1,346 1041 — 2',67! !О ~ 0,135 104 ! !90,!О4 1'416,10в! †!',Озб !Она 0'009, 10в 3,90 !От 1,521 10'41 — 9,748 1О'4~ 0 — 8,227 !О'4 6,768 10441 — 4,655 1044~ 0 2,1!3 10'4 4,465 !О'41 — 1,О84 !О ~ 0 20) 676 636 4,045 1041 — 1,568 104) 2! — 239) 4,570 !04 2,477 104 б, 135 1044! 1,088 1044/ 209 4 368.1041 2,380 104) 2,088 104 7 223.!044 5,2!б 10441 — 0,016 1044! 6,748 104 4,554 10'! — 0,078 104) 4 476.10в 2,003 10ы! 0,002 10ы!' 4,360 !Овв 16 5,200.
10ы 2,704 1044) 0 2,005 10'в 32 1,901 ° !044 2,704 10м 7'312.!овв) 0 4,020 ! Овв) 0 1 4 020,10вв — 6,38 !Овв 3,614 10'в 7,312 1044 Следовательно, х =~ 1,142 где 1т= — хз . Согласно общей теории модуль корней Г 4ХЗ~ 4ХЗ! х, = ч.:— 4,010; Грубой прикидкой убеждаемся, что корень хз — положительный, а корень хв †отрицательн.
Таким образом, окончательно имеем: х, = 4,010; хв = — 1,142. Так как преобразованный коэффициент при хз меняет знак, то данное уравнение имеет комплексные корни х=хз и х =ха, которые определяются из трехчленного уравнения 2 005,104вуз+2 113,10згу+2 704.104з 0 190 спацнлльныа панамы гзшнния ллгннганчаских хглвнаний [гл. т находится по формуле (3) ~2 704 г' 2,005 Отсюда 13 г' =='2 .(24,43201 — 0,30211) = 0,75406 и, следовательно, га = 5,6763. Полагая х =и+уо, х =и — щ из соотношения ха+ ха + хз+ ха = — 1 получим: и = — ( — 1 — 4,010+ 1,142) = — 1,934.
1 Коэффициент мнимой части о определяется по формуле = г — = Ут 6Т63 — 3, У404 — ттл859 = 1, 395. Следовательно, хз,з= 1 934 ~ 1 3951. Заметим, что корни х и хз можно также определять нз соотношений между корнями н коэффициентами уравнения (6), а именно, имеем: х +ха+х +х = — 1, х,хах,ха = — 26. Отсюда, использовав найденные выше значения хд и ха, получим: ха+ ха = — 3,869; хахз = 5,677. Поэтому ха и ха можно найти как корни квадратного уравненив ха+ 3,869х+ 5,677 = О, решив которое, будем иметь: х ж —— — 1,934 ~ 1,39И. 9 12.
Случай двух иар комплексаых корней Пусть уравнение (1) $10 допускает две пары комплексных корней: ха = из + Год, ха 4 г = из — (от х„=и +Риз, х +,— — и — 1о слгчай двьх плг комплвксных когнай 191 2 12) с различнымн модулями (иы ем и„оа действительны и и фо, и -йо), причем все остальные корни х~(/-йй, ~ай+1, /фги, учылг+1) этого уравнения лействительны, различны по абсолютной величине, не равны нулю") и отличны по модулю от комплексных корней, т. е. ~ ' (> 1х, (»....~хь,) >(х (=~х„~, ~ >...>(х =!х„„!»...!х„!>О.
(1) корнями которого являются числа у = — х'г (/=:1, 2, ..., и). При достаточно большом натуральном р обнаружится, что при переходе к степени 2г+' некоторые коэффициенты с нового преобразованного уравненив с,а" +с з" '+... +с„=о будут представлять собой, в пределах заданной точности, квадраты соответствующих коэффициентов Ь1 предшествующего преобразован- ного уравнения. При нашем предположении (1), мы в конце концов получим: с =Ь' прн у=о, 1, 2, ..., Ь вЂ” 1, Ь+1, ..., ш — 1, и+1, ...,и и са ~ Ььа н с„чь Ь'. Это обстоятельство позволяет установить место комплексныхкорней. Заметим, что достаточным признаком наличия двух пар комплексных корней уравнения (1) 2 1О служит изменение знаков коэффициентов Ь„ и Ь„ для различных показателей 2".
Действительные корни х рассматриваемого уравнения определяются из двучленных уравйений — Ь1 х' +ь =О. -1 / у Отсюда аа/ ,/ з, / аг 1 (/-йй, /~Ь+1, У-йги, /чьгв+1). ) Нулевые корни могут быть выделены предварительно. Как обычно, производя квадрирование корней рассматриваемого уравнения до некоторой степени 2г, получим преобразованное уравнение Ь,у" +Ь,у"- +... +Ь„=О, 192 спвцилльныа пгинмы Решения ллгввеличвския «Рлвнвний [гл. т Комплек~ные корни х«, х„ , и хлл х„+, соответственно определяются из трехчленных уравнений Ь,х«Р — Ь„«РР + Ьл+, — — О (2') (2") Введем обозначения: г,=[х«[=[ха+ [ г =[ [=[х Учитывая, что л г, =х«х«„ 1 Г1 «лл«щ~.1» »Р ./Ь „ и г,*= ~ —.
~Ь л 1 Для определения действительных частей и, и на комплексных корней воспользуемся соотношениями между корнями и коэффициентами уравнения (1) 2 1О, а именно, имеем: Л-1 Лл-1 х х ... хл+х,х ... хл+... +х,х ... хл (-1)л ' — "-' лл хх,...х =( — 1)" —" л И л Разделив первое равенство на второе, получим: 1 1 Лл-1 — + — + + — = — "' «1 «» Лл Кроме того, х,+х,+...+х,= И1 Отсюда, учитывая соотношения ха+ ха+1+ х„+ х„,+1 — — 2и, + 2и« 1 1 1 1 2» 2н «а "а+1 «и «и+1 1 а из уравнений (2') и (2') можно плексных норней »Р Ь,, вычислить квадраты модулей ком- Рйз 9 !2) СЛУЧАЙ ДВУХ ПАР КОМПЛВКСНЫХ КОРНВЙ имеем следующую линейную систему уравнений: а, ! и+и = — — — — о, 2ао 2 1 1 (3) ! Ф й, й+1, О1, В1+1 о'= 1 х 1~й.
й+1, т, И1+1 Найдя из системы (3) и, н и, определяем коэффициенты ои и чов мнимых частей комплексных корней по формулам Таким образом, окончательно находим: х, „+ — и 4-1ой х, +,—— и, -)- !ои. П р н и е р. Методом Лобачевского- Греффе решить уравнение (71 хо+4хи — Зх+3=0. (4) Р е ш е н и е.
Применяя процесс квадрирования корней до 16-й степени и производя вычисления с точностью до четырех значащях цифр, получим результаты, приведенные в таблице 1О. Легко видеть, что прн следующем преобразовании средний коэффициент будет равен квадрату своего прежнего значении. Поэтому мы прекращаем процесс квадрирования корней. Так как для 16-й степени среди коэффициентов преобразованного уравнения имеются два отрицательных коэффициента, то уравнение (4) допускает две пары комплексных корней: Х =и,-й 1О, Ха,о = ии ~ 1пм которые соответственно удовлетворяют трехчленным уравнениям хои+ 1 359. 10охйо+ 3 720.
10в 0 н 5,720 10 хай+8,184 10й хйо+4,305 101=0 В. П. демидович и и. Л. Мирчи где о — сумма действительных корней и о' — сумма обратных величин действительных корней, т. е. 194 спвциальныя пгиямы гвгняния алгквгаичкских яглвнвний [гл. т Табл ива 10 Вычисление двух пар комплексных корней методом лобачевского — Грефбм ке кк к' к' Стененн 24 ) 16) 8) — 15 — 44) 484 1 -240 5 18 262 6,864 10е ! 0,684 10е ~ 0,016 1О' 7,564 !Ое 5,723 10е ! -0,003 10е ~ Π— 396 ) — 171 2,924 10е ! -4,244 10е ) 81 4 10е — 5,24 10к ) 6,561 10е — 1,24 ° 10к 1,538 104 ! — 15,128 10е ) — 1,320 1Ое 1 743 1Ое ! — 9,927 1О ) 4,305 1О' 16 — 1,359 10е 5,720 10е — 8,!84 10е Отсюда определяем квадраты модулей этих корней: г', = '~Гк5„720.
10' = 4,072 е ге к 4,305 г*= ф/ — ' ° 10 а=0,7367. Р 5,720 Так как — = 1,3574, 1 — = 0,2456; 1 ге 1 и,+а,=0, 0,2456а, + 1,3574а, = 0,5. Отсюда и, = — 0,4497; а =0,4497. то на основании системы (3) для нахождения действительных частей и и и корней имеем систему 195 9 13) ' МЕТОД бЕРНУЛЛИ Используя найденные квадраты модулей г, и гч корней, определяем коэффициенты од и о мнимых частей корней: о, = Р' г,' — и,' = 1,967; од=у Г,'— и',=0,731. Таким образом, корни уравнения (4) имеют вид х, = — 0,450 ~ 1,9671 хз,ч = 0 450 ь- 0 731Е.
9 13. Метод Бернулли Пусть дано алгебраическое уравнение аьх" + адх" '+... + а„= 0 (ач -й 0), (Т) корни которого х„ хел ..., х„ различны. На основе коэффициентов аь (й= О, 1, ..., а) построим так называемое конечно-ревностное уравнение аьу„д+а,у„+д +...+а„уд —— 0 (д=-О, 1, 2, ...), (2) которое представляет собой рекуррентное соотношение, связывающее любые, следующие друг за другом, и+ 1 членов бесконечной последовательности Усч Уд> Уз. ° ° ° Уд (3) Последовательность (3) ус ††„У(д) (д = О, 1, 2, ...), члены которой удовлетворяют конечно-разностному уравнению (2), называется реидением этого уравнения. Для построения реш ения у; достаточно задать л его начальных значений У, У„..., У„д; остальные члены У„, У„е„...
шаг за шагом можно определить из уравнения (2). В теории конечных разностей (8) доказывается, что если корни х„ хч, ..., х„алгебраического уравнения (1) различны, то любое Решение конечно-разностного уравнения (2) имеет вид у;=С,х',+Сзх,+... +С„х,', (1=0, 1, 2, ...), (4) где Сд, С, ..., ф— произвольные постоянные. Таким образом, уравнение (1) по отношению к уравнению (2) ивляется характеристическим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
