Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Полностью вопрос о числе действительных корней алгебраического Уравнения на данном промежутке решается методом Штурма [1), [2). 170 спнцилльнын птинмы гншиния ллгевтличнских этлвниннй (гл, и Предварительно введем поннтие о числе перемен знаков в числовой сястеме. Определение.
Пусть дана упорядоченная конечная система действительных чисел, отличныя от нуля: (2) с, с, ..., с„(п)2). Говорят, что для пары рядом стоян(ик элементов сь, сь+т системы (2) имеется изменение знака, если эти элементы обладают противоположными знаками, т. е. с„с„+, (О, и нет изменения знака, если знаки их одинаковы, т. е.
сс„+ )О. Общее число изменений знаков всех пар соседних элементов с„, сь+д (Й=1, 2, ..., и — 1) системы (2) называется числом перемен знаков в системе (2). Для данного полинома Р(х) составим систему Штурма Р (х), Р, (х), ..., Ре (х), ..., Р (х), (3) где Рх(х) =Р'(х), Рь(х) — взятый с обратным знаком остаток при делении полинома Р(х) на Р, (х), Рь (х) — взятый с обратным знаком остаток при делении полинома Р (х) наРь (х) и т. д.
Полниомы Р„(х) (Ь = 2, ..., яь) могут быть найдены с помощью несущественно ридонзиененного алгорнфма Евклида, причем, если полиномР(х) не имеет кратных корней, то последний элемент Рм(х) системы Штурма есть отличное от нуля действительное число. Заметим, что элементы системы Штурма можно вычислять с точностью 'до положительного числового множителя. Обозначим через М(с) число перемен знаков в системе Штурма при х .= с, при условии, что нулевые элементы этой системы вычеркнуты.
Теорема Штурма. Если полинам Р(х) не имеет кратных корней и Р(а)ФО, Р(Ь)фО, то число его действительных корней Ф(а, Ь) на интервале ах( Ь в точности равно числу потерянных перемен знаков в системе Штурма полинома Р(х) при переходе от х= а до х=Ь, т. е. И(а, Ь) =М(а) — гч'(Ь). Следствие 1. Если Р(0)чьО, то число йГ+ положительных и число )ч' отрицательных корней полннома Р(х) соответственно равны И+ — — Л (0) — М (+ оо) и )ч' =И( — оо) — М(0). 6 6) твогема вюдана — витья !7! Сл ед стане 2.
Для того чтобы все корни полинома Р(х) сте. пенн и, не имеющего кратных корней, были действительны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие М( — оо) — И(+ оо) = Л. Таким образои, если Р(х) = аах" +а,х" '+... + а„, где а ) О, то все корни уравнения Р(х) =0 будут действительны а тогда и только тогда (1~, когда: 1) система Штурма имеет максимальное число элементов и+ 1, т. е. гн = п, и 2) выполнены неравенства Р (+ оо) ) 0 (й = 1, 2, ..., и), т.
е. старшие коэффициенты всех функций Штурма Р„(х) должны быть положительны. П р и м е р. Определить число положительных и число отрицательных корней уравнения ха — 4х+ 1 = О. (5) Р е ш е н и е. Система Штурма имеет вид Р (х) = ха — 4х+ 1, Рз (х) =ха — 1, Р, '(х) = Зх — 1', Р,(х) =1; отсюда )Ч( — оо) = 2, )Ч(0) =- 2, И (+ оо) = О. Следовательно, уравнение (5) имеет: !ч' =2 †0 положительных корней н й7 = 2 — 2=0 отрицательных корней. Поэтому два корня уравнения (5) — комплексные. С помощью системы Штурма можно отделять корни алгебраических уравнений, разбивая интервал (а, д), содержащий все действительные корни уравнения, на конечное число частичных интервалов (а, ()) таких, что й7(а) — И(р) = 1.
й 6. Теорема Бюдана — Фурье Так как построение системы Штурма, вообще говори, требует громоздких вычислений, то на практике ограничиваются более простымн частными приемами подсчета числа действительных корней алгебраических уравнений. 172 спвцихльныв птивмы тешвния алгввтяичвских этавнвний (гл. и Уточним подсчет числа перемен знаков в числовой системе. Определение.
Пусть дана конечная упорядоченная система действительных чисел с,с, ...,с„, (1) еде с, ~0 и с„~О. С одной стороны, назовем нижним числом перемен знаков М системы (1) число перемен знаков в ее соответствующей подсистеме, не содержащей нулевых элементов. С другой стороны, назовем верхним числом перемен знаков М системы (1) число перемен знаков в преобразованной системе (1), еде нулевьле элементы с =с„+,—— ...— — с+,,— — 0 (сь ~ чьО, се+а ~0) заменены элементами се+~ (1=0, 1, 2, ...,! — 1) такими, что аип с +, — — ( — 1)~ ' зпп се+и (2) Очевидно, что если система (1) не имеет нулевых элементов, то число М перемен знаков в втой системе по смыслу совпадает с ее нижним М и верхним М числамя перемен знаков: М=М=М; вообще же говоря, М~№ Пример 1. Определить нижнее число и верхнее число перемен знаков в системе 1, О, О, — 3, 1.
Р е ш е н и е. Игнорируя нули, получаем: М= 2. Для подсчета М, согласно формуле (2), составляем систему 1, — и, в, — 3, 1, где з) О. Отсюда Теорема Б юдана — Фу рье. Если числа а и Ь (а (Ь) не являются корнлми полинома Р(х) степени и, то' число М(а, Ь) действительных корней уравнения (3) Р(х) =О, содержащихся между а и Ь, равно минимальному числу лМ перемен знаков, потерянных в системе последовательных 1тз тяотвмл вюдлнл-еттьв производных Р(х), Р (х), ..., Рсч м(х), Р'">(х) (4) при переходе от х=а и х=Ь, или меньше числа ЛМ на четное число, т.
е. М(а, Ь)=ЛМ вЂ” 2Ь, где ЛМ= М(а) — М(Ь) и М(а) — нижнее число перемен знаков в системе (4) при х= а, М(Ь) †верхн число перемен знаков в втой системе при х = Ь (Ь=О, 1, ..., Е~-~-)) (см. (1)). Предполагается, что каждый корень уравнения (3) считается столько раз, какова его кратность. Если производные Р'»'(х) (А= — 1, 2, ..., л) не обращаются в нуль при х=а и х Ь, то подсчет знаков упрощается, а именно: ЛМ= М(а) — М(Ь). Следствие 1. Если ЛМ=О, то между а н Ь нет действительных корней уравнения (3). Следствие 2.
Если ЛМ=1, то между а н Ь имеется ровно один действительный корень уравнения (3). 3 а меча н и е. Для подсчета числа потерянных знаков ЛМв системе (4), пользуясь схемой Горнера, составляем два разложения: Р(а+Ь) =ссь+а,й+а»йз+... +а„й" (5) Р(Ь+Ь) =1»+~»Ь+()»Ь'+ "+1»й . (6) Пусть М(а) — нижнее число перемен знаков коэффициентов разложения (5) и соответственно М(Ь) — верхнее число перемен знаков коэффициентов разложения (6).
Так как сс»= ~, ()»= —, (А=О, 1, 2, ..., л), Р<М (о) Р<»~ (Ь) то знаки чисел а» и ()» совпадают со знаками системы (4) при х=а и х=Ь. Поэтому ЛМ= М(а) — М(Ь). П р н м е р 2. Определить число действнтельнык корней уравнения Р (х) ж ха — хз + 2х — 3 = О в интервале (О, 2) ° 174 специальные пРиемы Решения ллгевРлнческих УРлвнений (Гл. У Р е ш е н и е.
Здесь !ч' (0), очевидно, есть число перемен знаков и системе чисел — 3,2,— 1,1, т. е. Ф(0) = 3. Разложение Р(2+й) получается с помощью применения схемы Горнера — +З 12 2 2 8 1 ! 4 ~5! 2 8 ! ~5~ Е Следовательно, !ч'(2) есть число перемен знаков в системе чисел б, 10, б, 1, т. е. !Ч (2) = О.
Отсюда Л!Ч= !ч'(0) — М(2) = 3. Таким образом, уравнение (7) имеет в интервале (О, 2) три или одни действительный корень. Теорема Декарта. Число положительных корней алгебраического уравнение Р(х)=а х" +а,х" Г+...+а„=О (а,~О) (8) с учетом их кратностей равно числу Перемен знаков в системе коэффициентов а, а„а„..., а„ (9) (где коэффициенты, равные нулю, не учитываются), или менаае этого числа на четное число. Теорема Декарта представляет собой применение теоремы, Бюдана †Фур к интервалу (О, + оо). В самом деле, так как Р'г!(0)=й! а„а (А=О, 1, ..., Н), то система (9), с точностью до положительных множителей, есть 175 й 6) тяотямк аюдлн» вЂ” еттьв совокупность производных Р'»'(О) (я=О, 1, 2, ..., и), записанная так, что порядки их убывают. Поэтому число перемен знаков в системе (9) равно М(0), причем коэффициенты, равные нулю, не учитываются.
С другой стороны, производные Риа(+ оо) (я = О, 1, 2,..., л1, очевидно, имеют один и тот же знак и, следовательно, М (+ оо) = О. Поэтому имеем: бМ= М(0) — М(+ оо) = М(0), причем на основании теоремы Бюдана — Фурье число положительных корней уравнения (8) или равно ЛМ, или меньше ЛМ на четное число. С л е д с т в и е. Если коэффициенты уравнения (8) отличны от нуля, то число отрицательных корней уравнения (8), с учетом их кратностей, равно числу постоянств знака в системе (9) его коэффициентов или меньше этого числа на четное число.
Доказательство этого утверждения непосредственно следует из применения теоремы Декарта к полиному Р( — х). Укажем еще необходимый признак вещественности всех корней полинома. Т с о р е м а Г ю а. Если уравнение а,х" + а,х" '+а,х" '+...
+а„=О (10) имеет действительные коэффициенты и все корни его действительны. то квадрат каждого некрайнего коэффициента этого уравнения больше произведения двух его соседних коэффициентов, т.е. выполнены неравенства ад») а» а + (й=1, 2, ..., и — 1). Следствие. Если при каком-нибудь й выполнено неравенство а» м:. а»,а»+ „ то уравнение (10) имеет по меньшей мере одну пару комплексных корней. П р и и е р 3. Определить состав корней уравнения хь+ 8хэ — 12х'+ 104х — 20 = О. (11) Решение. Так как ( — 12)а ( 8 ° 104, то уравнение (11) имеет комплексные корни и, следовательно, число вещественных корней этого уравнения не больше двух. В ряде коэффициентов уравнения (11) имеется ЬМ=3 перемен знаков и 176 специальные пгивмы гвшвния ллгввгличаских теавнвний (гл. т ЬР= 1 постоянств знаков.
Отсюда на основании теоремы Декарта и следствля к ней, учитывая наличие комплексных корней, делаем вывод: уравнение (11) имеет один положительный корень, один отрицательный корень и пару комплексных корней. 5 7.,Идея метода Лобачевского — Греффе Рассмотрим алгебраическое уравнение л-й степени аэх" +атх" т+... +а„=О, где аэ+О. Предположим, что корни х„х, ..., х„уравнения (1) таковы, что !х,)~)х,)чг~) х,)))...>))х„), (2) т. е. корни различны по модулю, причем модуль каждого предыдущего корня значительно больше модуля последующего ").
Иными словами, мы предполагаем, что отношение любых двух соседних корней, считая в порядке убывания их номеров, есть величина, малая по модулю, т. е. х,=е,х„ ха= е,х„ х„= е„,х„,, где (е„) < е и в †мал величина. Рнс. 44. Такие корни для краткости будем называть отделенными (рис. 44). Воспользуемся теперь соотношениями между корнями и коэффициентами уравнения (1) (и 1) х,+х +... +х„=- — -', х,х +х,х +... +х„,х„=- —, еэ еэ х,х,...х„=( — 1)" — „". еэ *) Если коэффициенты уравнения (!) действительны, то на условна (2) следует, что все корни уравнения (1) действительны.
177 идея матодл ловлчавского--ггвив 6 7) Отсюда в силу допущений (3) мы получаем: х,(1+Е,) = — — "', ав' (4) ав х 1 а 1 в ав х,х,=-" ав ' х,х,...х =( — 1)" — ". 1 в''' в а в Отсюда находим искомые корни ав х ав ав х в ав в (6) ав х„= —— а„, Инымн словами, если корни уравнения (1) отделены, то они при- ближенно определяются из цепи линейных уравнений а,х +а =О, а х,+аз=О, а„х„+ а„= О; лрнчем точность этих корней зависит от того, насколько малы по модулю величины з„ в соотношениях (3). Чтобы добиться отделения корней, исходя из уравнения (Ц, составляют преобразованное уравнение ав ив>ув-)- а<"'>у""в+... + аов> = О, (7) ~орлами которого а>ы уз, ..., у„ являются л>-е степени корней хв, ..., х„ УРавнениЯ (1), т. е. уь —— хвм (Ф 1, 2, ..., л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
