Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 29
Текст из файла (страница 29)
3 2 Отсюда, округляя, находим значение Ю ю 1,077 с предельной абсолютной погрешностью 3 =0 7.10-в+0 4,10-з 1 1.10-з Заметим, что для остатка данного ряда (12) имеем оценку ОР Ф )7, ~ ~„—.<л)~= — < — 0001. ах пах 1 ! , хв+1 лх !Ч 2 Ф мй" Отсюда И~2000, т. е. без преобразования для достижения той же точности нужно взять примерно 2000 членов ряда.
Замечание, Для приближенного вычисления суммы ряда (1) с общим членом (6) можно использовать также ряды Е„=- ! лт 90' ° О Е ,в — = — и т. д. лв 945 л=в л=в Вообще говоря, ( !)н-1 Явь(2я)зр л ваву 2 (2р)! л в где Вл(п=1, 2,...) — числа Бернулли 15), (6), определяемые символической формулой (В)- 1)л — Вл О, тлтчшвния сходимости стяпвнных гидов 205 й 21 в которой после развертывания по биному Ньютона полагаем В" = В .
В частности, имеем: 1, 1 Взлл ! Вл= — -1 Ва= — , 'Вз= — —; В Б ' 30 42' лл 1 Ц (см. Гл. ХЧ1, % 11). 2 2. Улучшение сходимости степенных рядов методом Эйлера в Абеля Рассмотрим сходящийся степенной ряд л у(х) = ч~'., а„х", где 1р (х) = ~ а к" '= ~ч~~ а„+ х". (3) Умножая обе части равенства (3) на бином 1 — х, получим: (1 — Х) 1р(Х) = ~~~~ ~ал+,Х" — ~~~~ ~ал+,Х"+'.
л=е л=з (4) Полагая во второй сумме п+1=1н и учитывая, что сумма не за- висит от обозначения индекса суммирования, будем иметь: ~ а„+,х"+' = ~~.'~ а„х = ~ а„х". л=е 1Л=1 Л=1 Г!озтому (1 — х) ф(х) = ~~ а„+,х" — ~ а„х"= л=л л-1 =а + ~~.', (а„+т — а„)хл= а + ~~.', Ьа Ф, л=л где Ла„= а„+,— а„(л = О, 1, 2, ...) Ф ) В самом деле, если О < !1 с лл н !т за 1, то, полагая т —,получим Х И ' степенной ряд относительно переменной т с радиусом сходимостн р ! ° где у(х) †сум ряда.
Пусть радиус сходимости )11 ряда (1) конечен и отличен от нуля. Не нарушая общности рассуждения, можно считать, что Й=1л). Запишем ряд (1) в следующем виде: т'(х) = а, + х1р (х), (2) (гл. ш влвчшипии сходимости гадов — конечные разности первого порядка коэффициентов а„(подробнее о конечных разностях см. гл. Х1Ч, $ 1). Следовательно, из формул (3) и (4) выводим: Ф юю юр(х) ~~»' а хл о ( ~ Аахи л=о л=о и, значит, у(х) =во+ — '+ — ~ Ла„хл л о = — + — г Ла х, аю х С~ л 1 — х 1 хил л=о т.
е. л ю Укаэанное преобразование степенного ряда называется лреобравованием Эйлера †Абе. Аналогично, применив преобразование Эйлера †Абе к стеленному ряду ~~а~ Ьа„хл, находим: л ааю ( х ~я~~~ до л где Ьоа„= Ь (Ьа„) = Лало — Ла„ вЂ” конечные разности второго лорядка коэффициентов а„. Отсюда иа основании формулы (5) получаем: И + — » — + — ги Л а х х /Ьао х Ч; о л~ 1 х(1 — х 1 — х~ " / л=о л=ю Повторяя последовательно р раз преобразование Эйлера †Абе, будем иметь: тлтчавния сходимости стяпвнных Рядов 207 где ЛРа„= ЛР 1а„+1 — Л""'а„(а=О, 1, 2„...) — конечные разности р-го порядка коэффициентов а„, а Лаав(в=О, 1, 2, ...) — последовательные конечные разности коэффициентов а„ прн я=О.
Таким образом, Р— 1 вв У".(х) =~~' Леае „+( — „) ~ ЛРа„х", (6) в=в ( — я)"" " в=в где положено Леав = а . Формулу(6) выгодно применять тогда, когда конечные разности ЛРа„при и — оо имеют более высокий порядок убывания, чем коэффицйенты а . Это обстоятельство встречается нередко. Например, если а„= †, то получим: 1 1 1 Ла = — — =— я+! л л(я+ц' т. е. здесь Ла„при и — оо убывают быстрее, чем а„. В частности, если а„=-Р(л), где Р(л) — целый полинам степени р — 1, то формула (6) дает в конечном виде сумму ряда вв Р-1 1», Р(я) Хе=~~~ ЛВР(0) „, (! Х> ( ц, (т) в=в в=в (1 — х)в+1 так как ЛРР(и) =О.
Формула (6) теряет смысл при х=1. Применительно к этому случаю можно видоизменить преобразование Эйлера — Абеля. Полагая х = — 1, будем иметь: К(х) =~~», а„( — !)" =1» ( — ц"а„!" = е=е е=в Р— 1 вв =~, ЛВ(( — Ц"а„>„-е В„+( — ) ~~~,Л' (( — Ц'ае>!е. 1»=е !) е=в ВозвРащаясь к прежней переменной, получим: у( ) = ~ ( — цаЛа(( — ц"а„|„,, + в=е " В+я)' +( +„) ~'. ( — Ц"+ Л 1( — Ц"а„1х".
(В> в в Ф ормула (8) имеет смысл н прн х=1. 208 (гл. ч! глгчшвнив сходимости гялов Пример 1. Найти с точностью до 0,001 сумму ряда 1 (а+1) (а+2) 2 (а+!) (а+2) (а+3) ' 1 "+т а (а+2) (а+3) 2 а+! " (а+2)(а+3)(а+4)+ 2 6 (а+1)(а+2)(а+3) (а+1)(а+2)(а+3)(а+4) Следовательно, 1 2 а= — ' Ла= —— Ф 121 а 123 Отсюда на основании формулы (6) получаем: 1 1 2 1 У ( — 1)= — ° — + — — + 12 2 123 4 11 С 6 ( 2/ х 4 (а+1)(а+2)(а+З)(а+4)( 1 1 3 ! 3 ! 3 ! 3 ! — + + ' ' + ' ' + 4 12 2 24 2 120 2 360 2 840 3 1 3 ! 3 1 + — ° — — ° — + — ° — —...
(10) 2 !680 2 3024 2 5040 Ряд (10)-анакочередующийся с монотонно убывающиии по модулю членами. Поэтому, если мы остановимся на члене 3 ! 1 2 %24 2016 ' то остаток рида )с по модулю не будет превышать первого отброшенного члена: )И~< — — — — <3 10 . 3 1 ! 2 5040 3360 Ю 1(")=Е ( +!)( +2) (9) а ч прм х= — 1. Решение. Применим преобразование Эйлера два раза (р=2). Имеем: ! (а+ Ц(а+2) ' 52) хлхчшянив сходимости ствпвнных гадов 209 Таким образом, беря два запасных знака, имеем: /( — 1) = 0,25000 + 0,08333+ 0,06250 — 0,01250+ 0,00417— — 0,00179+ 0,00089 — 0,00050 = 0,38610 с абсолютной погрешностью Ь < 5..10-з 1 3.10-з < 4,10-з Округляя найденное число до трех знаков, получим приближенное значение у ( — 1) = 0,386 с предельной абсолютной погрешностью Л < 4 1О а+1 ° 1О е =~- ° 1О з.
Точное значение суммы есть: ~( — 1) = 2 1и 2 — 1 = 0,38630... Заметим, что если непосредственно вычислять число у( — 1), пользуясь рядом (9), то для достижения указанной точности пришлось бы взять примерно сорок пять членов этого ряда. П р н м е р 2. Найти сумму ряда Ю (х) = ~ (л'+ л + 1) х". Решение. Имеем: Р(и) = из+ и+ 1. Составим таблицу 12. Табл ица 12 Таблица конечнмх разностей По формуле (7) получаем: ! 2к 2кз 3(х) =з — + — +— — к (! — к)з (! — к)з при )х) < 1, 210 [гл. ть тлтчшение сходимости тядов 3 3. Оценки коэффициентов Фурье Тригонометрическим рядом Фурье данной функции у(х)(-и С (х<и)н) называется рид — '+,!' (а„сов пх+Ь,а!ппх), «=« коэффициенты которого а„, Ь„(коэффициенты Фурье функции у(х)) вычисляются по формулам а„= — ! у(х) сов их Ых ! г Ь„= — ! у(х) сйппхс[х ! Л (п=О, 1, ...), (2) (и = 1, 2, ...).
(2') Достаточным условием существования ряда Фурье функции у'(х) ячляется интегрируеьюсть этой функции на отрезке ( — п,п]. В этом случае коэффициенты Фурье (2) и (2') имеют определенные конечные значения. Может оказаться, что полученный ряд Фурье расходится илн сходится к другой функции. Приведем без доказательства 11], 17] условия, при выполнении которых тригонометрический ряд Фурье сходится к функции !"(х) во всех точках непрерывности последней. Теорема сходи мости. Если функция у(х) кусочно непрерывна и кусочно диффвргнциругма на отрезке ( — и, и], то ге ряд Фурье сходится на всей числовой оси и сумма гго 5(х] есть периодическая функция с периодом 2п, равная 7 (т« — О)+ У (т«+0) 8(х)= 2 (3) «) Для простоты формулировок мы рассматриваем функцию, определенную на отрезке [ — и, и]. Общий случай функции ф (!), заданной на отрезке [а, Ь), может быть сведен к нашему прн помощи линейной замены Ь+а Ь вЂ” а 1=- + —,'.
в любой точке хвк( — и, и) и 5(:Еп)=2 ~(У( и+О)+Р(п 0)]. В частности, Л(хр)=~(ха), если в точке х=хв функция непрерывна, т. е. если р'(хр — 0)=у(х +0) =у(х ). Если, сверх того, функция у(х) — периодическая с периодом 2п, то ее ряд Фурье сходится для каждого значения хв и имеет сумму(3). При выполнении условий теоремы сходимости очевидно, что а„ вЂ” 0 и Ь„ — 0 при и — оо.
Дадим более точные оценки коэффи- %З) 211 оцянки козеенцнкнтов югьв а„=о ( н) ! Ь„=о( — ) Доказательство. Проинтегрируем по частям ль раз правые члены следующих равенств: а„= — ~ у'(х)созлхдх (п=О, 1,...), 1 Р (4) Ь„= — ~ у'(х)а!ппхаЪ (л=1, 2, ...). 1 г (4') Полагая и=у(х) и с(о=созлхдх, находим да=у'(х)дх н 1 о =- — а!плх. Следовательно, по формуле интегрирования по частям имеелк а„= — ~ — „!'(х) з!п нхат! — — ~ Г'(х) з!и пх с!х = ! Г! 1н ! à — )у"(х) (2 + ) д~; /1~ lа ч ') Запись а„=е ~ — ~ обозначает, что йш —" =-О. ~пну л -~аь в" циентов Фурье, накладывая известные ограничения на поведение функции т (х). Определение. Говорят, что функция у(х), заданная яа отрезке ( — и, п~, принадлежит классу периодичности С'"', если: 1) у'(х) непрерывна на отрезке ! — и, и) вместе со своими производными до пь-ео порядка включительно; 2) )ть!( — и+0)=т'"~(п — 0) для Ь=О, 1, 2...
вь, т. е. на концах отрезка ~ — и, ьт) должках совпадать значения функции у(х) и ее т первых производных. Из условий 1) и 2) следует, что периодическое продолжение функции Г(х) принадлежит классу С' '( — оо, +со). Л е м и а. Если функция у(х) принадлежит классу периодичности С' ' на отрезке ( — ьт, и] (короче, у(х) ЕС' '[ — и, и)), то ее козффициенты Фурье а„и Ь„есть бесконечно малые при л- оо 1 порядка выше и относительно — т. е, и' (гл.
т~ 212 клтчпаанив скодимости эндов Применяя егце раз интегрирование по частям н учитывая, что у ( — п)=у'(и), получим: а» ~ ~ У (х) ян ( 2 + пх) / + + — „~ У" (х) соз ~ — ° 2+ пх) ИХ1 ) = — ~ ~" (х) соэ ( 2 2+ пх) е(х и т. д. После ле-кратного интегрирования по частям в формулах (4) и (4') будем иметь: а = — ) ~' '(х)сов ~ — ° ел+их) ее». /и л — плш ) Аналогично Ь„= — ~ ~'лч (х) а! п ( —" ° ле+ пх) е(х. -Л Интегралы е = — 1 у' '(х) соз ~ — не+их) Фх л ~ 2 н е„= — ~' ~ (х) 51п — не+их) е(х с точностью до знака являются коэффициентами Фурье непрерывной по условию функции ~' '(х).
Как известно, коэффициенты Фурье непрерывной функции независимо от того, сходится или нет ее ряд Фурье, стремятся к нулю при неограниченном возрастании их номера э). Поэтому е„— О и е„— О при п- оо. *) Зто следует нэ того, что для любой кусочно непрерывной функции г (к) с коэффициентами Фурье ал н Ь„(л=О, 1, 2, ...) имеет место неравенство Бесселя [7) э лл и 2 +Х, (,'+«,*) ~ — ') е'э(л)Л. Л=1 — н Следовательно, ряд ~~~~ ~(а„'+Ье) сходятся на„- О; Ьл — ло прил — л лэ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
