Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Приведем без доказательства формулы дифференцирования для четырех и пяти точек (3), справедливость которых читатель легко может проверитв самостоятельно. П. и = 3 (четыре точки). Уо — —  — 11уо+18у,— 9уз+2уз) 4 У 1 йо вй — 2уо ЗУ(+ 6Уз — Уз + 12У»»' Уз ' Ей (Уо 6У(+ Зуз+ 2уз) 12 У ( ($)( йз Уз=Ей( Уо+ Ут 18уз+ 1уз)+ 4У (ь). 1!1. и=4 (пять точек). у, '= „( 25уо+ 48у 36уз+ 16уз Зуо) + — у з'(5)> 1 йо 1 (з У =12 ( — Зуо — 10уз+ 18уз — буз+уо) 2~У(з((~)> 1 й' (з( У', =12й (Уо — 8Уз+ 8Уз — Уо)+ —,Упо (ь); 1 йо у, = — „( — уз+бух 18уз+1Оуз+Зуо) — — унн Я)1 1 йо у', = —, (Зу, — 16у, + Збу, — 48У, + 25у,)+ — уз (Ц.
Рассмотрение формул 1 — 1П показывает, что если число точек нечетно и производная берется в средней точке, то соответствующая 574 ПРИБЛИЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ [гл. хт формула численного дифференцирования выражается более просто и обладает повышенной точностью. Рнс, 66. Ниже приводятся для случая п=2 и п=4 формулы таких нентральных производных [3[, причем для выявления.Рсимметрии изменена нумерация точек (рнс. 66): 1. п=2. 1 <6> У, = ФА (Уя Я-6) 6 У'~'(ь)< где У,=у(х;) н 1= — 1, О, 1; Гп л= 4.
2 1 6 у'= — (у — у ) — (у -у )+ — «<а>($» где у;=у(х;) и 1= — 2, — 1, О, 1, 2. й 5. Графическое диффереицнроваине Задача графического дифференцирования заключается в построения по заданному графику функции «=у(х) графика ее пронзводной Г= 7'(х). Пусть дан графнк функции «=7(Х) (рнс; 67). Для построения в известном масштабе 1 графика ее пронвводной выбираем на данной кривой достаточно .густую сеть точек 1, 2, 3, 4, 5, ..., включающую по возможности характерные для графика точкн. В этих точках с возможной тщательностью строим касательные к графику функции, проводя их «на глаз». Далее, на осн Ох выбираем точку Р( — 7, 0) (полюс) н проводим параллельные соответствующим касательным прямые Р!', Р2', РЗ', Р4', Р5', ...
до пересечения их с осью Оу, Отрезки осн Оу: 01', 02', 03', 04', 05',, представля>от собой соответственно величины, пропорциональные значениям производной у'=У'(х) в выбранных точках, т. е. являются ординатамн графика производной. В самом деле, напрнл<ер, для точки 1 нз рис. 67 нмеем: ОА=7$2а =77'(х,). Лналогнчные результаты получаем для всех других точек. Поэтому точки пересеченнн 1', 2", 3, 4', 5', ... параллелей, проходящих через точки 1', 2', 3', 4', 5', ..., с соответствующими вертикалями, проходящими через точки касания 1, 2, 3, 4, 5, ..., принадлежат графику производной «=77'(х). $6] пОнЯтие О пРиближеннОм Вычислении ЧАстных пгоизводных 575 Соединяя точки 1', 2", 3", 4", 5",...
линией, характер которой учитывает положение промежуточных точек, мы приближенно получим график производной у' в масштабе 6 Если выбрать 1= 1, то график производной получится в натуральном масштабе. Для увеличения точности графического построения рекомендуется сначала определять направление касательной, а затем намечать точку касания. Для этого график данной функции разбивают на небольшие участки, мало отличающиеся от прямолинейных.
Рассмотрим один из таких участков АВ (рис. 68). Построим семейство хорд, параллельных секущей АВ. Геометрическое место середин этих Рис. 66. Рнс. 67. хорд представляет собой кривую К, пересекающую график функции в точке С, касательная в которой параллельна секущей АВ. Таким приемом на каждом участке можно найти точку и соответствующее направление касательной. Дальнейшее построение выполняетсв указанным выше способом. За указаниями более детального характера следует обратиться к специальной литературе (см., например, (5)). й 9е. Понятие о приближенном вычислении чястиых производных Если функция «=у(х, у) задана на прямоугольной сетке = о+(й; у=уо+уй (1, /=О, 1, 2, ...), то ее приближенно можно представить интерполяционной формулой (гл.
Х!Ч, 2 26) « = «ее+ (Рц «ею + Ч ц «оо) + + — (Р(Р— 1) 6*" «оо+2Р66"'«ее+6(р — 1) й"'«оо)+ -(- — (Р(Р— 1) (Р— 2) Ло+о«+ЗР(Р— 1)~УЛЕ+т«юе+ +8РЧ(Р-1) 6"'«ое+Р(Ч вЂ” 1) (7 — 2) 6"'«юо)+ ~ (1) 576 (гл. ля пгивлижкннок диеекгкнциговлник где х — хз У Уз Р=— л о=— и та~+"вез=А~и„"в (О, 0) — смешанные двойные разности. Из формулы (1) легко находятся частные производные дг дг др 1 Ух дг Ух Лт 1 дг бх др лх а др' Уу дд лу Тдд и т. д. Литература к ивтнаацатой главе 1. А. Н. Крылов, Лекции о приближенных вычислениях, Изд.
6, Гостехиздат, М., 1954, стр. 228. 2. Дж. Скврборо, Численные методы математического анализа, ГТТИ, М.— Л., !934, гл. Ч11. 3. В. Э. Мили, Численный анализ, ИЛ, М., 1951, гл. 1Ч. 4. Ш. Е. Ми к ел а две. Численные методы математического анализа, Гостехиздат, М., 1953, гл. ХП. 5. К. Р у н г е. Графические методы математических вычислений, ГТТИ, М.— Л., 1932, гл. 111, 4 !4. ГЛАВА ХЧ1 ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ й 1. Обшме замечания Если функция У'(х) непрерывна на отрезке [а, д) и известна ее первообразная г''(х), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до Ь может быть вычислен по формуле Ньютонов Лвйбкииа у'(х) йх = Р (Ь) — т (а), о где г."(х) =у'(х).
Однако во многих случаях первообразная функция Р(х) не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной; вследствие этого вычисление определенного ицтеграла по формуле (1) может быть затруднительным или даже практически невыполнимым. Кроме того, на практике подынтегральная функция у'(х) часто задается таблично и тогда само понятие первообразной теряет смысл.
Аналогичные вопросы возникают при вычислении кратных интегралов. Позтому важное значение имеют приближенные и в первую очередь численные мвтодьч вычисления определенных интегралов. Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Численное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, двойного †механическ кубатурой.
Соответствующие формулы мы будем называть квадратурными и кубатурлыми формулами. Мы сначала остановимся на численном вычислении однократных интегралов. Обычный прием механической квадратуры состоит в том, что данную функцию у'(х) на рассматриваемом отрезке [а, д[ заменяют интерполирующей или аппроксимирующей функцией 19 (х) простого вида (например, полиномом», а затем приближенно 19 В. П. демидович и И. д.
Маров 578 пгивлиженнов янтеггнговлнив етнкций [гл. кш полагают: ь ь ~ у(х) ах= ар(х) ~[х. (2) функция ~р(х) должна быть такова, чтобы интеграл ~ <р(х) а(х я Требуется приближенно найти: Ь ь ')уИ = ) у(х)Ю . По заданным значениям у~ построим полином Лагранжа г (Х) ~Ч~ ~ 1[л+1 (л) (л — кг) П„+ (гч) (4) где П„,(х) =(х-х ) (х-х )...(х — х„), причем 7.„(х~) =уг ([=О, 1, 2, ..., «). Заменяя функцию у'(х) полиномом ь„(х), получим равенство ь ~ у (х) г[х = ~ ь„(х) аЪ+ [с„[Д, (5) Ф а где Й„[Д вЂ” ошибка квадратурной формулы (5) (остаточный член). Отсюда, воспользовавшись выражением (4), получаем приближеннуго квадратурную формулу ь л ') ус(х=~~~,Агуп (6) а ~=в хде ь «з (х — х;) И„+,(лг) вычислялся непосредственно.
Если функция у'(х) задана аналитически, то ставится вопрос об оценке погрешности формулы (2). Рассмотрим более подробно применение для этой цели интерпо. ляционного полинома Лагранжа (гл. Х[Ч, Я 12). Пусть для функции у =У (х) известны в «+ 1 точках хш хп хе.. х„отрезка [а, Ц соответствующие значения у(х;)=у~ (ю'=О, 1, 2, ..., «). (3) Ф 1[ оищив замечания l =~Ам о=о о то= ~ А;хп о=о (8) /„= ~ А!ха, о=о где ь у,=~хоУх= й ! (й=О, 1, ..., и), г „Эоео а»+о из которой можно определить коэффициенты Ао, А„.. „А„[1[, [2[. Определитель системы (8) есть определитель Вандермонда П( ) 1»./ Заметим, что при применении этого метода фактическое построение полинома Лагранжа ь„(х) является излишним. Простой метод подсчета погрешностей квадратурных формул разработан С.
М. Никольским [8]. Пример. Вывести квадратурную формулу вида 1 ) У оох=А»У(4)+А»У(2) +А»У ( — ) . о (9) Решение. Полагая в формуле (9) у=х' (й=О, 1, 2) и учитывая, что 1 1 о хоо»х =— 1 3 о ах=1, ) хаох= —, 1 19» Если пределы интегрирования и и Ь являются узлами интерполирования, то квадратурная формула (6) называется «замкнутого гила», в протявном случае — «открытого типа». Для вычисления коэффяциентов Аг заметим, что 1) коэффициенты А; прн данном расположении узлов не зависят от выбора функции У(х); 2) для полинома степени и формула (6) †точн, так как тогда 1.„(х) =~'(х); следовательно, в частности, формула (6) †точн при у=х" (й=О, 1, ..., и), т. е. )с„[х'[=О при й=О, 1, ..., и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
