Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 76
Текст из файла (страница 76)
а Если уЕСаи[а, Ь], то ошибка формулы Симпсона иа каждом удвоеииом промежутке [х,„„х „] (й=1, 2, ..., пд) иа основании $4, (2) дается формулой у у «ьс) ,дч (с ) где $» Е (х,„„х „). Суммируя все эти ошибки, получим остаточный член общей формулы Симпсона в виде дд »»рушд) »=д Рис. 72. Так как уге(х) непрерывна иа отрезке [а, Ь], то найдется точка 3Е[а, Ь] такая, что нд ,дч (с) 1 '~ЬЬ'уге (с ) »=д Поэтому будем иметь: ,ш (»ч) Удч (Ц пд»ь (Ь вЂ” а) Ад 00 180 где $ Е [и, Ь]. (2) $7) овщия вогмтли симпсона (пигиволичвския вогмхлл) 59! Если задана предельная допустимая погрешность в ) О, то,' обозначив М, = шах (у'" (х) ( ° будем иметь для определения шага Ь неравенство аи (Ь вЂ” а) — М, <в; 180 отсюда 180 е (Ь вЂ” а) М4 ' т.
е. Ь имеет порядок ~/в. Во многих случаях оценка погрешности квадратурной формулы Симпсона (1) по формуле (2) весьма затруднительна. Тогда обычно применяют двойной пересчет с шагами Ь и 2Ь и считают, что совпадающие десятичные знаки принадлежат точному значению интеграла. Можно указать еще один практически удобный способ подсчета ошибки квадратурной формулы Симпсона. Предполагая, что на отрезке [а, Ь) производная у'т(х) меняется медленно, в силу формулы (2) получаем приближенное выражение для искомой ошибки )с=МЬа, где коэффициент М будем считать постоянным.
Пусть Еи и Хн— приближенные значения интеграла Г=)у тх, а полученные по формуле Симпсона соответственно с шагом Ь и шагом Н=2Ь. Имеем: 7= Хи+ МЬа и 7= ин+М(2Ь) ° Отсюда ьи — ин 15 За приближенное значение интеграла У целесообразно принять исправленное значение + ии — ин и 15 Заметим, что если число делений л кратно 4, то для вычисления суммы Ен можно воспользоваться имеющимися табличными значениями, делая выборку значений через одно, 592 ПРИВЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ [ГЛ. ХИ Пример.
С помощью формулы Симпсона вычислить интеграл а приняв л = 10. Решение. Имеем 2нг=10. Отсюда 1 — О Ь= — =0,1. 10 Результаты вычислений приведены в таблице 61. Табл н ца 61 Вычисление интеграла по формуле Симпсона По формуле (1') получаем: ! 3 (уз+у, + 4е + 2оа) = 0,69315. (3) где А; — козффициенты формулы Симпсона и в — максимальная ошибка округления значений подынтегральной функции. В нашем случае гс, = лйв =. (Ь - а) в = 1 — 10 ' = 0,5 10 а.
1 2 Подсчитаем погрешность результата (3). Полная погрешность гс складывается из погрешности действий Ят н остаточного члена 1ся. Очевидно, )т', = ~ч~~ ~А;в, $8) ПОНЯТИЕ О КВАДРАТУРНОй ФОРМУЛЕ ЧЕВЫШЕВЛ 393 Остаточный член оценим по формуле (2). Так как 1 у= — =(1+х) ', 1+а то у! т = ( — 1) ( — 2) ( — 3) ( — 4) (1 -(- х) - а (1+я) ' Отсюда шах(у'т(=24 при 0(х~~1 н, следовательно, (Йх) ~~1 — ' 24=1,3 1О а. (0,1)А Таким образом, предельная полная погрешность. есть )с=0,6 10 а+1,3.10 а=1,8 ° 1О в < 0,00002 и, значит, l= 0,69316 ~ 0,00002.
9 8. Понятие о квадратуриой формуле Чебышева Рассмотрим квадратурную формулу 1 н (' ~(1) М = ~ В,.У(11), -1 к=1 где Вг — постоянные коэффициенты. Чебышев предложил выбрать абсциссы тг таким образом, чтобы: 1) коэффициенты Вг были равны между собой; 2) квадратурная формула (1) являлась точной для всех полиномов до степени л включительно. Покажем, как ногут быть найдены в этом случае величины Вг н 1р Полагая в =в =...=В„=в и учитывая, что при у(1) = 1 будем иметь 2=~ Вг отсюда получаем: 2 В=— л Следовательно, квадратурнал формула Чебышева имеет внд 1 И (2) 594 пгивлижвннов интвггиговьнив втнкций [гл.
хьч Для определения абсцисс т1 заметим, что формула (2), согласно условию 2), должна быть точной для функций вида ~(1) =Ф, Р, ..., 1". Подставляя зги функции в формулу (2), получим систему урав- нений ~,+у,+... +1„=0, 1'+1 +'''+ л 3 ' г', + г', +...
+ г„' — О, 1'+ 1'+ ° ° + 1' = у (3) ь л л л [1 — ( — 1)" +'] 1+ х+ ° ° ° + л= — 2(л(1) з из которой могут быть определены неизвестные 11([=1, 2, ..., д). Чебышев показал, что решение системы (3) сводится к нахождению корней некоторого алгебраического уравнения степени и[8), [8). В таблице 68 приведены значения корней 1~ системы (3) для а = 2, 3, ..., Т. Таблнпз 88 Значения абсцисс Фа в Формуле Чебышева Заметим, что система (3), как показал С.
Н. Бернштейн, при и=8 и л) 10 не имеет действительных решений. В атом состоит принципиальный недостаток квадратурной формулы Чебышева. Приме р 1. Вывести формулу Чебышева с тремя ординатами (и = 3). Решен и е. Для определения абсцисс 1;([= 1, 2, 3) имеем систему уравнений ах+1 +г =О, 1~+ сь+ св = 1~ 1',+1',+уз=о. (4) В 5) понятии о квьдглтятной еогмтли чявышива 595 Рассмотрим симметрические функции корней ~1+ 1а+ гз С.'= А'1. " Отсюда заключаем, что ~~ есть корни вспомогательного уравнения Фа — С 1Я+С1 — С =О или ~з 2 Следовательно, можно принять: — 1а=о, .1э= 2 г'2 ' г'2 Таким образом, соответствующая формула Чебышева имеет вид ' т ~ У(Е)~ 3 [У~ )+У(0)+У()~' ~1' а Чтобы применить квадратурную формулу Чебышева к интегралу вида ь следует преобразовать его с помощью подстановки Ь+а Ь вЂ” а х= — +:~, 2 2 переводящей отрезок а<х<5 в отрезок — 1(1<1.
Применяя к преобразованному интегралу формулу Чебышева (2), будем иметь: (5) Из системы (4) имеем: С =О; С, =Ц(г,+~,+г,)' — ( с =Ц(Ф +Ф +Ф )3 — 3 ~,*+1,'+('.)1=-', (Π— Ц =- — ',: (г,+г,+1а)( 1',+г,*+1,*)+ + 2 ( м, '+ Ф, '+ г~~) 1 = х (о — о+ о) = о. пгнвлншвинои интиггнгования отнкций 596 где 6+а 6 — а х = — + — 1 2 2 (6) д о по формуле Чебышева с пятью ординатами (л=5). Р е ш е н и е. Введем обозначение л Таблица 69 У(х) = —, 1+а ' имеем: Вычисление интеграла ао формуле Чебышева у = — 6 (х )+1(х,)+1(х,)+ +у (х,)+ д'(х,)), где в силу формулы (6) 1 1 х = — + — Фд= 2 2 = 2+ 2 ( — 0,83250)=0108375; 1 1 х= — + — (= 2 2 = — + — ( — 0,37454) = 0,31273; 1 1 ! 1 х= — + — 1= — + — 0 05 2 2 а 2 2 хд = 1 — х = 0,68727; хь = 1 — хд — — 0,91625.
Соответствующие значения у!=у'(х;)(1=--1, 2, 3, 4, 5) подынтегральной функции помещены в таблице 69. Отсюда 7=-5. 1,5342=0,3068. Для сравнения приводим точное значение интеграла с шестью зна. чащими цифрамн У= 0,306846... и Ф! (! = 1, 2, ..., н) — корни системы (3) (помещены в таблице 68). Квадратурная формула Чебышева употребляется главным образом в кораблестроении. П р и и е р 2. Вычислить интеграл 597 5 9) квьдглтггнья еогмгль гььссь 9 9.
Квадратурнаи формула Гаусса В атом параграфе нам потребуются некоторые сведения о полиномах Лежандра. Полиномы вида Р„(х)= — „,— „[(х' — 1) ) (л=О, 1, 2, ...) П называются полиномами Лежандра. Отметим важнейшие свойства полиномов Лежандра [1): 1) Р„(1) =1, Р„( — 1) =( — Ц" (п=О, 1, ...), 1 2) ) Р„(х).9ь(х)Их=О (й(л), где Я (х)-любой полипом -т степени й, меньшей л; 3) поливом Лежандра Р„(х) имеет а различных и действительныд корней, которые расположены на интервале ( — 1, 1).
Рнс. 73. Ниже приводим первые пять полнномов Лежандра и их графики (рис. 73): а( ) Р (х) =х, Р (х) = — (Зх' — 1), 1 Р, (х) = — (Зха — Зх), 1 1 Р, (х) — — (Зэх — ЗОх'+ 3). 598 ПРНЬЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦий [ГЛ. ХЧ! Перейдем сейчас к выводу квадратурноа формулы Гаусса. Рассмотрим сначала функцию у=у'(1), заданную на стандартном промежутке [ — 1; 1[. Общий случай легко свести к нашему путем линейной замены независимой переменной. Поставим задачу: как нужно подобрать точки Г1, 11, и коэффициенты А„А,„..., А„, чтобы квадратурная формула 1 н ) у'(1) !!1= ~ч~~ АГГ'(Ф!) 1 1=1 Г'(Х) 1, Ф, г1, ..., Г1" 1. Действительно, полагая 1 н Р.Я ~чр, АД (й О 1 2 2л 1) 1 ! ! (2) будем иметь: ! 1и-1 ! 1н 1 и ~ Г(1) Л= ~ С, ~ (а Лг= ~ С, ~ А,.г,' 1 ! и 1н 1 н =~~.", А; ~~'.~ СВФ1 = Х АГУ'(Г!) ° Таким образом, учитывая соотношейня: 1 2 ( — !)1+! — при й четном; О при й нечетном, е+! заключаем, что для решения поставленной задачи [2[, [3[, [6) была точной для всех полиномов Г(1) наивысшей возможной сте- ПЕНИ 1Ч', Так как в нашем распоряжении имеется 2л постоянных Ф! и А! (1=1, 2, ..., л), а полянам степеня 2л — 1 определяется 2л коэффициентами, то эте наивысшая степень в общем случае, очевидно, равна [ч=2л — 1.
Для обеспечения равенства (1) необходимо и достаточно, чтобы оно было верным при 599 $9) квлдгатугная Фогмулл гаусса достаточно определить Г~ н А~ яз системы 2п уравнений ~ А~ — — 2, 3=1 и Х А,1,=0, 1=ь (3) Система (3) — нелинейная, и решение ее обычным путем представляет большие математические трудности. Однако здесь можно пряменить следующий искусственный прием. Рассмотрим полиномы у'(М)=гаР„(С) (л=О, 1, ..., и — 1), где Р„(С) — полипом Лежандра. Так как степени втих полиномов не превышают 2п — 1, то на основании системы (3) для них должна быть справедлива формула (1) и 1 л $ $"Р„(1)И=~~ ЗА14Р„(1~) (й=О, 1, ..., П вЂ” 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
