Б.П. Демидович, И.А. Марон - Основы вычислительной математики (1132358), страница 80
Текст из файла (страница 80)
(а =ха( ~х, ~х,( ...) (рис. 77). Каждую из таких полосок заменяем, Рнс. 77. используя теорему о среднем,, равновеликим (по возможности) прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной ~($1), где $~ (1=1, 2,...)-некоторая промежуточная точка 1-го по счету отрезка (х~ ь х,), т. е. полагаем: где х; ~ ~5~ ~х( (7=1, 2, ...). Значения первообразной функции 626 пгнвлижаннов ннтвггиговлннв вгнкций (гл. хщ в точках х; можно подсчитать методом налолления: Р(ха) =0; Р (х) = ) г(х) Нх = ) У(х) г(х + ) У(х) с(х = к, "а ю-з =Р(х~ ~)+~Я;)(х~ — х~ ~) (1=1, 2,...). (1) Пусть М,($„у'(~,) ), МЯы у ($з) ),... — соответствующие точки кривой у = г'(х).
Проектируя их на ось Оу, получим точки М,, Мз ° ° . (рис. 77). Выберем теперь полюс Р с расстоянием ОР=1 н проведем лучи РМ,, РМ,, ... Искомую линию у = Р (х) приближенно можно заменить ломаной ММаМзМа... с вершинами Ма(хь, О), М,(х,, Р (х,)), Мз(х„ Р (хз)), ... Последовательные звенья этой ломаной будут параллельны соответствующим лучам, а именно: ММ,!)РМ„МтМз'йРМ,; М,М ()РМ,;...
В самом деле, угловой коэффициент звена М~ Мг на основании формулы (1) равен р(х;) — г"(х; д) х; — хг в силу же построения угловой коэффициент луча ОМ~ есть К= —,' =У(я) 1($0 Следовательно, Мг-тМг!! О.З(г (1=1, 2,...). Таким образом, технически построение графика функции у = Р(х) может быть осуществлено так: из точки Ма(хю О) проводим прямую МаМы параллельную лучу ОМ,, до пересечения в точке Мт с вертикальюх =х;из точкиМ проводим прямуюМтМ,параллельную лучу ОМ„ до пересечения в точке Мз с вертикалью х =хт и т. д, Следует отметить, что прн применении данного метода графического интегрирования точки х;(7 =О, 1 ...) не обязательно брать равноотстоящими.
Для увеличения точности построения рекомендуется характерные точки графика интегрируемой функции (нули, точки экстремума, точки перегиба) обязательно включать в состав точек хп Графическое интегрирование обладает, вообще говоря, малой точностью. Поэтому этот прием полезно использовать тогда, когда требуется иметь общее представление об интеграле функции или когда подынтегральная функция задана графически и ее аналитическое выражение нам йеизвестно. Ф 17) 627 понятия о кха»ттгных еогмгллх й 17а. Понятие о кубатурных формулах Кубатурные формулы нли, иначе, формулы числ«нных кубатур предназначены для численного вычисления двойных интегралов [Ц.
Пусть функция в =~'(х, у) определена и непрерывна в некоторой ограниченной области о (рис. 78). В этой области о выбирается система точек (узлов) Мг(хо уг) (Е = 1, 2, ..., М). Для вычисления двойного интеграла У ) ) у(х, у)ахну приближенно <ю полагают: 1 $У(х, у)бхыу= ио и = ~А~у'(хо уг). Рис. 78.
Чтобы найти коэффициенты Ао потребуем точного выполнения кубатурной формулы (1) для всех полиномов Р„(х, у) = ~~~~ ~с«, х" у', (2) «+ск» степень которых не превышает заданного числа и. Для этого необходимо и достаточно, чтобы формула (1) была точной для произведения степеней х "у' (й, 7=0, 1, 2,..., и; к+7(л). Полагая в (1) 7" (х, у) =х«у', будем имет»ц и !», = ) ) х "у' Их Фу = ~ А х~~у[ цн 1=1 (к, 7=0, 1, 2, ..., и; к+7(л). (3) Таким образом, коэффициенты Аг формулы (!), вообще говоря, могут быть Рнс.
79. определены из системы линейных уравне- ний (3). Для того чтобы система (3) была определенной, необходимо, чтобы число неизвестных М было равно числу уравнений. Отсюда, составляя «решетку показателей» (рис. 79), получаем: М=(а+1)+л+... +1 =("+ )("+ ). 9 628 НРиилиженное интегРиРование Функций [ГЛ. ХЧ( Остается открытым трудный вопрос о наиболее рациональном выборе узлов для данной области. Можно указать еще один достаточно общий прием вычисления двойного интеграла. Пусть область интегрирования ограничена непрерывными одиозначными кривыми у = (р(х), у = ф (х) ((р(х) ~ (р (х) ) и двумя вертикалями х= а, х =Ь (рис. 80). Расставляя по известным, правилам в двойном интеграле 1= ~ ~у'(х, у)(тх((у (л) пределы интегрирования, будем иметь:. У ~( ~ ~у'(х, у) ()х((у= нв Ф ь Е (к) = ~ ((х ~,у(х, у) (уу.
л е (к) Пусть Ф (к) 1 Р(х) = ) у(х,у)((у. (5) к (к/ Р (к) ,Р Тогда ~ ~у'(х,у)((х((у= ~ Р(х)Ых. (6) (л) л Применяя к однократному интегралу, стоищему в правой части равенства (6), одиу из квадратурных формул, получим: Рнс. 80 л ~ ~,у(х, у) ((х((у =,Я А;Р(х(), (л) (=1 могут быть также найдены по некоторым формулам квадратур Р(х;) = ~чр~В(~у'(х„у~), (=1 где В(у — соответствующие постоянные.
где х; Е(а, Ь] (1= 1, 2,..., л) и А; — некоторые постоянные козффициенты. В свою очередь значения 1) (к;) Р(х()= $ ~(хоу)(ту Р (кв 629 6 18) кувлтуРнля ФОРмулл типл снмпсонл .Из формулы (7) выводим: Л РЬ ~~у(х, у)для="' ~А;В;ф(хп уу), но ~=4 1=1 (8) где А~ и Вы — известные постоянные. Геометрически этот метод эквивалентен вычислению объма [, выражаемого интегралом (4) с помощью поперечных сечений.
Для кубатурных формул типа (8) сохраняют силу с соответствующими видоизменениями общие замечания, относящиеся'к вычислению однократных интегралов (см. $10), 9 1Ве. Кубатуриая формула типа Симпсона Пусть сначала область интегрирования есть прямоугольник )с (а ~ х чь, А; Ь ~ у ~ В) (рнс. 81), стороны которого параллельны осям координат. Каждый из промежутков [а, А) и [Ь, В) у разобьем пополам точками й хе=а, ха=а+А, х,=а+2Ь=А и соответственно уе=Ь, ул=Ь+Ь, ул=Ь+2Ь=В, У~ где А — а  — Ь Ь= — ' .й=— 2 ' 2 Рис.
81. Всего, таким образом, получим девять точек (хп уу) (1, /=О, 1, 2, „9). Имеем: А В ~~~(х, у) ахну=~ Нх ~ У(х, у)бу. (1) Ф~ ' а ь ~У'(х, У) с[хФУ вЂ” ~~[х 2[~(х, Ул)+4У(х, У,)+У(х, У~)) = а ГА А А -ф~, у.)~.~+~, л)Г -:-(Л, у.)~~ 2 л л Отсюда, вычисляя внутренний интеграл по квадратурной формуле Симпсона, находим: ВЗО пгивлижинноз интаггиговлнив ехнкций (гл.
хьт Применяя к каждому интегралу снова формулу Симпсона, получим: ) у(х, у) Ых Иу= 2 ((д (хо1,уо)+4у(х„уо) +у(хд уоЦ+ <лй +4(,д'(»о, уд)+47(хд, уд)+,у'(хд, удЦ+ +~у(х, у )+47'(хд, у )+~(хд, удЦ) Решение. Берем Соответствующие значения мещены в таблице 75. и й= ' =08. 2,6 — 2 2 1 подынтегральной функции я= — по- лу Таблица 75 Вычисление двойного интеграла по Формуле Симпсона или аа ~у(» у)д(»уу — — Иу(х Л)+у(х .уо)+у(х уд)+ (л) +У(хд, М)+4!У(»„Ь)+У(х„уд)+ -(-У(х„у,)+У(х„у,Ц+1ЕУ(х,, у,Ц. (2) Формулу (2) будем называть кубатуриой формулод1 Симпсона.
Следовательно, ) у (х, У) одх ИУ = В-(по+ 4п д+ 16ад), (2') дн> где по — 'сумма значений подынтегральиой функции у(х, у) в вершинах прямоугольника дс, пд — сумма значений у'(х,у) в серединах сторон прямоугольника Й, и =у(хд, уд) — значение функции у(х, у) в центре прямоугольника ддд.
Кратности этих значений обозначены на рис. 81. П р и м е р 1. Применяя кубатурную формулу Симпсона, вычислить двойной интеграл [71 $18) КУВЛТУРНЛЯ ФОРМУЛА ТИПА СИМПСОИА 631 Применяя кубатурную формулу (2), получим: у =' — ',"8 ((0,125000+ 0,113636+ 0,096154+ 0,0874126>+ +4(0,119048+ 0,108696+0,0988142+0,0915751)+ +16 0,1035201 =0,0250070. Точное значение этого двойного интеграла будет: в,в з.в — ° ') †„ " = 1И 1,3 1п 1,1 = 0,0953108 0,262364 =0,0250061. Следовательно, остаточная погрешность л — а 5=в 2л Тогда сеть узлов будет х!=хе+И и ут — ув+уа иметь следующие координаты: (х,=а; 1=0, 1, 2, ..., 2п) (ув=Ь: У=О, 1! 2, .
е 2лв). Л = (0,025006 — 0,0250070( =0,0000009ж10 в. Если размеры прямоугольника Р(а(х~.4; Ь(у(В) велики, то для увеличеняя точности кубатур ной формулы (2) область Р разбивают на систему првмоугольников, к каждому из которых пряменяют кубатурную формулу Сямпсона. Положим, что стороны прямоугольника Р мы раз- 8У + делили соответственно на и у , в.- ь-.в -.О- р-О-+- и Ач равных частей; в ре- - — " -+-.в -Ф вЂ -в — +— зультате получилась отно- ~у,~ †- -~~ ч .
++. ~~ Ч. ~ +В сительно крупная сеть плв а"УР ! ! ! ! ! ! ! ! ! прямоугольников (на рис.82 вершины этих прямоуголь- У а"У % У Ут Лв Л Лт Х В ников отмечены более Рнс. 82. крупными кружками). Каждый из этих прямоугольников в свою очередь разделим на четыре равные части. Вершины этой последней мелкой сети прямоугольников примем за узлы М!у кубатуриой формулы. Пусть 632 пгнвлижяннов интвгг«говлнив еункц»й [гл. худ Для сокращении введем обозначение у(»о у;) =Л, Применяя формулу (2) к каждому иэ прямоугольников крупной сети, будем иметь (рис.
82): л м «ах к» ~д ( ~ у) у 9 ~Лм [(ддп 2/+Уиод, я/+Ад+о, о/оо+ (н! д=о у=о +уо,. а~+о)+4 (Удд+д о~+Удььд д1од+УИ+д о1+о+УЫ оу+д)+ +16Уод+д оу+ [. Отсюда, делая приведение подобных членов, окончательно находим: да д )) у'(х, у) д[хду= — ~~) ~ )д,;Дуг (3) !нд д=о 1=о где коэффициенты Х;1 являются соответствующидди элементами матрицы 1 4 2 4 2 ... 4 2 4 1 4 1б 8 16 8 ... 16 8 16 4 2 8 4 8 4 ... 8 4 8 2 Л= 2 8 4 8 4 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
