Н.Е. Леонтьев - Основы теории фильтрации (1132341), страница 8
Текст из файла (страница 8)
9 а), отток жидкости через дно рек и каналов и т.п. Другим важным примером явлений, в которых применима модель плоскопараллельного течения, служит фильтрация в горизонтальных пластах в недрах земли. Образно выражаясь, в первом случае фильтрационное течение рассматривается при взгляде «сбоку», а во втором случае — при взгляде «сверху». 1) Другая формула, носящая имя этого ученого, встретится в ~ 9. ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ~Гл.
П Рассмотрим плоское фильтрационное течеПлоскопараллельная ние тяжелой несжимаемой жидкости в верфильтрация в вертитикальном поперечном сечении однородной кальной плоскости пористой среды. Направив оси х и д соответственно горизонтально и вертикально, можно записать систему уравнений в виде Ыр(х, д) = О, и = (и(х, д); и(х., д)) = дгас1 р, где введен потенциал скорости фильтрации ~р(х,д) = — Со = — С ' + д, С = сонями.
р(х, д) РУ (8.1) Задача свелась к нахождению решения двумерного уравнения Лапласа, поэтому удобно рассматривать плоскость Охд как плоскость комплексного переменного г = х + гд, а потенциал с-- как действительную часть комплексного потенциала течения аналитической функции ш(~) = у(х, д) + гф(х, д), где ф(х, д) функция тока, удовлетворяющая уравнениям Коши — Римана (Д'Аламбера — Эйлера) [9~ Задание комплексного потенциала полностью определяет фильтрационное течение, т.к. зная ю(г) можно найти распределение давления из (8.1) и распределение скорости фильтрации с помощью формулы," = и — ги, поэтому решение конкретной краевой задачи сводится к нахождению функции и~(~), удовлетворяющей заданным краевым условиям на границах области течения (известных или неизвестных). Основная идея применения методов комплексного анализа при нахождении функции и>(г) состоит в том, что по известным условиям на границе области (в физической плоскости г) можно сразу сказать, каким условиям будет удовлетворять образ границы при отображениях ш(г), или каких-то других (например, в засьо(~) висимости от типа границы, указать значение мнимой части и (~) или найти связь действительной и мнимой частей ~ ~).
Основываясь на этой информации можно построить конформное отображение области течения на какой-либо из ее образов или (если ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТФКП область течения заранее неизвестна) найти отображение одного образа на другой. Это конформное отображение дает либо сразу искомую функцию (если область в плоскости г отображается на плоскость и), либо обыкновенное дифференциальное уравнение, из которого находится и~(~).
Покажем, к каким условиям на и~(~) и „приводят физисЕи~(~) ческие требования на некоторых типах границ, обсуждавшихся в ~ 6. На непроницаемой границе, так же как Непроницаемая граница и в гидродинамике идеальной несжимаемой жидкости, постоянна мнимая часть комплексного потенциала: 1гпи> = ф = сопв$. Значение константы на конкретной поверхности может либо определяться из условия задачи ), либо находиться из решения. В силу того, что функция тока определена с точностью до константы (физический смысл имеют ее пространственные производные), значение ф в одной точке можно задать произвольно.
Если участок границы является прямолинейным, то вектор скорости фильтрации направлен вдоль границы. Поэтому в плоскости годографа ) этой границе соответствует прямая, проходящая через начало координат и параллельная ) границе. На границах этого типа значение напора Н, а следовательно, и потенциала ~р, является постоянной величиной. Действительно, если свободная поверхность жидкости в водоеме имеет вертикальную координату д = 6, то в любой точке внутри водоема, в том числе и на границе с пористой средой, О(х, д)— Ратм + Рдф д) + д = р„„+ рдЬ = сопв$.
РУ Постоянство р на границе приводит, вследствие закона Дарси, 1) Напомним, что разность значений функции тока в двух точках (внутри односвязной области) равна расходу жидкости через любую кривую, соединяющую точки. 2) Годограф (греч. обоС -- «путь», «движение», урсирю — «пишу»)— геометрическое место концов векторов скорости, откладываемых от начала координат. Плоскость годографа (и; ю) получается из плоскости = (и; — о) отражением относительно горизонтальной оси. з) Если считать совпадающими ориентации осей координатных систем (х; д) и (и; о). ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ~Гл.
и к тому, что вектор скорости фильтрации перпендикулярен границе (т.к. его касательная составляющая равна нулю). Поэтому прямолинейной границе этого типа на плоскости годографа соответствует прямая, проходящая через начало координат и перпендикулярная направлению границы. В случае стационарной фильтрации Поверхность депрессии поверхность депрессии является линией тока, и на ней функция тока постоянна: ф = сопМ ).
Уравнение образа свободной поверхности на плоскости годографа проще всего получить с помощью условия и„= т.О, отвечающего сохранению массы на разрыве. Если граница задается уравнением ~(х, д, 1) = О, то это условие дает агап ф ЯГЫ ~ д~ (д~ д~ ~ ~дгас1 ~~ ~дгас1 Я ~, дх ду,/ или д~ т — + дгас1 ~ дгас1 у = О. д1 Воспользовавшись постоянством давления на свободной поверхности и определением потенциала (8.1), можно написать уравнение свободной поверхности в виде Рис. 14. ~(х, у, г) = у(х, р, г) + Сд + сопв$ = О, подстановка которого в предыдущее уравнение дает условие на границе в нестационарном случае Отсюда при стационарной фильтрации на плоскости годографа получаем окружность радиуса С/2, проходящую через начало координат (рис. 14): и +ю +Со=О.
1) В нестпационарном случае, когда скорость границы Р отлична от нуля, функция тока переменна вдоль границы: из условия на разрыве тпР = и„= ~(, д +, д ) = ~ д, где а длина дуги вдоль гра- ~а~ лд ар ь~ ь~ ницы (знак перед производной зависит от выбора направления вдоль границы и знака Р).
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТФКП Для поверхности высачивания напи- высачивасать условие на потенциал ы, не содержащее координат х, д, не удается, а в плоскости годографа образ границы можно построить в случае прямолинейной границы. Умножая закон Дарси Поверхность ния и = — Сдгас1 — + у р Р9 на касательный вектор к границе 7, получим, учитывая постоян- ство давления вдоль границы, и т = — Ст„= сопвФ, т.е. на плоскости (и; о) концы вектора скорости лежат на прямой, перпендикулярной границе, но не проходящей, вообще говоря, через начало координат. Приведем теперь примеры решения простейших задач. Рассмотрим стационарную фильтрацию Непроницаемая плоти- жидкости через слой пористого материна с плоским основаала, на котором находится непроницаением на пористом слое мая плотина с плоским основанием длибесконечной глубины ной 21.
Выберем начало координат в середине основания плотины (см. рис. 15) и будем считать, что уровни жидкости 61 и 62 соответственно в нижнем и верхнем бьефах постоянны, а пористый слой простирается вниз до бесконечности. Рис. 15. В этой задаче область течения в плоскости комплексного потенциала ш полностью определена и является полубесконечной полосой: на непроницаемом основании плотины ~3"~ постоянна функция тока ф, которую можно положить равной нулю, а на дне 47 ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ~Гл. П каждого из водоемов потенциалы скорости фильтрации р принимают постоянные значения. Если значение у на дне ~Б в нижнем бьефе принять равным нулю (добавление константы к ~р не меняет скорости фильтрации), то на дне а,д в верхнем бьефе ~р = = — С(62 — 61) = — С6, 6 = 62 — 61.
Бесконечность функции тока при уходе на бесконечность (или, что то же самое, бесконечность расхода жидкости (,'? в расчете на единицу длины плотины в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка) следует уже из соображений размерности: предположение о конечности Я приводит, после применения т-теоремы к зависимости Я = = ~(С6, 1), к тому, что расход не зависит от размера плотины 1: Я = = сонями СЬ, но при стремлении ширины плотины к нулю (1 — + О при сохранении высоты плотины) решением задачи является вихрь у = = ~~0, где 0 полярный угол, с бесконечным расходом, что и приводит к противоречию.
Отметим, что если бы пористый пласт ограничивался снизу горизонтальной непроницаемой поверхностью, расположенной на конечной глубине, то в этом случае расход был бы конечным. Если теперь нам удастся построить (какое-нибудь) конформное отображение нижней полуплоскости в физической плоскости ~ на полуполосу в плоскости и~, переводящее точки Д, ~ и бесконечно удаленную точку а = о на плоскости ~ в их соответствующие образы на плоскости ы, то такое отображение и будет искомым, т.к. в комплексном анализе доказывается теорема о существовании и единственности конформного отображения области на область, переводящего любые три заданные граничные точки в любые три заданные граничные точки с сохранением порядка их обхода (9).
Несложно проверить, что требуемое отображение имеет вид (8.2) Дифференцируя зто соотношение и выражая производную Я получим комплексно-сопряженную скорость йс С6 1 С6 1 и — гав р~~ ~ш ( ~(~)) ~~~ 1 2л2 причем выбирается та ветвь квадратного корня, которая при в = = О дает положительную скорость и = С6/(7г1) ) О. В частности, ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТФКП распределение скорости вдоль основания плотины имеет вид СЬ 1 и(х)= —, -1(х(1, рг ~2 х2' на дне водоемов скорость фильтрации вертикальна: лу СЬ' СЬ х = 1соз~рсЬф, д = — 1з1п~рзЬф, и исключая у, легко найти уравнение линий тока поля скорости фильтрации, которым соответствует постоянное значение ф, (й) (2)'= Отметим, что реальные плотины являются сложными гидротехническими сооружениями, от основной подводной части которых отходят водонепроницаемые перегородки, идущие вдоль дна (так называемый понур) или в глубину пласта (шпунтовые стенки) и предназначенные для уменьшения скорости фильтрации под рис плотиной, ее закрепления в грунте и т.д.
Качественно уменьшение скорости фильтрации можно объяснить тем, ") Напомним, что сов(х+гу) = сов хсов(гу) — япхв1п(гу) = совх спу— — гв1пхвпу. (знаки «+» и « — » соответствуют нижнему и верхнему бьефам). Обратим внимание, что в угловых точках основания направление скорости фильтрации меняется на 90', а модуль скорости фильтрации стремится к бесконечности (как это бывает при обтекании углов в гидродинамике идеальной жидкости). В реальности, конечно, в силу разных причин (скругление углов дугами с конечными радиусами кривизны, отступление от закона Дарси, размытие грунта в области больших скоростей) скорости фильтрации в этих местах конечны. Разделяя действительную и мнимую часть (8.2) ): ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ~Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
